选修3-1《数学史选讲》全册解读ppt课件汇编

1、 数学史选讲补充材料 浙江师范大学教师教育学院 徐元根第一讲第一讲 早期早期的算术与几何的算术与几何 埃及和巴比伦的数学埃及和巴比伦的数学 中国的早期数学中国的早期数学 纸草书 纸草书是研究古埃及数学的主要来源 莱因德纸草书：最初发现于埃及底比斯古都废 墟，1858年为苏格兰收藏家莱因德购得，现藏 于伦敦大英博物馆又称阿姆士纸草书，阿姆 士在公元前1650年左右用僧侣文抄录了这部纸 草书，据他加的前言知，所抄录的是一部已经 流传了两个世纪的著作含84个数学问题 莫斯科纸草书：又称戈列尼雪夫纸草书，1893 年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得，现存于 莫斯科博物馆产生于公

2、元前1850年前后，含 有25个数学问题 古埃及的计算技术具有迭加的特征，乘 除法运算，往往用连续加倍来完成由 于方法较为繁复，古埃及算术难以发展 到更高的水平 相对于算术，古埃及的几何具有更高的 成就古代埃及人留下了许多气势宏伟 的建筑，可以说明古埃及几何学的发 达 埃及几何 埃及几何产生于土地测量，是一种实用 几何 对面积、体积的计算，他们给出了一些 计算的法则，有准确的也有粗略的在 莫斯科纸草书中有一个正四棱台体积的 计算所用的公式，用现在的符号表示是 这是埃及几何中最出色的成就之一 22 () 3 h Vaabb 巴比伦的数学 六十进制位值制记数法。 长于计算，编制了许多数表：乘法表、

3、 倒数表、平方表、立方表、平方根表、 立方根表、甚至有特殊的指数（对数） 表。 能解二次方程。 中国的早期数学中国的早期数学 中国古代数学的起源可以上溯到公元前数千 年史记中记载，夏禹治水，“左规矩， 右准绳”这可以看作是中国古代几何学的起 源在殷商甲骨文中已经使用了完整的十进制 记数法，春秋战国时代又出现了十进位值制筹 算记数法而战国时代的考工记、墨 经、庄子等著作中则探讨了许多抽象的 数学概念，并记载了大量实用几何知识 周易中的数学 周易是中国古代专讲卜筮的书， 也可以看作是古人探索自然的朴素的哲 学著作，约成书于殷商时期。周易 由易经和易传两部分组成，先 有易经，后有易传，两部分成 书的

4、时间相距七八百年。易经包括 古代占卜的卦辞及爻辞，易传由 系辞、说卦等十篇文章组成， 是对易经中卦辞及爻辞的解释。 卜筮是原始人类共有的社会现象。中国 古代常用龟甲和兽骨作为占卜工具，以 决定事情的吉凶。筮，是按一定的规则 得到特定的数字，并用它来预测事情的 吉凶。周礼称：“凡国之大事，先 筮后卜。”史记龟策列传则说： “王者决定诸疑，参与卜筮，断以蓍龟， 不易之道也。” 筮的工具起初是竹棍 （以后出现的筹算数码则形成了中国古 代用竹棍表示数字的传统），后来改用 蓍草-一种有锯齿的草本植物。 在中国古代众多的儒、道典籍中，周 易是包含数学内容最丰富的著作，因 而对中国古代数学家产生了极大的影响

5、。 比如，刘徽在九章算术注的序中就 写道：“昔伏羲氏始作八卦，以通神明 之德，以类万物之情。作九九之数，以 合六爻之变。”实际上就把数学方法与 周易中的六爻、八卦等内容联系起 来了。 八卦 乾 巽 离 - - 艮 - - - - - - - - - - - - - - 坤 - - 震 - - 坎 兑 - - - - 计算机的发明与周易中的八卦有着 十分密切的联系。众所周知，现代电子 计算机最基本的数学基础是二进制数。 二进制符号是德国数学家莱布尼茨 （Leibniz，16461716）发明的。莱布尼 茨于1679年撰写了二进制算术，阐述 了二进制理论。莱布尼茨自称，他之所 以会想到二进制数，就

