高三复数复习专题

1、高三复数专题复习:一、复数的概念及运算：1、复数的概念：(1)虚数单位i ；(2)实部：rez ,虚部：im z;(3)复数的分类(z a bi)虚数(b初 有理数实数(b 0)无理数纯虚数(a0)非纯虚数(aa,b r ;0)0)(4)相等的复数:2、复数的加、减、乘、除法则:(1)(2)加减法具有交换律和结合律;(3)乘法具有交换律、除法：ab!结合律、分配律;c di3、复数的共轲与模：ac bd2 t2c dbc add2i(c di 0)。(1) z r z zz z ,反之不成立;(2)复数z a bi与点z a, b是对应关系，另：z与z关于x轴对称,z表示z对应点与原点的距离。

2、4、复数共轲运算性质:z1 z2 z1 z2,z1z2ziz2,二z2z1 =;z25、复数模的运算性质:“2ziz2z20),znzn。6、复数的模与共轲的练习:z2 z7、重要结论(1) 对复数z、z1、z2和自然数mr n,?zn(zm)mnz(zi ?z2)z1n?nz2(2)i1(1(4)i)22i3n 3n精锐教育网站:8. 一些几何结论的复数形式(1)复平面上z1, z,2, z,3三点共线的充要条件是z2zl(r).(2)复平面上1.z1 z2乙z2z3为正三角形的充要条件是z3 zz(有三种形式，它们是等价的)c 222.乙z2z22z3z3z3z

3、1 ；z1z2z2z3z1z3；23.z1z2 z30cos i sin . 33-f 一， 1(3)复平面上 乙z2z3的面积为s小为s - im z2 z1 z2 z1 . 2r,(4)复平面上z1,z2,z3,z4四点共圆的充要条件是：红卫 二二2 z4 zlz4 z2二、复数的三角形式：1、复数的三角形式概念：任何1个复数z a bi,都可以改写成复数的形式：z r(cos i sin ),其中：r a a2 b2, cos a, sin b; rr2、复数的三角形式的乘法公式：设复数乙 r1(cosisin ),z2 r2(cosi sin )贝u,乙 z2 r1 (cos isin

4、 ) r2(cosisin )qr2cos isin即：两个复数相乘，积的模等于两个复数的模之积，积的辐角等于两个复数的辐角之和。上述结论，可以推广到有限个复数相乘的情况；23zn r1 (cos 1 isin 1) r2(cos 2 isin 2) r3(cos 3 isin 3) rn(cos n isin n)rr2 r3 rn cos 123n isin 123 n3、复数的三角形式的乘方公式( 棣莫佛定理)r(cos isin ) n rn(cosn isin n )即：复数的n (ncn)次哥的模等于模的n次哥，辐角等于这个复数的辐角的n倍，这个定理称为棣莫佛定理。4、复数的三角形

5、式的除法公式设乙r1cos i sin,z2 r2 cos i sin ;4r1cosi sinr1.则：- cos i sin .z22cosi sin上即：两个复数像除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减 去除数的辐角。三、复数中的方程问题：1、实系数一元二次方程的根的情况:对方程 ax2 bx c 0 （其中 a, b,c r且 a 0）,令 b2 4ac ,当 0时，方程有两个不相等的实数根。当=0时，方程有两个相等的实根；当 0时，方程有两个共轲虚根：x1 -22、复系数一元二次方程根的情况：对方程ax2 bx c 0,xb的平方根3、一元二次方程的根与系数

6、的关系:x1 x2若方程ax2 bx c 0 （其中a, b,c r且a 0）的两个根为x1、x2,则 cx1 x2 a四、例题精选.22例 1：已知 z 2 3 z 2 3i 40,求 z ；例2：已知z23 4i3 1 .i223i 410,求z1.例3：设z为虚数，z 为实数，且 12。z(1)求z的值及z的实部的取值范围；1 z(2)证明：u -z为纯虚数；1 z例4：已知关于t的方程t2 2t a 0(a r)有两个根t1、t2,且满足t1 t2 2屈。(1)求方程的两个根以及实数 a的值；(2)当a 0时，若对于任意 x r,不等式log a x2 ak2 2mk 2k对于任意的1

7、k 2,-恒成立，求实数 m的取值范围。2例5：已知复数z1满足(i i)z11 5i,z2 a 2 i ,其中i为虚数单位，a r,若z1 z2z1 ,求a的取值范围。例6：设虚数z满足2z 5 z 10 o(1)求z的值；(2)若z m为实数，求实数m的值； m z(3)若1 2i z在复平面上对应的点在第一、第三象限角平方线上，求复数 z o例7:已知方程x2 x p 0有两个根x1和x2, p r。(1)若xix23,求实数p ；若x1x23,求实数p ；2例8：已知复数z a bi(a,b r )是方程x 4x 5 0的根，复数u 3i(ur)满25 ,求u的取值范围。例9：关于x的

