2010-2021年全国初中数学联合竞赛试题及答案详解

1、2021年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：此题总分值42分，每题7分10 101假设 a,b, c 均为整数且满足a b a c 1，那么 | a b | |b c| | c a |B A . 1.B. 2. C. 3.D. 4.2 .假设实数a,b,c满足等式 2肩 3|b| 6 , 4 a 9|b| 6c ,那么c可能取的最大值为(C )A. 0.B.1.C.2.D . 3.3.假设a, b是两个正数，且a 1-b 110,那么ba(C )11,44,小A . 0a bB .-a b 1.C . 1 a b.D .a b 2.33334.假设方程x2 3x10的两根也是方

2、程 x42ax bx c 0 的根,那么a b 2c的值为(A )A. 13.B. 9. C. 6.D.0.5.在厶ABC中，CAB 60 , D, E分别是边AB, AC上的点，且AED 60 ,ED DB CE, CDB 2 CDE ,贝U DCB(B )A . 15 .B. 20 .C. 25 .D. 30 .6.对于自然数n ,将其各位数字之和记为an ,如 a20212 00 911 ,a20212 0 1 03a1a?a3IIIa2021a2021(D )A . 28062.B . 28065.C . 28067.D . 28068.二、填空题：此题总分值28分，每题7分x3 y3

3、19,221. 实数 x,y满足方程组那么x y 13.x y 1,2. 二次函数y x2 bx c的图象与x轴正方向交于 A, B两点，与y轴正方向交于 1点 C . AB 3AC , CAO 30，那么 c -93. 在等腰直角 ABC 中，AB = BC = 5, P是厶ABC内一点，且 PA=5 , PC= 5,贝H PB = _ *0_.4. 将假设干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间 夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放15_个球.第二试 A此题总分值20分设整数a,b,c a b c为三角形的三边长，满足于是，

4、等式变为m2n2 (m n)226，即2 ab2c2ab acbc13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数解由等式可得(ab)2(b c)2(ac)226令abm,b cn,那么ac m n，其中m,n均为自然数.m2 n2 mn 13由于m,n均为自然数，判断易知,使得等式成立的m,n只有两组:m 3,和m 1, n 3.(1)当 m 3,n1 时，bc 1， a b 3 c 4.又a,b,c为三角形的三边长，所a ，即(c 1) c解得c 3.又因为三角形的周长不超过30 ,即(c 4) (c 1)30，解得c25 .因此3 c空，所以c可以取值4,5,336,7,8,对应可得到5个

5、符合条件的三角形4,(2)6,当 m 1,na，即c3时,3) c4，解得b 1 c 4.又a,b,c为三角形的三边长，所c 1 .又因为三角形的周长不超过30 ,即2330 ,解得c .因此1 c 37,对应可得到6个符合条件的三角形.30的三角形的个数为(c 4) (c 3)空,所以c可以取值2, 3,35,综合可知：符合条件且周长不超过二.此题总分值25分等腰三角形厶ABC中，AB = AC,/ C的平分线与AB边交 于点P, MABC的内切圆O I与BC边的切点，作MD/AC ,交O I于点D.证明：PD是O I的切线.证明 过点P作O I的切线PQ 切点为Q并延长，交BC于点N.因为

6、CP为/ ACB的平分线，所以/ ACP =/ BCP.5 + 6= 11.又因为PA、PQ均为O I的切线，所以/ APC = Z NPC.又 CP 公共，所以 ACP NCP，所以/ PAC =Z PNC.由 NM = QN , BA = BC,所以 QNM BAC，故/ NMQ =Z ACB，所以 MQ/AC.又因为MD/AC，所以MD和MQ为同一条直线.又点Q、D均在O I上，所以点Q和点D重合，故PD是O I的切线.三(此题总分值25分)二次函数y x2 bx c的图象经过两点 P(1,a) ,Q(2,10a).(1)如果a,b,c都是整数，且c b 8a，求a, b,c的值.(2)