6、是因为受到了八 卦符号的启发。他还说：“可以让我加 入中国籍了吧”。 太极图 周易中的另一重要概念是太极。 周易中写道：“易有太极，是生两 仪，两仪生四象，四象生八卦。” 太极即太一，这段话讲的是 八卦产生的原理，也试图解 释天地造分，化成万物的原 理。后经宋代陈抟的发展， 便有了太极图。 周易中另一个与数学相关的内容是 “河图洛书”。周易中有“河出图， 洛出书，圣人则之”的记载。以后，孔 安国等人又把河图洛书与八卦及九数联 系起来。孔安国认为：“河图者，伏羲 氏王天下，龙马出河，遂则其文以画八 卦。洛书者，禹治水时，神龟负文，而 列于背，有数至九，禹遂因而第之，以 成九类。”也就是说，在古人

7、看来，八 卦与九数实出于河图洛书河图洛书。 宋代陈抟所作的“洛书图”（九宫图） 492 357 816 数的概念的产生数的概念的产生 数和形是数学最早的研究对象，考古研 究发现，人类在5万年前就已经有了一些 计数的方法。现代人的研究认为，人类 数的概念的发展过程是，先有原始的数 感，再形成一一对应的计数方法，最后 通过集合的等价关系建立抽象的数的概 念。 记数符号的产生记数符号的产生 易系辞中载：“上古结绳而治， 后世圣人易之以书契”。结绳记数，是 指在绳子上打一个结表示一个数或一件 事，绳结的多少，根据事物多少而定。 而所谓的“书契”，就是刻划，“书” 是划痕，“契”是刻痕。古人常常在各 种

8、动物骨头、金属、泥版上刻痕记数。 如中国殷商时期常将文字刻划在牛的肩 胛骨或龟甲上，故称甲骨文。 从刻划记数，人类很自然地过渡到刻出 数的符号，并进而创造出第一批数字。 古代中国、古埃及、巴比伦等民族，均 在公元前5000年前后就有了记数符号。由 于古人用手指作为计数的参照物十分方 便，因而许多民族都不约而同地使用了 十进制计数法。当然也存在着少量的其 它进位制，如5进制、12进制、16进制、 20进制、60进制等。 公元前500年左右的战国时代，中国人创 造了具有十进位值制特征的筹算数码。 筹算数字的摆放方法规定，个位用纵式， 十位用横式，百位用纵式，千位用横式， 万位又用纵式，如此纵横相间

9、，以免发 生误会。并规定用空位表示零。 到了13世纪，中国数学家又明确地用“ ” 表示零，从而使中国记数法完全位值化。 拉普拉斯对十进位值制的评价 这是一个深远而又重要的思想，它今天 看来如此简单，以致我们忽视了它的真 正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一 切计算都提供了极大的方便，才使我们 的算术在一切有用的发明中列在首位； 而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的 两位人物阿基米德和阿波罗尼奥斯的天 才思想的关注时，我们更感到这成就的 伟大。 第二讲第二讲 古希腊数学古希腊数学 希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间， 活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷 斯地区、意大利半岛、小亚细亚

10、以及非洲北部 的数学家们所创造的数学。 希腊早期文明中心在雅典；公元前338年希腊诸 帮被马其顿控制，文明中心转到亚历山大城 （埃及）；公元前30年左右，罗马帝国完全控 制希腊各国，文明中心转到罗马（意大利）。 公元640年前后，阿拉伯民族征服东罗马，希腊 文明落下帷幕。 古希腊数学与哲学的交织 古希腊早期的自然科学往往是与哲学交织在 一起的，古希腊的自然哲学乃是古代自然科 学的一种特殊形态，虽然有许多错误的东西， 但也有不少合理的知识和包含着合理成分的 猜测恩格斯说：“在希腊哲学的多种多样 的形式中，差不多可以找到以后各种观点的 胚胎、萌芽因此，如果理论自然科学想要 追溯自己今天的一般原理发