8、方程x2 (2a bi)x a bi值。有实根，求一个根的模是 2,求实数a, b的40例 10：设两复数 z1,z2满足 z； axz1z2 -z2 0 (其中 a 0且a 1 , x r), 4是虚数。(1)求证： 为 是定值，求出此定值；z2求二z2(2)当x n时，求满足条件的虚数 主的实部的所有项的和。z2例11：设两个复数zp z2满足100z2 z2 kz1z2 k r ,并且 三是虚数，当k n时,求所以满足条件的虚数包的实部之和。zi例 12：计算：(1) 22 cos i sin 3 cos i sin 1212665 3 cos i sin 一 55(3) 12 cos

9、i sin 336 cos i sin66例13：给定复数 z ,在z , 一 一 2-22 z, z z, z , z, z , z , z 这八个值中，不同值的个数至多是o例14:已知下列命题(1) z z z r；(2)z zz为纯虚数；(3)z1z20z1z2；(4) z1 z2 0z1 。或22 。；(5) z-2 z； 0其中正确的命题是 ；一 _10例15：是否存在复数z同时满足条件：1 z z在，求出复数z,若不存在，说明理由。z1 z2 0；(6) z2 z2 z6；z的实部、虚部为整数。若存例16：设乙是已知复数，z为任意复数且 z 1,z z乙，则复数 对应的点的轨迹是(

10、)a、以乙的对应点为圆心、1为半径的圆；b、以乙的对应点为圆心，1为半径的圆；1 1c、以一z1的对应点为圆心、一为半径的圆；2 21 1d、以 一乙的对应点为圆心，一为牛径的圆；2 2例17：满足方程z rez 1的复数z对应的点的轨迹是 ()。a、圆b、椭圆c、双曲线d、抛物线例18：复平面内，满足 z (1 i) z (1 i) 2的复数z所对应的点的轨迹是 ()a、椭圆b、双曲线c、一条线段d、不存在， 、一 2例19：满足万程z 15z 16 0的复数z对应的点的轨迹是()a、四个点 b、四条直线c、一个圆d、两个圆例20：设复数z (2x a) (2 x a)i,x、a r,当x在

11、 ， 内变化时，求 z的最 小值g a 。例21 ：若复数z1和z2满足：z2az1i(a0),且z2乙 乙z284v2。z1和z2在复平面中对应的点为 乙和z2,坐标原点为。，且oz1 oz；,求 oz1z2面积的最大值， 并指出此时a的值。例22：已知复数z0 1 mi m 0 , z x yi, a bi x, y,a,b r , i为虚数单位，且对于任意复数z ,有z0 z, 2 z。(1)试求m的值，并分别写出 a和b用x、y表示的关系式；(2)将x,y作为点p的坐标，a,b作为点q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点 p变到这一平面上的点 q,当点p在直

12、线y x 1上移动 时，试求点p经该变换后得到的点 q的轨迹方程；(3)是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。例23 ：已知复数。 m 川上 2 2i和z x yi ,其中m,n,x, y均为实数，且z z1i z2。1 2(1)若复数乙所对应的点m(m,n)在曲线y (x 3)1上运动，求复数z所对应的点2p(x, y)的轨迹方程；3 .、(2)将(1)中点p的轨迹上每一点沿向量 a (,1)方向平移，得到新的轨迹 c,求c的2方程。(3)轨迹c上任意一点a (异于顶点)作其切线 l,l交y轴于点b。问：以ab为

13、直径的圆是否恒过x轴上一定点？若存在，求出此定点坐标；若不存在，则说明理由。例题答案:1、j7 ；2、1;13、(1)-2rez1; (2)略;5、a1,7 ； 6、(1) z5； (2) m5;(3) z1023101或721027、（1）2;(2)当0 p时，方程无解;当p 0时,2;当p；8、2,6 ； 9、当 b时，a0时,1,3,a 1l 0b .310、（1）40 2x a a2定值20a;2(2)a 1 时，a19 a21a 1 时，；1 a11、 95;16、d;12、略;17、d;13、4;18、c;14、（1）(4);15、存在、z 13i或z19、c;20、a2 2, 2a2 4a(88 4.22,a21 、,saziz24.2)2211v