7、设二次函数y2C.如x bx c的图象与x轴的交点为 A、B，与y轴的交点为果关于x的方程x2 bxc 0的两个根都是整数,ABC的面积.4 2a cP(1,a)、Q(2,10a)在二次函数 ybx c的图象上，故1 b c10a ,解得 b 9a 3, c 8a2., 8a29a(1)由 c b 8a 知9a38a,又a为整数，所以a 2 ,b9a(2)设m,n是方程的两个整数根，且 由根与系数的关系可得m n3,解得1 a3.3 15, c 8a 2 mbn 3 9a , mn14.c 2 8a，消去a9mn 8(m n)两边同时乘以9,得 81mn72(mn)54,分解因式,(9m 8)

8、(9 n 8)10.所以9m或9m9n:,或9m9n10,或 9m1, 一 9n5,2, ,口 m解得n2,或10913J79,193,23,又m, n是整数,所以后面三组解舍去，故1,n2.因此，b(m n) 3, c mn2，二次函数的解析式为y x2 3x易求得点1 为丄(21)2B的坐标为(1,0)和(2,0),点C的坐标为(0,2),所以 ABC的面积第二试(B)a2 b2 e2 ab aebe13，求符合条件且周长不超过 30的三角形的个数全等的三角形只计算1次解不妨设a b由等式可得6,4,2 2(a b) (b e)令 a b m,b e于是，等式变为m2 n2 mn 13(a

9、e)226n2 (m由于m,n均为自然数，判断易知,7,(1)8,(2)6,当m 3,n1时,a ，即(e 1) e(e 4) (e 1)对应可得到当 m 1,na，即em n，其中m,n均为自然数2n) 26，即使得等式成立的m,n只有两组：m 3,和m 1, n 1 n 3.1， a b 3 e 4.又a,b,e为三角形的三边长，所解得e 3.又因为三角形的周长不超过30,即30，解得e5个符合条件的三角形3时,3) e4，解得2525.因此3 e，所以e可以取值4, 5,33b 1 e 4.又a,b,e为三角形的三边长，所e 1 .又因为三角形的周长不超过30,即2330，解得e勻.因此

10、1 I37,对应可得到6个符合条件的三角形30的三角形的个数为(e 4) (e 3)233 ,所以e可以取值2, 3,35,综合可知：符合条件且周长不超过5 + 6= 11.二. 此题总分值25分题目和解答与A卷第二题相同.三. 此题总分值25分题目和解答与A卷第三题相同.第二试 C一. 此题总分值20分题目和解答与B卷第一题相同.二. 此题总分值25分题目和解答与A卷第二题相同.三. 此题总分值25分设p是大于2的质数，k为正整数.假设函数2y x px k 1p 4的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值.解 由题意知，方程x2 px (k 1) p 4 0的两根x-, x

11、2中至少有一个为整数.由根与系数的关系可得 Xi X2p, X1X2 (k 1) p 4，从而有(x12)( x22) x1x22(x1 x2)4 (k 1)p(1) 假设k 1，那么方程为x px 2( p 2) 0，它有两个整数根2和2 p .(2) 假设 k 1，那么 k 10.因为X1 X2 p为整数，如果X1,X2中至少有一个为整数，那么X1,X2都是整数.又因为p为质数，由式知p | x12或p | x22 .不妨设p |x12，那么可设X12mp (其中m为非零整数)，那么由式可得x22如果m为负整数，那么(m 1)p盾k 10 ,从而(m 1)p0 ,与式矛m因此，k 1时，方

12、程x2px (k 1) p 40不可能有整数根.故(X12)(X22) mpk，即X1mk 1x24 mp.m又X1X2p ,所以 p4mpk 1，即m(m1)pk 14m如果1m为正整数，那么(m1)p(11) 36,0 ,从而(m 1)pk 1 mmm6 ,与式矛盾综上所述，k 1.2021年全国初中数学联合竟赛试题4fi 10 H 上牛!U 4511 . 1$)考生注mi.本试五大题金卷总分值lw分丄用圆耳鑒、签字莘或用苇作答. X解廳舟写不要趙出密封线;.題号 1二*四近总分得分评卷人复评人a(本題总分值2分，毎小鴉7分). I u I too. I 1 ft I In ilv i I