11、生和发展的历史， 它就不得不回到希腊人那里去” 古希腊数学表现出很强的理性精神，追 求哲学意义上的真理在公元前3、4百 年的时候，他们的数学思想中就已经涉 及到了无限性、连续性等深刻的概念 经过古埃及和巴比伦人长期积累数学知 识的萌芽时期以后，古希腊人把数学推 进到了一个崭新的时代古希腊数学不 仅有十分辉煌的研究成果，而且提出了 数学的基本观点，建立数学理论的方法， 给以后的数学发展提供了坚实的基础 泰勒斯确定了几条最早的几何定理 等腰三角形两底角相等 如果两个三角形有一边及这边上的两个 角对应相等，那么这两个三角形全等 直角彼此相等 两条直线相交时，对顶角相等 圆的直径平分圆周 万物皆数 毕

12、达哥拉斯学派认为世界万物都是数， 最重要的数是1、2、3、4，而10则是理想 的数；相应地，自然界由点（一元）、 线（二元）、面（三元）和立体（四元） 组成。他们认为自然界中的一切都服从 于一定的比例数，天体的运动受数学关 系的支配，形成天体的和谐。 理论算术（数论的雏形） 完全数、过剩数（盈数）、不足数（亏 数）分别表现为其因数之和等于、大于、 小于该数本身（规定因数包括1但不包括 该数自身）。他们发现的前几个完全数 是6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496。 而220和284则是一对亲和数，因为前者 的因数和等于284，后者的因数和等于 220。 后来，在数学中寻找完全数就成为

13、 一项任务来研究.在前八千多正整数 中只有4个完全数,6、28、496、 8128,第五个完全数在1538年才找 到:33550336,50年后发现第六个完 全数:8589869056. .2005年发现第42 个梅审素数，从而有了第42个完全 数。 几何成就 使几何学从经验上升到理论的关键性贡 献应归功于毕达哥拉斯学派。他们基本 上建立了所有的直线形理论，包括三角 形全等定理、平行线理论、三角形的内 角和定理、相似理论等。 正多边形和正多面体 毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面体的 一些性质。他们发现，同名正多边形覆盖平面 的情况只有三种：正三角形、正方形、正六边 形，而且这些正多边形个数

14、之比为6：4：3，边 数之比则为3：4：6。 毕达哥拉斯学派的另一项几何成就是正多面体 作图，他们称正多面体为“宇宙形”。三维空 间中仅有五种正多面体：正四面体、正六面体、 正八面体、正十二面体、正二十面体。 正五边形与五角星 在五种正多面体中，除正十二面体外，每 个正多面体的界面都是三角形或正方形， 而正十二面体的界面则是正五边形。 正五边形作图与著名的“黄金分割”有关。 五条对角线中每一条均以特殊的方式被对 角线的交点分割。据说毕达哥拉斯学派就 是以五角星作为自己学派的标志的。 勾股数 毕达哥拉斯数： 一般形式之一： 22 21,22 ,221nnnnn 222 (, , ,xyzx y

15、z两两互素） 2222 2 ,( , ) 1, ,xab y ab z ab a b o abab 一 奇 一 偶 无理数的发现 毕达哥拉斯学派的信条是“万物皆数”，这里 的数实际上是指正的有理数。传说，毕达哥拉 斯学派成员希帕苏斯（Hippasus，公元前470年 左右）发现了“不可公度比”的现象，并在一 次航海时公布了他的想法，结果被恐慌的毕达 哥拉斯学派的其他成员抛进了大海。 项武义教授的一项研究认为，希帕苏斯首先发 现的是正五边形边长与对角线长不可公度。 第一次数学危机 不可公度比的发现使毕达哥拉斯学派对 许多定理的证明都不能成立。 例：如果两个三角形的高相同，则它们 的面积之比等于两

16、底边之比。 A BCD E 新比例论 100多年后，欧多克斯（Eudoxus,408-355） 提出了“新比例论”，才用回避的方法 暂时消除了“第一次危机”。 新比例定义：设A、B、C、D是任意四个 量，其中A和B同类（即均为线段、角或 面积），C和D同类，若对任意两个（正） 整数m和n，mA与nB的大小关系，取决 于mC与nD的大小，则称A：B=C：D。 柏拉图学园 柏拉图（Plato，公元前427-347年）是当时最著 名的希腊哲学家之一，虽然他不是数学家，但 热心于数学科学，在柏拉图学园的门口挂着牌 子：“不懂几何者免进”。值得注意的是，公 元前四世纪的重要数学工作几乎都是柏拉图的 朋友

