概率论：随机事件及其概率

1、 1 1 、定义定义 样本空间样本空间S S的子集称为的子集称为随机事件随机事件, ,简称为简称为事件事件。 随机事件一般用大写字母随机事件一般用大写字母A A、B B、CC表示。表示。试验试验E E：掷一枚骰子，观察出现的点数。：掷一枚骰子，观察出现的点数。 样本空间样本空间 S=1S=1，2 2，3 3，4 4，5 5，66，“出现偶数点出现偶数点”的事件的事件A=2A=2，4 4，66；例如例如 “出现不小于出现不小于3 3的点数的点数”的事件的事件B=3B=3，4 4，5 5，66； “出现大于出现大于6 6点点”的事件为不可能事件的事件为不可能事件； “出现点数不超过出现点数不超过6

2、”6”的事件为必然事件的事件为必然事件 ，等等，等等。 当且仅当集合当且仅当集合A中的一个样本点出现时中的一个样本点出现时,称称事件事件A发生发生.如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 . : 样本空间为样本空间为 . 654321,S 事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点 1,3,5 B发生当且仅当发生当且仅当B中的样本点中的样本点1,3,5中的某一个中的某一个出现出现.事件发生：事件发生：2 AAESSA ( ) ( ) 3 4 事件事件A相应于样本空间的一个子集，基本事件相应于样本空间的一个子集，基本事件只含一个样本点。只含一个样本点。 在一次试验中，事件在一次

3、试验中，事件A发生当且仅当发生当且仅当A中的一中的一 个样本点出现；个样本点出现； 必然事件在每次试验中均发生；不可能事件必然事件在每次试验中均发生；不可能事件 在每次试验中均不发生；在每次试验中均不发生； 基本事件两两互斥，且在每次试验中有且基本事件两两互斥，且在每次试验中有且有一个发生。有一个发生。意义：事件意义：事件A A发生必发生必事件事件B B发生。发生。 若若A BA B，则称事件，则称事件B B事件事件A A。（子事件子事件） 若若A BA B且且B AB A，则称事件，则称事件A A与事件与事件 B B，记为，记为A=BA=B。,(1, 2,)kA BAk 集合间的关系与运算集

4、合间的关系与运算SBABA SBABA | .or. ABAB AB, A B, A B, | ABAB ,A B, A Bn1,1,2, | niiiinAA , | ABAB AB, A B6 , ASBBBSAAABS,A B ABSAB,A BAB,A BSBA“骰子出现骰子出现1点点” “骰子出现骰子出现2点点”互斥互斥7 BABAABBA ,CBACBA)( )(CBACBA)( )()( )( )(CABACBA)( )( )(CABACBA, ABABABAB1111 , nnnnkkkkkkkkBBBB8 9 【例【例1】 解解 CBA特别注意：特别注意：BCCB10 ,CB

5、A“A，B，C不会同时不发生不会同时不发生” ABCBCACBACABCBACBACBA,CBA“A，B，C至少有一个发生至少有一个发生” CBABAA11 CBACBACBA“A，B，C至少有一个不发生至少有一个不发生” “A，B，C不会同时发生不会同时发生” ABC12 【例【例2 2】kA)3 , 2 , 1( kk321)(AAAA321)(AAASC)()()(123121AAAAAAB112323123( )DA A AA A AA A A 解由事件运算律知：解由事件运算律知：321321AAASAAAS321211123121)()(AAAAAAAAAAAA而而 仅表示仅表示“恰

6、有一次击中恰有一次击中目目 标标”，故应选，故应选A,B,CA,B,C。321321321AAAAAAAAA321AAA321AAA32121AAAAA321AAA13 设好事件，并用简单事件的运算关系来表达复设好事件，并用简单事件的运算关系来表达复 杂事件在解概率题中是基本而重要的。特别，要弄杂事件在解概率题中是基本而重要的。特别，要弄 清清“恰有恰有” ” 、“至少至少” ” 、“至多至多” ” 、“都发生都发生” ” 、“都不发生都不发生”、不都发生、不都发生”等词语的含义。等词语的含义。 有些文字表达的事件可通过设事件为字母，再有些文字表达的事件可通过设事件为字母，再 利用事件的关系与

