第四章-随机变量的数字特征总结15页

1、随机变量的数字特征总结第四章 随机变量的数字特征 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X的数学期望定义为 其中表示对X的一切可能值求和对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在 常见的离散型随机变量的数学期望1、离散型随机变量的数学期望设离散型随机变量的概率分布为，若，则称级数为随机变量的数学期望（或称为均值），记为, 即2、两点分布的数学期望设服从01分布，则有，根据定义，的数学期望为 .3、二项分布的数学期望设服从以为参数的二项分布

2、，则。4、泊松分布的数学期望设随机变量服从参数为的泊松分布，即，从而有。 常见的连续型随机变量的数学期望 1)均匀分布 设随机变量服从均匀分布，Ua，b (a0， - + ) 则 令 得 E()= . 3)指数分布 设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为 ，则. (2) 随机变量的函数的数学期望 设为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出的概率分布再求其数学期望；对于二元函数，有类似的公式： 设为二维离散型随机变量，其联合概率函数如果级数绝对收敛，则的函数的数学期望为； 特别地.设为连续型随机变量，其概率密度为，

3、如果广义积分 绝对收敛，则的函数的数学期望为 设为二维连续型随机变量，其联合概率密度为，如果广义积分绝对收敛，则的函数的数学期望为；特别地 ,.注：求E(X,Y)是无意义的，比如说二维（身高，胖瘦）的数学期望是无意义的，但是二维随机变量函数Z= E(X,Y)是有意义的，他表示的是函数下的另一个一维意义。2、数学期望的性质 (1) 对于任意常数c，有 例EE(X)=E(X)(2) 对于任意常数，有例：E(aX+b)=aE(X)+b(3) 对于任意，有(4) 如果相互独立，则(注：相互独立有后面的结论成立，但这是单向性的，即不能有结论推出独立) 方差和标准差 表征随机变量取值分散或集中程度的数字特

4、征1、方差的定义 称为随机变量X的方差，称为随机变量X的标准差随机变量X的方差有如下计算公式： (4.3)2、常见分布的方差 (1)两点分布 设(0-1)，其概率分布为: P(=1)=p， P(=0)=1-p=q (0p1) E()=p， E(2)=12p+02(1-p)=p D()=E(2)-(E()2=p-p2=p（1-p）(2)二项分布 设B(n,p)， 其概率分布为: (k=0, 1, 2,n) (0p1) E()=np , (此处运用组合数公式 ) = =, (运用二项分布的数学期望公式知 ) E(2)=np(n-1)p+np , D()=E(2)-(E()2=np(1-p)(3)均

5、匀分布 设Ua, b ( a0，-+) E()= (令t=(x-)/) =2 D()=2. (5)指数分布2、方差的性质 (1) ，并且当且仅当（以概率）为常数；(2) 对于任意实数，有；（方差对随机变量前面的常数具有平方作用）(3) 若两两独立或两两不相关，则（4）D(X)0，D(X)=0的充要条件是PX=E（X）=1或者PX=C=1.(5)设X是一个随机变量，c是常数，则D(X+c)=D(X).例：D(k+c)= k2D()； 切比雪夫不等式我们知道方差是用来描述随机变量的取值在其数学期望附近的离散程度的，因此，对任意的正数，事件发生的概率应该与有关，而这种关系用数学形式表示出来，就是下面

6、我们要学习的切比雪夫不等式。定理1 设随机变量的数学期望与方差存在 ，则对于任意正数，不等式 （1）或 （2）都成立。不等式（1）和（2）称为切比雪夫不等式。切比雪夫不等式给出了在随机变量的分布未知的情况下，只利用的数学期望和方差即可对的概率分布进行估值的方法，这就是切比雪夫不等式的重要性所在。例1 已知正常男性成人血液中，每毫升含白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在之间的概率。解 设表示每毫升血液中含白细胞个数，则而又 所以 协方差和相关系数 考虑二维随机向量，其数字特征包括每个变量的数学期望和方差，以及和的联合数字特征协方差和相关系数1、

7、协方差和相关系数的定义 (1) 协方差 随机变量和的协方差定义为， 其中(2) 相关系数 随机变量X和Y的相关系数定义为 2、协方差的性质 设随机变量和的方差存在，则它们的协方差也存在(1) 若和独立，则；对于任意常数c，有(2) (3) 对于任意实数a和b，有(4) 对于任意随机变量，有(5) 对于任意和，有（等号成立，且当仅当存在常数啊，a，b使PY=a+bX=1成立）(6) 对于任意和，有3、相关系数的性质 相关系数的如下三条基本性质，决定了它的重要应用设和的相关系数，(1) (2) 若和相互独立，则=0；但是，当=0时和却未必独立(3) 的充分必要条件是和（以概率）互为线性函数(4)对

8、随机变量x，y，下列事件等价：cov（X,Y）=0;X和Y不相关；E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y)三条性质说明，随着变量和之间的关系由相互独立到互为线性函数，它们的相关系数的绝对值从0增加到1，说明相关系数可以做两个变量统计相依程度的度量4、随机变量的相关性 假设随机变量和的相关系数存在若= 0，则称和不相关，否则称和相关(1) 若两个随机变量独立，则它们一定不相关，而反之未必；(2) 若和的联合分布是二维正态分布，则它们“不相关”与“独立”等价 矩 在力学和物理学中用矩描绘质量的分布概率统计中用矩描绘概率分布常用的矩有两大类：原点矩和中心矩数学期望是一阶原点矩，