17、和学生做的。与柏拉图学园有联系的欧多 克斯（Eudoxus，公元前408-355年）是这一时期 最大的数学家，他在几何学上的研究成果，后 来有些收入了欧几里得的几何原本。 亚里士多德 亚里士多德（Aristotle，公元前384-322年） 是柏拉图的学生和同事，相处达20年之 久，公元前335年成立了自己的学派，以 后曾是马其顿王亚列山大的老师。他是 古典希腊时期最伟大的思想家，他的一 些思想在数学史上影响很大。 形式逻辑的建立 亚里士多德不象柏拉图那样只崇尚思辨， 而是重视观察、分析和实验性的活动 （如解剖）。亚里士多德是古希腊学者 中最博学的人，是古代百科全书式的自 然科学家，也是对近代

18、自然科学影响最 大的古代学者。他的著作甚多，在自然 科学方面主要有物理学、论产生 和消灭、天论、气象学、 动物的历史、论动物的结构等。 形式逻辑的建立 亚里士多德创立了以三段论为中心的形式逻辑 系统。他认为科学需要归纳，由特殊的事例过 渡到一般命题，更需要用逻辑的推理由前提演 绎出它的推论。亚里士多德的逻辑学著作后来 被汇编为工具论，对阿基米德、欧几里得 等人的研究有重要影响。 古典希腊时期的希腊人已经掌握了大量初等几 何性质，加上亚里士多德建立了形式逻辑，这 些都为形成一门独立的初等几何的理论科学作 好了充分的准备。 亚历山大时期的数学 从公元前330年左右到公元前30年左右，希腊数 学的中

19、心从雅典转移到了埃及的亚历山大城。 亚历山大帝国一分为三后，托勒密帝国统治希 腊埃及，其首都亚历山大城成为希腊文化的中 心。 托勒密一世曾经是亚里士多德的学生，他在执 政后修建了缪斯艺术宫，这实际上是一个大博 物馆，收藏的图书和手稿据说有5070万卷。 当时的许多著名学者都被请到亚历山大里亚， 用国家经费供养着。 这一时期思辩猜测已不盛行，观察、计算及定 量分析的方法开始流行。天文学家阿利斯塔克 （公元前310230），通过对日、月、地的体 积和相对距离的观测和计算作出了日心说的猜 测。他通过测量角度推算出太阳直径比地球大 六、七倍，并断定小天体（地球等）应围绕大 天体（太阳）旋转。尽管他的计

20、算很不精确， 但思维方式是重要的。著名天文地理学家、数 学家埃拉托色尼（约公元前284192）根据太 阳在两个地方投影角之差，计算出地球的周长 是24662英里（现在算出的通过地球南北极的周 长为24819英里），他绘制了世界地图，并标明 了经纬线以及寒带、热带和温带。 欧几里得与几何原本 欧几里得（约公元前330260），应托勒密一 世之邀到亚历山大，成为亚历山大学派的奠基 人。欧几里得系统地整理了以往的几何学成就， 写出了13卷原本，欧几里得的工作不仅为 几何学的研究和教学提供了蓝本，而且对整个 自然科学的发展有深远的影响。爱因斯坦说： “西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础 的，那就是

21、：希腊哲学家发明形式逻辑体系 （在欧几里得几何学中），以及通过系统的实 验发现有可能找到因果关系（在文艺复兴时 期）。” 公理化方法 公理化方法：从一些基本的概念和公理 出发，利用纯逻辑推理的方法，把一门 学科建立成演绎系统的方法。后来的许 多著作都仿照这种格式写成，如牛顿的 自然哲学的数学原理等。 几何原本的影响 几何原本对后来数学思想有重要影 响。其一：公理化思想；其二：几何直 观与严格逻辑推理的结合使欧几里得几 何长期被认为是最正宗的数学知识，笛 卡儿在发明了解析几何后仍坚持对每一 个几何作图给出综合证明，牛顿在第一 次公开他的微积分发明时也要对这一算 法作出几何解释；其三：导致非欧几何