13、 f i ?园対曲壬壬鸽二省陥苇胃睿人术麗;t右6个小密 短曲均给出了代号为, H, C, I)的四个 答峯其中有口仅为一沪是正确的将你所选择的锌赛的代勺填 在甩阳削邛号内一每小題选対得7处 不堆.选粧脱出的代甘 字母趙过 个不管圮習写在品号旳儿一律那0分.Ld + b = 2, 上空+丄竺=_4.那么ab的值沟bai ml nil t It _ tn A s E 412. 己知/&?的两条扃线的处分别为5和瓯假设勢二条応统的长也圧翠数，那么滾二:糸高钱的最大血为()A. SiT) 6C. 7.D. 8.3. 方Tiqx1-l|=(4-2V3Xx + 2)的解的个数为()A. 1个B2个C,

14、3个D, 4个4. 今右氏应甘别为1, 2.9的线炭备一条，项从宁送岀假设干条践皿扒成找段徂&由这组銭段恰好可以拼比成亠止方勇，那么这碎飽“红诫的幻敎杵)A. 5ffl. B. 7 ffl.C. 9 SI.h九圏菱形.4/MD屮.AB =3DF= 1ZDAB - 60 ZFG=d5仁 FG丄 RCf H0E=()A. 1 + V2、B. 61C 23-1 D 14巧D. JI2021仝国初i牧沖迄迓试题+#A4页笫I页 + - 1 1 1qi MB .1 Ib X /*z2 y z*x3r y41.B- rCLDA.+尺眄值力二. 2&分.你R 分轲分WttAHJUj 4个小鼠 豪覃直1. /

15、tAAQC 中.己知ZBr2a, =議厶2二次*尸=*+虹7的料冷的用点九6细1E方自从左至后依次儿曲4 /輛止力甸Jt】C A. CAID 和OJC均为ftjM &!0仃一Glfl网的实IN 力IV ? +0和*。也TT个棚冋的实權.的0PL 休分 25分)4dM. AffliAl ABCD 中.2taZW = 60.AC.BD攵皿S. 11加.尸算心中点.索证, AD.DC li隼金H祈中徽供竟臭负共4评暫人五.分25分)己加UMLp刃世整肌mii.迎执-阻0)M C(0. p). 0乩假设乙. 鼻分准规左釣申徐栏肚恰分如變專生怕解答方也和4,伶不乩 只思睜汙理即m仏4讦卷m讪公 W!本评

16、介杯申用仔的科决徐T相定泊拜越.:选畀: C*M*分42分毎小?U分l B. 2. B.九 C. 4. C 5 D. C.二境空 C本QHza. 小U7疔I !、254. 24.豪0精分20分二个木订的实散“丄2藹足dJ-43,方片X +a7flx1 bx*严0仃亍斡冋曲安横力程+ +工十d=0和丿+仪+ A = 0也右的喉银4.cz.fr,r的fl解依號榔ar及中魔熬的因个方程阳:为.他溥史帕减 - - y曲朴加方碍的-个相咖宝根.紹;z ,禺眦ya汝心扯方隔扑力臧的-个也月的实机;那么:;:丙式相碱可的X】C-1脂yt xKxt = I *-10 彷15分乂从农|的网粗2且雪丁I TAix

17、,也绘力円帕虬 用卅+叫+ 10X. Jr：=0.种式用A匕 刘(a*l)x2 erI.尸何h.也力g：q尢实帳Ax?=i.J i|J. o - H e * -1. )La fr * f 3 i*J A - -X c * 2.IS. :diilZjJ-fD 60. ZJ/K 90. ZC7)120.M 曲线丿厂丿 DWrZS. HD = 2M Pij XCIft 中贞.术讦：Cl) ZPRDZQ仁(2 AD DC 证钏 nj mn=；sbm2SB3八叽丄EQ220il卑个HM叩歡宁lie走*试8劣勺签系孩评忖ZJff第-頁A=.沽分A Rt rMS 3RiZi . A EMF$ M& 伸=所以