7、运算来表达。利用事件的关系与运算来表达。此外，要注意同一此外，要注意同一 个事件的不同表达形式，注意语言表述的准确性。个事件的不同表达形式，注意语言表述的准确性。注注 意意 利用文图易知：差事件可化为积事件利用文图易知：差事件可化为积事件;BABA.)(,BAABAABA和事件可互斥分解为和事件可互斥分解为显然，这种互斥分解不一定唯一。显然，这种互斥分解不一定唯一。练习：练习： 设设A,B,C 表示三个随机事件表示三个随机事件,试将下列事件试将下列事件用用A,B,C 表示出来表示出来.(1) A 出现出现 , B, C 不出现不出现;(5) 三个事件都不出现三个事件都不出现;(2) A, B都

8、出现都出现, C 不出现不出现;(3) 三个事件都出现三个事件都出现;(4) 三个事件至少有一个出现三个事件至少有一个出现;)1(CBA;)2(CAB;)3(ABC;)4(CBA;)5(CBA(6) 不多于一个事件出现不多于一个事件出现;)6(CBACBACBACBA 0( )1nfAAnn,( )AnnfAA( )AnnfAnnAAnnAnAA,( )nfA15 试验试验序号序号5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.50

9、0.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例1 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.处处波波动动较较大大在在21波动最小波动最小随随n的增大的增大, 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性处处波波动动较较小小在在2116 )(Hf的增大的增大n.21实验者实验者nHn()nfH 0.5005 12012 24000皮尔逊皮尔逊 0.5016 6019 12000皮尔逊皮尔逊 0.5069 2048 4048蒲蒲

10、丰丰 0.5181 1061 2048 德德 摩根摩根17 我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验高尔顿高尔顿(Galton)板试验板试验.试验模型如下所示试验模型如下所示:自上端放入一小球自上端放入一小球,任其自任其自由下落由下落,在下落过程中当小球碰在下落过程中当小球碰到钉子时到钉子时,从左边落下与从右边从左边落下与从右边落下的机会相等落下的机会相等.碰到下一排钉碰到下一排钉子时又是如此子时又是如此.最后落入底板中最后落入底板中的某一格子的某一格子.因此因此,任意放入一球任意放入一球,则此球落入哪一个格子则此球落入哪一个格子,预先难以确定预先难以确定.

11、但是如果放但是如果放入大量小球入大量小球,则其最后所呈现的曲线则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样几乎总是一样的的.18 单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出请看动画演示请看动画演示19 20 对相同或不同的试验次数，同一事对相同或不同的试验次数，同一事件的频数不一定相同，从而所得的频率也不一定相同件的频数不一定相同，从而所得的频率也不一定相同，因而无法用频率来度量事件发生的可能性的大小；，因而无法用频率来度量事件发生的可能性的大小； 1limpnnPAnpA 随着试验次数的无限增大，事件的随着试验次数的无限增大，事件的频率逐渐稳定于某个常数，因而可用该常数来度量事频率

12、逐渐稳定于某个常数，因而可用该常数来度量事件发生的可能性的大小。件发生的可能性的大小。21 pAP)()()(AfAPn22 1 1）、）、 设设为随机试验为随机试验E E的样本空间，对的样本空间，对E E的每个事的每个事件件A A，称，称满足下列公理的实数满足下列公理的实数( (集合函数集合函数)P(A)P(A)为事件为事件A A的概率的概率: :、非负性、非负性;0)(AP、规范性、规范性( )1;P 、可列可加性、可列可加性 设设 为两两互斥事件组为两两互斥事件组, ,则有则有,21AA).(11kkkkAPAP23 . )()()(111kkkkkPAPAPP 由概率的公理化定义可得概