22、 的诞生。 阿基米德的数学成就 阿基米德（Archimedes，公元前287-212）出生于 西西里岛的叙拉古，曾在亚历山大跟欧几里得 的学生学习过，离开亚历山大后仍与那里的师 友保持联系，他的许多成果都是通过与亚历山 大学者的通信而保存下来的。因此，阿基米德 通常被看成是亚历山大学派的成员。 阿基米德的著作很多，内容涉及数学、力学及 天文学等。 “穷竭法”与“平衡法” 穷竭法是安蒂丰首先使用，并被古希腊数学家 普遍用来证明面积和体积的方法。穷竭法可以 用来严格证明已经猜想出来的命题，但不能用 来发现新的结果。 阿基米德发明了求面积和体积的“平衡法”， 求出面积或体积后再用“穷竭法”加以证明。

23、 阿基米德“平衡法”与“穷竭法”的结合是严 格证明与创造技巧相结合的典范。 球的体积 阿基米德用“平衡法”推导了球体积 公式。刻在阿基米德墓碑上的几何图 形代表了他所证明的一条数学定理： 以球的直径为底和高的圆柱，其体积 是球体积的3/2，其表面积是球面积的 3/2。 阿基米德的“平衡法”，将需要求积的 量分成一些微小单元，再与另一组微小 单元进行比较，而后一组的总和比较容 易计算。因此，“平衡法”实际上体现 了近代积分法的基本思想，是阿基米德 数学研究的最大功绩。但是，“平衡法” 本身必须以极限论为基础，阿基米德意 识到了他的方法在严密性上的不足，所 以他用平衡法求出一个面积或体积后， 必再

24、用穷竭法加以严格的证明。 用平衡法求球的体积 球切片体积 锥切片体积 柱切片体积 左力矩= 右力矩= 左力矩=4右力矩 P 球锥 的切 片 x (2)xRxx 2 xx 2 Rx N 2 4 R xx 2 R xx 用平衡法求球的体积 将球、圆锥、圆柱均完全分割成厚度为 x的薄片，并将所有球与圆锥的薄片都 挂到P点，圆柱薄片都留在原处。 左力矩和=（球体积+锥体积）2R 右力矩和=柱体积R （球体积+锥体积）2R=4柱体积R 球体积=2柱体积锥体积 与欧几里得相比，阿基米德可以说是一位应用 数学家。在论浮体中论述了浮力原理、在 论平面图形的平衡或其重心中论述了杠杆 原理。曾设计了一组复杂的滑车

25、装置，使叙拉 古国王亲手移动了一只巨大的三桅货船，他说： “给我一个支点，我可以移动地球”。在保卫 叙拉古的战斗中发明了许多军械如石炮、火镜 等。后被罗马士兵杀害，死时75岁。传说曾下 令不要杀死阿基米德的罗马主将马塞吕斯事后 特意为阿基米德建墓。 阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论 阿波罗尼奥斯（Apollonius，公元前262-190） 出生于小亚细亚（今土尔其一带），年 轻时曾在亚历山大城跟随欧几里得的学 生学习，后到小亚细亚西岸的帕加蒙王 国居住与工作，晚年又回到亚历山大。 阿波罗尼奥斯的主要数学成就是在前人 工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲 线理论，编著圆锥曲线论。 圆锥曲线论 全书共8卷

26、，含487个命题。在阿波罗尼奥斯之 前，希腊人用三种不同圆锥面导出圆锥曲线， 阿波罗尼奥斯则第一次从一个对顶圆锥得到所 有的圆锥曲线，并给它们以正式的名称：亏曲 线、齐曲线、盈曲线（李善兰翻译时取意译名 椭圆、抛物线、双曲线）。 圆锥曲线论可以说是希腊演绎几何的最高 成就。几何学的新发展要到17世纪笛卡儿等人 的解析方法出现后才得以来临。 阿波罗尼奥斯用统一的方式引出三种圆锥曲线 后，便展开了对它们性质的广泛讨论，内容涉 及圆锥曲线的直径、公轭直径、切线、中心、 双曲线的渐进线、椭圆与双曲线的焦点以及处 在不同位置上的圆锥曲线的交点数等。圆锥 曲线论中包含了许多即使按今天的眼光看也 是很深奥的