18、/比疝二丄/jftZD.4C = 4S = Z/XX.所以刖2 DC.2Q 分L翹喬分鎂为)己知mmp如：0如 mvm 设川刊0)倒4). C(0./), O九空休康此.z ZACB = W h OAl + OB1 t)C2 = OA + OZM OC、.求岸像边 4 C ./.的次 /的的式.M为厶CB9Q，ac丄*3.阱以OA OBOC岬E幵tiOA + Ofl +()(*-耳Q片 *i)ff + CX) m 4/t3 + p， *fw + n p) 5 Vt乂 if/ +“+p =(m4/r+ /r _ 2(如+叩+ m/ =(ot + j?- p - 2(p* +/p + mp)f(/

19、 今冃 + p) - 2pirn 4-/?) pm + /i-p)M.rfu0解鞫i vpv。Hp 为疋轅 Ch 故 p=d:ip 二 2.1$ 廿马pul旳方柚为x?-4xlQ,当卩2M.方純为jr5jr令40两耻为rwh丹4,舞含知】的1?=4卜工2.,20分设出傘绘辻小EC二点!v!-：afi故的林折氏为y - Ah + IX.斗 4), 点C(0.2)的空标代入/ 2 =片切“一4八組机丄.2听以.花爼孟过凡DC二点的 欤曲敦的第析式为pi(x+lKx-4)M-g+x + 2.-25 fAMil第金闻怦冲枚帘联合克决试爲瞥考祁案艾评分柝那75貝2021年全国初中数学竞赛试题 副题题号-

20、一-二二三总分1561011121314得分评卷人复查人答题时注意:1 用圆珠笔或钢笔作答；2 解答书写时不要超过装订线；3 草稿纸不上交.一、选择题(共 5小题，每题7分，共35分.以下每道小题均给出了代号为 A , B , C, D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0分)1. 小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：1+2 = 34+5+6=7+894-10+11+12 = 13+14+1516+17+18+19 + 20 =21 + 22 + 23+24由上，我们可知第100行的最后一个数是()(A) 10000( B) 10

21、020(C) 10120( D) 10200左上角的1X1小方格被染成黑色,那么在这个表格中包含黑色2. 如图，在3X 4表格中, 小方格的矩形个数是()(A) 11(B) 12(第 2 题)3. 如果关于卞的方程J ；有两个有理根，那么所有满足条件的正整数*的个数是().(A) 1( B) 2( C) 3( D) 44. 假设函数y= ( k2 1) x2( k+1) x+1 ( k为参数)的图象与 x轴没有公共 点，那么k的取值范围是().5(A) k 1；，或 kv 15(B) 1v kv 1，且心 15(C) k -，或 kw 15. ABC中，上一，二 -1-分别为 以-上的点，二一

22、-平分一-1 , BM=CM ,- 为匸订上一点，且丘f VU，那么二三匸与二匚的大小关系为().(A)门二：；匸二匚 (B)二二匚二匚二(C)丄匸工E ；：匚1二(D )无法确定二、填空题(共 5小题，每题7分，共35分)6. 如图，正方形 ABCD的面积为90 .点P在AB上，一 -亠;X, Y, Z三点在BD上，且二二- = -,那么厶PZX的面积为.(第 6 题)7. 甲、乙、丙三辆车都匀速从 A地驶往B地.乙车比丙车晚 5分钟出发，出发后 40 分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，那么甲车出发后 分 钟追上乙车.2*8. 设an=(n为正整数)，贝U a

23、1+a2+a2021的值1.(填“,“=或 “v)9红、黑、白三种颜色的球各 10个把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等，那么共有种放法.10. ABC中，三、解答题(共4-,且 b=4,那么 a+c=4题，每题20分，共80 分)11. c -,或kv 1.当函数为一次函数时，k=1，此时y= 2x+1与x轴有公共点，不符合题意.当函数为常数函数时，k= 1,此时y=1与x轴没有公共点所以，k的取值范围是k二，或kw 1.5. B第 5 题解：如图，设，：，作BKCE，那么于是A，B，E，C四点共圆.因为報是三匚的中点，所以