9、而方差是二阶中心矩1、原点矩 对任意实数，称为随机变量的阶原点矩，简称阶矩原点矩的计算公式为： 一阶原点矩是数学期望； 2、中心矩 称为随机变量的阶中心矩二阶中心矩是方差D(X)； 3.混合中心矩随机变量的阶混合原点矩定义为；随机变量的阶混合中心矩定义为阶混合中心矩为协方差.（四）常用分布的数字特征 9.1当服从二项分布时， 9.2 当服从泊松分布时， ， 9.3 当服从区间上均匀分布时， 9.4 当服从参数为的指数分布时， 9.5 当服从正态分布时， 9.6 当服从二维正态分布时，； 三、典型例题及其分析例4.2.1 一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0

10、.20和0.30，假设各部件的状态相互独立，以表示同时需要调整的部件数，试求的数学期望和方差.【思路】 关键是求出的分布律，然后用定义计算.【解】 引入事件： 根据题设，三部件需要调整的概率分别为 由题设部件的状态相互独立，于是有 于是的分布律为X0123P 0.5040.3980.0920.006从而 故 【解毕】【技巧】 本题的关键是引入事件，将的分布律求出，因此，可以发现求期望和方差的难点转到了求的分布.同时，方差的计算一般均通过公式来进行.例4.2.3 设是一随机变量，其概率密度为求. (1995年考研题)【解】 于是 【解毕】【技巧】 在计算数学期望和方差时，应首先检验一下的奇偶性，

11、这样可利用对称区间上奇偶函数的积分公式简化求解，比如本题中，为偶函数，故同样的计算也可直接简化.例4.2.4 已知连续型随机变量的密度函数为 求与. (1987年考研题)【思路】 一种求法是直接利用数学期望与方差的定义来求.另一种方法是利用正态分布的形式及其参数的含义.【解】 （方法1）直接法.由数学期望与方差的定义知 （方法2） 利用正态分布定义. 由于期望为，方差为的正态分布的概率密度为所以把变形为 易知,为的概率密度,因此有 【技巧】 解决本题的关键是要善于识别常用分布的密度函数，不然的话，直接计算将会带来较大的工作量.反过来，用正态分布的特性也可以来求积分等.(2)若干计算公式的应用主

12、要包括随机变量函数的数学期望公式，数学期望与方差的性质公式的应用.例4.2.5 设表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，求. (1995年考研题)【解】 由题意知于是由可推知【寓意】 本题考查了两个内容，一是由题意归结出随机变量的分布；二是灵活应用方差计算公式，如果直接求解，那么的计算是繁琐的.例4.2.6 设服从参数的指数分布，求.（1992年考研题）【解】 由题设知，的密度函数为且，又因为从而 【解毕】【寓意】 本题的目的是考查常见分布的分布密度（或分布律）以及它们的数字特征，同时也考查了随机变量函数的数学期望的求法.例4.2.7 设二维随机变量在区域内服从均

13、匀分布，求随机变量的方差 【解】 由方差的性质得知又由于的边缘密度为于是因此 ， 【解毕】【技巧】 尽管本题给出的是二维随机变量，但在求的期望于方差时，可以从的边缘密度函数出发，而不必从与的联合密度函数开始.在一般情形下，采用边缘密度函数较为方便.例4.2.8 设随机变量和独立，且服从均值为1，标准差为的正态分布，而服从标准正态分布，试求随机变量的概率密度函数.（1989年考研题）【思路】 此题看上去好像与数字特征无多大联系，但由于和相互独立且都服从正态分布，所以作为的线性组合也服从正态分布.故只需求和，则的概率密度函数就唯一确定了.【解】 由题设知，.从而由期望和方差的性质得 又因是的线性函

14、数，且是相互独立的正态随机变量，故也为正态随机变量，又因正态分布完全由其期望和方差确定，故知，于是，的概率密度为 【解毕】【寓意】 本题主要考查二点内容，一是独立正态分布的线性组合仍为正态分布；其二是正态分布完全由其期望和方差决定.例4.2.9 假设随机变量服从参数为的指数分布，随机变量 （1） 求和的联合概率分布；（2） 求.【解】 显然，的分布函数为 （1）有四个可能取值：且 于是得到和的联合分布律为 0 1 0 0 1 （3） 显然，的分布律分别为 0 1 0 1P P 因此 故 【解毕】【技巧】 本题中若不要求求与的联合分布律，也可直接求出，这是因为 而 因此 不仅如此，我们还能求其他

15、函数的期望.例如求，此时，由于 故 例4.2.10 设随机变量服从二维正态分布，其密度函数为 求随机变量的期望和方差.【思路】 利用随机变量函数的期望的求法进行计算.【解】 由于，故令，则而故 【解毕】【技巧】 本题也可先求出的密度函数，再来求的期望与方差，但由于求的密度本身就是一繁琐的工作，因此我们借助随机变量函数的期望公式来求解，再此公式中并不需要知道的分布，而只需直接计算一个二重积分即可.因此，对随机变量函数的期望计算问题，除非它是一线性函数，或者为离散型随机变量，一般我们往往不直接去求这个函数的分布，而直接按随机变量函数的期望计算公式来求解.例4.3.4 已知随机变量与分别服从正态分布和，且与的相关系数，设求：（1）的数学期望和方差；（2）与的相关系数；（2） 问与是否相互独立？为什么?（1994年考研题）【解】 （1）由数学期望的运算性质有由有（2）因为所以 （