27、问题。第5卷中关于定点到圆锥曲 线的最长和最短线段的探讨，实质上提出了圆 锥曲线的法线包络即渐屈线的概念，它们是近 代微分几何微分几何的课题。第3、4卷中关于圆锥曲线 的极点与极线的调和性质的论述，则包含了射射 影几何学影几何学的萌芽思想。 罗马时期的数学成就 海伦（Heron，前1世纪公元1世纪）推导出求 三角形面积的海伦公式。 托勒密（Ptolemy约100170）的地球中心学说。 托勒密利用大量的观察资料，进行浩繁的计算， 写出八卷本的大综合论，详细论述了太阳 系和宇宙以地球为中心的学说。在托勒密的地 心说中，行星是绕着一种数学上的点（本轮中 心）运动的，而这些点又位于均轮上围绕地球 运

28、转。托勒密的地心说虽然不反映宇宙的实际 结构，但是依据上述的数学图解却比较完满地 解释了当时所观测到的行星运动情况。 托勒密将圆周分成360度，角的度量采用 60进制，还应用托勒密定理（圆内接四 边形中，两条对角线长的乘积等于两对 对边长乘积之和）造出了一张正弦表。 梅涅劳斯（Menelaus，约公元1世纪）的 球面学是球面三角学的开山之作。 该时期希腊数学的一个重要特征是突破 了以几何学为中心的传统，使算术和代 数成为独立的学科。丢番图（Diophantus） 的算术用纯分析的途径处理数论与 代数问题（包括不定方程），可以看作 是希腊算术与代数的最高成就。 丢番图的墓志铭 关于丢番图的生平没

29、有什么记载，大约 公元250年前后活动于亚历山大城，他活 了84岁则可以从他的墓志铭中算出：丢 番图的童年占一生的1/6，此后过了一生 的1/12开始长胡子，再过一生的1/7后结婚， 婚后5年生了个孩子，孩子活到父亲一半 的年龄，孩子死后4年父亲也去世了。 数学汇编 该时期的最后一位重要数学家是帕波斯 （Pappus，约公元300-350），著作数学 汇编是一部总结前人成果的典型著作， 在数学史上有特殊的意义，有许多古代 希腊数学的宝贵资料就是因为有数学 汇编的记载才得以保存下来。 周髀算经是我国最早的天文著作，系统地 记载了周秦以来适应天文需要而逐步积累的科 技成果。该书的主要内容是周代传下

30、来的有关 测天量地的理论和方法。 周髀算经也是中国最古的算书，成书确切 年代没有定论，一般认为在公元前2、3世纪。 李约瑟认为：“最妥善的办法是把周髀算经 看作具有周代的骨架加上汉代的皮肉。” 第三讲第三讲 中国古代数学瑰宝中国古代数学瑰宝 周髀算经中的勾股定理 周公问商高关于计算的问题，商高答曰： “数之法出于圆方，圆出于方，方出于 矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为 勾广三，股修四，径隅五。” 荣方与陈子的一段对话中，则包含了勾 股定理的一般形式。陈子曰：“若求邪 至日者，以日下为勾，日高为股。勾、 股各自乘，并而开方除之，得邪至日，” 周髀算经还记载了商高的用矩之法： “平矩以正绳，偃矩

31、以望高，覆矩以测 深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以 为方。” 九章算术九章算术 九章算术成书于公元前后，是我国 最重要、影响最深远的一本数学著作。 后世不少人，如刘徽、祖冲之、李淳风 等人均对九章算术作过注。特别是 刘徽的注，加进了不少自己的精辟见解， 阐述了重要的数学理论。九章算术注 是九章算术得以流芳百世的重要补 充和媒介。 对九章算术的评价对九章算术的评价 日本数学家小苍金之助把九章算术说成是 中国的几何原本。吴文俊教授也认为， 九章算术和刘徽的九章算术注，在数 学的发展历史中具有崇高的地位，足可与希腊 的几何原本东西辉映，各具特色。 1968年德国沃格尔（Vogel）把九章算术 译成