13、率的性质由概率的公理化定义可得概率的性质: : P()=0.P()=0.证在可列可加性中取所有的证在可列可加性中取所有的A AK K=得得: :再由非负性得再由非负性得: :. 0)(P 设设 为两两互斥事件组为两两互斥事件组, ,则有则有nAAA,21).(11nkknkkAPAP 有限可加性有限可加性 证在可列可加性中取证在可列可加性中取A AK K=(k=n+1,n+2,), =(k=n+1,n+2,), 再利用性质再利用性质1 1即得即得. .24 ).(1)(APAP 证因为证因为,AAAA 1( )()( )( )PP AAP AP A 即即).(1)(APAP ：公式：公式 在计

14、算概率时是非常在计算概率时是非常 有用的有用的. .当直接计算某事件概率比较困难时当直接计算某事件概率比较困难时, ,可以转可以转 而计算其对立事件的概率，进而利用上述公式所需而计算其对立事件的概率，进而利用上述公式所需 的概率的概率. .)(1)(APAP所以由有限可加性及规范性得所以由有限可加性及规范性得: :25 证将事件证将事件B B分解为互斥事件的和事件得：分解为互斥事件的和事件得： 若若 , , 则则AB );()()(APBPABP.)(, )(ABAABAB由有限可加性得由有限可加性得: :)()(ABAPBP即得即得: :).()()(ABPAPBP由非负性得由非负性得: :

15、).()(APBP减法公减法公式有条式有条件或称件或称单调性单调性).()(APBP).()(ABPAP26 对任意事件对任意事件A, A, 总有总有. 1)(AP证由于证由于A ()( )( )PAPP A 所以由减法公式得：所以由减法公式得：再由概率的非负性、规范性知：再由概率的非负性、规范性知：()0, ( )1,PAP 即得：即得：. 1)(AP()( )( )ABP BAP BP A27 证将证将ABAB互斥分解得互斥分解得: :).()()()(ABPBPAPBAP,)(,)(BABABABABA又又, AAB故由有限可加性与减法公式得故由有限可加性与减法公式得: :加法公式加法公

16、式)()()(BPABPAP)()()(BPABAPBAP).()()(ABPBPAP ：虽然：虽然AB=(A-B)B,AB=(A-B)B,但但P(A-B)P(A-B)不能用减不能用减 法公式法公式, ,而而A-B=A-AB,A-B=A-AB,且且P(A-AB)P(A-AB)可用减法公式可用减法公式! !28 ).()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP 加法公式可推广至有限个事件的和事件加法公式可推广至有限个事件的和事件. . 例如，三个事件的加法公式例如，三个事件的加法公式: : n n个事件的加法公式请看教材个事件的加法公式请看教材, ,掌握其规律掌握

17、其规律. .解解),()()1(BPABP 由由图图示示得得.21)()( BPABP故故)()()()2(APBPABP 由图示得由图示得.613121 .81)()3(;)2(;)1(.)(,2131, ABPBABAABPBA互斥互斥与与的值的值三种情况下三种情况下求在下列求在下列和和的概率分别为的概率分别为设事件设事件BASSAB3例例29 )()()(ABPABP 3.838121 SABAB)()(ABPBP 30 1、概率的定义、概率的定义概率是随机事件发生可能性大小的度量概率是随机事件发生可能性大小的度量概率是频率的稳定值概率是频率的稳定值概率是样本空间到实数集的集合函数概率是样本空间到实数集的集合函数小结小结概率的生活模型是频率概率的生活模型是频率频率具有波动性和稳定性频率具有波动性和稳定性2. 概率的性质概率的性质三条公理三条公理 六条性质六条性质31 32 练习练习1 1： 解由概率的加法公式得解由概率的加法公式得: :).()()()(BAPBPAPABP 由由0P(A)P(B)0P(A)1P(AB)=P(A