24、-丄:- L ：，从而有KB _ EC _ sin _ AB _BD即匸二平分二、填空题6. 30第 6 题解：如图，连接PD，那么1 AK1 1 ?-x-x90i = 302 37. 180解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x, y, z米，由题意知4%=4血12宠=9y =工消去乙得.二设甲车出发后t分钟追上乙车，那么1，即9 + 20)x8.V卯1_1解：由 an二丁 一，得(1-ai + a2+ +a2oi2=R十+珂口一网i口9. 25桦= (10-(10-0(10-2)?：1 I 1.1. -.(2)(1)于是.因此门-中必有一个取5不妨设，代入1 式，得到= 10此时，y可取

25、1 , 2,，8, 9 相应地z取9, 8,，2, 1,共9种放法.同理可得 y=5, 或者z=5时，也各有9种放法但工二匸二17时，两种放法重复因此共有9X 3-2 = 25种放法.10. 6第10题解：如图，设厶ABC内切圆为O I,半径为r, O I与BC, CA, AB分别相切于点 D, E,F，连接 IA, IB , IC, ID , IE , IF.由切线长定理得AF = p a, BD=p b, CE=p c,其中 p= (a+b+c).IF在 Rt AIF 中，tan/ IAF=亍，即A rtan ：- JB_ rC7_ r同理， tan , tan，代入等式，得p-_ 4占)

26、十=li = lx4=6因此匕a+c=二 -三、解答题11.解: a 0 又 b+c = 10-(iT，且be ，所以b，c是关于x的一元.次方程x3-(10-a+(23 + ) = 0a的两个根.A= (10-a)3 -(23+)于是禺+匸=10口 W -10 , Q + 引?10,从而创+?10,故 30,当- L 工-时，等号成立.12.解：将 abc=d 代入 10ab+10bc+10ca=9d 得10ab+10bc+10ca=9 abc.1119因为abc*0,所以,十一十一=abc 10丄 1+11 2于是,一J V -w -：1030-v a八从而，a=2，或3.1. IJ 2因

27、为v- ,所以,12 2 2v 匚 w , - v bw 5.20从而，b=3, 4, 5.相应地，可得 c=15,1 舍去,5.当a=2 ,b=3 ,c=15 时,d=90;当a=2 ,b=5 ,c=5 时，d=50.1117+ =假设a=3 ,那么亡301. 11 21 17 2 30.60因为：v- W巳，所以，V - I w巳，匚v bw.从而，b=2 (舍去)，3.22当b=3时，c= (舍去).因此，所有正整数解为(a, b，c，d)=(2，3，15，90), (2，15，3，90), (3，2，15，90),(3, 15, 2, 90), (15, 2, 3, 90), (15,

28、 3, 2, 90),(2, 5, 5, 50), (5, 2, 5, 50), (5, 5, 2 , 50).13.证明:延长DA至f ,使得,那么亠=一-于是 DPCDP _ CD _CD _ DO西亟百丽ft.(第 13 题)又因为 DPO，所以OF 二鸥-DODB同理可得而AB I CD，所以co=A，故 OP= OQ.14.解：1由题设可得I2 =(1 + )(1+ 险) 或(1 + )J = 1-(1 + 2df)(1 + 2df - 1 (1 + a )由一解得/_; 由-L- -2-,解得 卫=;3由-1,解得 一 I 一一./ = 0 a F n =-所以满足题设要求的实数-

29、丄.2不存在.由题设：f“*整数卜?1满足首项与末项的积间项的平方，那么有:- I 1:1 L. I?解得*，这与*矛盾故不存在这样的数列3如果删去的是1，或者是二，那么由2 知-十4】十=, 或数列I ：-小：-二均为1，1，1，即U ,这与题设矛盾,i i.?如果删去的是得到的一列数为1：验，那么1-1a=可得 4 如果删去的是，得到的一列数为，那么狂)，开得1.所以符合题设要求的=的值为1,或二.2021年全国初中数学竞赛试题及参考答案、选择题1 设非零实数a , b , c满足a 2b2a 3b3c 0,那么4c 0,ab bc号的值为ca2 b2)1(A)丄2【答案】A(B) 0(D