32、德文出版时加的评论认为：“在古代算术 中，包含如此丰富的246个算题，现存的埃及 和巴比伦算题与之相比，真望尘莫及。以希腊 而论，所保存的古算题为我们所熟知者，也属 于希腊化时代。” 第一章“方田”讲述有关平面图形 （土地田亩）面积的计算方法，包 括分数算法，38个问题。 一今有田广十五步，从十六步， 问为田几何？答曰：一亩。 二又有田广十二步，从十四步， 问为田几何？答曰：一百六十八步。 方田术曰：广从步数相乘得积步， 以亩法二百四十步除之，即亩数， 百亩为一倾。 五今有十八分之十二，问约之得 几何？答曰：三分之二。 六又有九十一分之四十九，问约 之得几何？答曰：十三分之七。 约分术曰：可半

33、者半之，不可半 者，副置分母子之数，以少减多， 更相减损，求其等也，以等数约 之。 第二章“粟米”讲述有关粮食交换 中的比例问题。书中的“今有术” 给出比例式中已知三数求第四数的 方法，欧洲迟至15世纪才出现。第 三章“衰分”讲述配分比例和等差、 等比等问题。 第四章“少广”讲述由田亩面积求 边长，由球体积求经长的算法，这 是世界上最早的多位数开平方、开 立方法则的记载。 开方术 今有积五万五千二百二十五步，问为方 几何？答曰：二百三十五步。 开方术曰：置积为实，借一算步之，超 一等。议所得，以一乘所借一算为法， 而以除，除已，倍法为定法。其复除， 折法而下。复置借算步之如初，以复议 一乘之。

34、所得副之，以加定法，以除， 以所得副从定法。复除折下如前。 第五章“商功”讲述各种土木工 程中的体积计算。我国自远古以 来，对筑城、挖沟、修渠等土建 工程积累了丰富的经验，创造了 许多有关土方体积计算和估算的 方法，本章即为经验和方法的理 论总结，诸如长方体、台体、圆 柱体、锥体等体积的计算公式都 与现在一致，只是圆周率取3，误 差较大。 第六章“均输”讲述纳税和运输 方面的计算问题，实际上是比较 复杂的比例计算问题。 第七章“盈不足”讲述算术中盈 亏问题的解法。盈不足术实际上 是一种线性插值法。该方法通过 丝绸之路传入阿拉伯国家，受到 特别重视，被称为“契丹算法”。 后来传入欧洲，13世纪意

35、大利数 学家斐波那契的算经一书中 专门有一章讲“契丹算法”。 第八章“方程”讲述线性方程组 的解法，还论及正负数概念及运 算方法。 中算的方程，本意是指多元一次 方程组（线性方程组）。刘徽在 九章算术注中指出：“程， 课程也。群物总杂，各列有数， 总言其实。令每行为率，二物者 再程，三物者三程，皆如物数程 之，并列为行，故谓之方程。” 方程术例题 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下 禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾 二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、 中、下禾实一秉各几何？ 正负术 李文林在数学史教程中指出： “对负数的认识是人类数系扩充的重 大步骤。如果

36、说古希腊无理量是演绎 思维的发现，那么中算负数则是算法 思维的产物。中算家们心安理得地接 受并使用了这一概念，并没有引起震 撼和迷惑。” 国外首先承认负数的是7世纪印度数学 家婆罗门及多，欧洲16世纪时韦达等 数学家的著作还回避使用负数。 勾股术 第九章“勾股”在周髀算经中勾股 定理的基础上，形成了应用问题的“勾 股术”，从此它成了中算中重要的传统 内容之一。 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。 引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各 几何？答曰：水深一丈二尺；葭长一丈 三尺。 术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘， 减之。余，倍出水除之，即得水深。加 出水数，得葭长。 刘徽的数学成就刘徽的数学成就

37、 刘徽的九章算术注包含了他本人的 许多创造，其中最突出的成就是“割圆 术”和求积理论。 若设圆面积为 ，内接 正n边形边长为 ，面积为 则 O A B C D 0 S n l n S 2 22 2 2 11 , 22 nnn llrrl 2 1 2 nn Snl r 2022 () nnnn SSSSS 圆周率 刘徽用“割圆术”从圆内接正六 边形出发，算到圆内接正 192=625边形，得到 “徽 率”3.14。 推测祖冲之可能也是沿用了“割 圆术”，计算到圆内接正 24576=6212边形，即可得祖冲之 的结果。 刘徽的求积理论 刘徽的面积、体积理论建立在一条简 单而又基本的原理之上，这就是“