30、) 1(a b解答】由c) 0 .于是ab bc ca1(a(2 ab23b4c) (a2b 3c)2ab bc cac )，所以飞ab2 c2非零实根X1 ,X2，那么以下关于x的一兀-次方程中，以12 ，4为两个实根的是xX2( ).(A)2 c x2 (b2 2ac)x a20(B) c2x2(b22ac)x a20(C)2 c x2 (b2 2ac)x a20(D) c2x2(b22ac)x a200有两个bx c2.a , b ,c是实常数，关于x的一元二次方程ax2【答案】B【解答】由于ax2 bxc 0是关于x的一兀次方程，那么a 0 .因为bcx-ix2，x-i x2，且W20

31、，所以c 0，且aa1Xi1X211N %2 2x2 b2 2ac F22,Xx2x1 x2c于是根据方程根与系数的关系，以，丄为两个实根的一元二次方程是X2-x 0，即 c2x2 b2 2acx a2 0 .cc3.如图，在 RtAABC中，O是斜边AB的中点，CD丄 AB,垂足为D，DE丄OC,垂足为E.假设AD，DB，CD的长度都 是有理数，那么线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定 是有理数 的为().(A) OD(B) OE(C) DE(D) AC【答案】D【解答】因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA=OB= OC= AD一BD是有理数.于是，OD = OA- AD是有

32、理2数.2由 RtADOEsRgCOD,知OE，DE DC DO 都OCOC是有理数，而AC=、一 AD AB不一定是有理数.(第3题答题)4. 如图， ABC的面积为24,点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC 4CF，DCFE是平行四边形，那么 图中阴影局部的面积为().(A) 3(B) 4(C) 6(D) 8【答案】C【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE/CF，且EF/DC.连接 CE，因为 DE/CF，即 DE/BF，所以 Sdeb = Sdec，因此原来阴影局部的面积等于厶ACE的面积.连接 AF，因为 EF/CD，即 EF/AC，所以 Smce = Sscf.因为

33、BC 4CF，所以Smbc = 4Smcf 故阴影局部的面积为6.5. 对于任意实数x，y，z，定义运算“ *为：第 4 题(第4题答题)3x3y 3x2y2xy3453y 160z，那么 2021 2021III3 2的值为)A607967【答案】C【解答】设2021 2021(B)1821967(D)163899672021 2021 川 43于是2021 2021川3、填空题IIIm，那么3m3 3 3 m29 m3m2723m 3m 164 6045 93 93 2 3 92 229 2310333 604554639676 .设a 3 , b是a2的小数局部,那么(b23的值为【答案

34、】9由于1 a 2 a2故 b a22 92 ,3(b 2)(39)37.如图，点D , E分别是 ABC的边AC, AB上的点，直线BD与CE交于点F， CDF， BFE, BCF的面积分别是3,4, 5,那么四边形AEFD的面积是 20413如图，连接AF，那么有:【答案】【解答】S AEF 4 _ S AEF S BFES AFDS AFDBFFDS BCFS CDFS AFD 3S AEFS AFD S CDFS AEFCFFES BCFS BEF10896,S AFD1313所以，四边形AEFD的面积是型13解得S AEF8 .正整数a, b, c满足a b22c23a 8b c 0

35、,(第 7 题)DBC第7题答题那么abc的最大值为【答案】20212b 86a2a66 .由a为正整数及6a2a 66,可得 K a 3假设a1 ,那么b2859，无正整数解；假设a2,那么b2840 ,无正整数解；假设a3,那么b289，于是可解得b11,b 5.【解答】8bc 0消去c,并整理得由 a b2 2c 20 , 3a2(i )假设 b 11 ,(ii)假设 b 5 , 综上知abc的最大值为2021.61，从而可得abc13，从而可得abc11 612021 ；3 5 13 195.9.实数a, b, c, d满足：一元二次方程x2 cx d 0的两根为a, b,元二次方程x

36、2 ax b 0的两根为c, d，那么所有满足条件的数组 a, b c d为.【答案】(1,2,1,2),，(t, 0t , 0 t为任意实数a bc,【解答】由韦达定理得ab d,c da,cdb.由上式，可知ba cd .假设b d0,那么ad.b1 , c -1,进而b d a c 2 .bd假设b d0,那么ca ,有(a , bcd) (t , 0 t , 0) (t为任意实数).经检验，数组1,2, 12)与(t , 0t , 0 t为任意实数满足条件.10. 小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元.开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，

37、但是他的销售收入恰好是2021元.那么他至少卖出了 支圆珠笔.【答案】207【解答】设x, y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，那么4x 7y 2021,x y 350,2021 7 yy 1所以 x(503 2y)44于是 是整数.又20214(x y) 3y 4 350 3y ,4所以y 204，故y的最小值为207,此时x 141 .三、解答题该抛物线与x轴交于A, B两11. 如图，抛物线y ax2 bx 3，顶点为E,点，与y轴交于点C,且OB= OC = 3OA.直线y交于点D.求/ DBC / CBE.【解答】将x 0分别代入yax2 bx 3 知,D(0, 1),所以C(0

38、,B(3,3),0), A( 1, 0).直线1过点B.将点C(0,3)的坐标代入y a(x1)(x3)，得 a 1 .抛物线yx2 2x 3的顶点为E(1, 4).于是由勾股定理得BC= 3、2 , CE= . 2 , BE= 2、5 . 因为BC2 + CE2= BE2,所以， BCE为直角三角形， 因此 tan CBE = C = .又 tan/DBO=D 1CB 3OB 3BCE 90 .,那么/ DBO =yr(第11题答题)CBE .所以， DBC CBE DBC DBO OBC12. 设厶ABC的外心，垂心分别为O, H，假设B, C, H , O共圆，对于所有 的厶ABC，求

39、BAC所有可能的度数.【解答】分三种情况讨论.i 假设厶ABC为锐角三角形.因为 BHC 180A， BOC 2 A，所以由 BHC BOC，可得180 A2A，于是 A 60 .ii角三角形.假设第 12题答题iiABC为钝当A90时，因为 BHC 180A，BOC2 180A ,所以由BHCBOC 180，可得3 180A180，于是当A90时，不妨假设 B 90，因为BHCA,BOC所以由BHCBOC 180，可得3 A180，于是A 60 .2 A，A 120。iii假设厶ABC为直角三角形.当A 90时，因为O为边BC的中点，B，C，H，O不可能共圆， 所以A不可能等于90 ；当 A

40、 90时，不妨假设B 90，此时点 B与H重合，于是总有B, C，H，O共圆，因此 A可以是满足0 A 90的所有角.综上可得，A所有可能取到的度数为所有锐角及120 .13.设 a , b , c 是素数，记 x b c a, y c a b, z a b c ,当z2y, X,72时，a , b , c能否构成三角形的三边长？证明你的结论.【解答】不能.依题意，得 a 1 (y211z), b(x z), c(x y).22因为yz2，所以a1 /、1 / 2、 z(z 1)2(y z) 2(z z)2 _ .又由于z为整数，a为素数，所以z 2或3 , a 3 .当 z 2 时，y z2

41、 4, x G y 2)2 16 .进而，b 9, c 10,与 b, c 是素数矛盾；当z 3时，a b c 0，所以a , b , c不能构成三角形的三边长.14.如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被 7整除，那么 称M为m的“魔术数(例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7 整除，所以称86为415的魔术数).求正整数n的最小值，使得存在互不相同的 正整数a1, a2,，an，满足对任意一个正整数 m,在, a?,，an中都至少有 一个为m的魔术数.【解答】假设nW6,取m 1,2,，7,根据抽屉原理知，必有a1, a?,，an中的一个正整数 M是i, j(1

42、i v j 7)的公共的魔术数，即7|(10M i),7|(10M j).那么有 7|(j i)，但 0v j i 7.又当印，a2,，an为1, 2,，7时，对任意一个正整数 m,设其为k位数(k为正整数)那么10ki m ( i 1,2,，7)被7除的余数两两不同.假设不然，存在正整数 i , j(1 i v j 7)，满足 7|(10kj m) (10ki m)，即 7|10k( j i),从而7|( j i)，矛盾.故必存在一个正整数i (1 i 7)，使得7|(10ki m),即i为m的魔术数.所以，n的最小值为7.2021年全国初中数学联赛决赛试题、选择题：此题总分值42分，每题7分11、，11、2,11、1.x, y为整数，且满足一 )(-22 )T，那么x y的可能的