38、出 入相补原理”。刘徽用这条原理成功 地证明了九章算术中的许多面积 公式。 刘徽在推证九章算术中的一些体 积公式时，灵活地使用了两种无限小 方法：极限方法与不可分量方法。比 如，“阳马” 体积公式便是用极限方 法推导出来的，而球体积公式的推导 则使用了不可分量方法。 为计算球体积，刘徽提出“牟合方 盖”。 算经十书算经十书 出于官方数学教育的需要，唐高宗亲自 下令对以前的数学著作进行整理。公元 656年由李淳风负责编定了算经十书： 周髀算经、九章算术、孙子 算经、五曹算经、张邱建算 经、夏侯阳算经、缉古算经、 海岛算经、五经算术和缀 术，后因缀术失传，而以数术 记遗替代。 孙子算经 鸡兔同笼鸡

39、兔同笼今有雉兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足。问雉、兔各几何？答曰： 雉二十三，兔一十二。 术曰：上置头，下置足，半其足，以头除 足，以足除头，即得。 物不知数物不知数今有物，不知其数。三三数之， 剩二；五五数之剩三；七七数之，剩二。 问物几何？答曰：二十三。 孙子歌 明代数学家程大位的算法统宗中所 载的“孙子歌”以诗歌形式介绍了物不 知数问题的解法：“三人同行七十稀， 五树梅花廿一枝，七子团圆整半月，除 百零五便得知。” 这一问题的解法后经秦九韶推广到一般 情形，被称为“孙子定理”，又称为 “中国剩余定理”。 宋元数学宋元数学 宋元时期（960-1368）的杰出数学家秦九 韶、杨辉、李冶

40、、朱世杰被称为“宋元 四大家”。 宋元时期的数学代表著作有数书九章 （秦九韶）、详解九章算法（杨 辉）、益古演段（李冶）和四元 玉鉴（朱世杰）等 大衍总数术大衍总数术 问题：求满足 的最小自然数N。 设 ， 求乘率 使 则总数 1122 (m od )(m od ) .(m od ) nn N rprprp i Mp/ ii MMp 11122 2 (mod ) nn n N M Mr M MrM Mrp i M 1(mod) iii M Mp 中国剩余定理中国剩余定理 秦九韶的算法非常严密，但他并没有对这一算 法给出证明。到18、19世纪欧拉（1743）和高 斯（1801）分别对一次同余式组

41、进行了详细研 究，重新独立地获得了与秦九韶“大衍术”相 同的定理，并对模数两两互素的情形给出了严 格证明。高斯的成果是最完整的，他还解决了 模不是两两互素时的情形。1876年德国人马蒂 生首先指出秦九韶的算法与高斯的算法是一致 的，因此关于这一算法被称作“中国剩余定 理”。 第四讲 平面解析几何的产生 16世纪之前的数学基本上是常量数学， 而近代数学的本质却是变量数学。16世 纪，对运动与变化的研究已经变成自然 科学的中心问题，这就需要有一种新的 数学工具，从而导致了变量数学也就是 近代数学的诞生。变量数学的第一个里 程碑是解析几何的发明，然后就是微积 分的发明。 笛卡儿的解析几何 笛卡儿于1

42、637年发表了著名的哲学著作更好 地指导推理和寻求科学真理的方法论，该书 有三个附录几何学、屈光学、气象 学，解析几何的发明包含在几何学这篇 附录中。 笛卡儿在另一部较早的哲学著作指导思维的 法则中了一般某种一般方法，其思路是： 任何问题任何问题数学问题数学问题代数问题代数问题方程问题方程问题。 笛卡儿创立解析几何的传说 一个传说讲，笛卡儿终身保持着在耶酥会学校 读书时养成的“晨思”习惯，在一次晨思时， 看见一只苍蝇正在天花板上爬，他突然想到， 如果知道了苍蝇与相邻两个墙壁的距离之间的 关系，就能描述它的路线，这使他头脑中产生 了关于解析几何的最初闪念。 另一个传说是，1619年冬天，笛卡儿随

43、军队驻 扎在多瑙河畔的一个村庄，在圣马丁节的前夕 （11月10日），他作了三个连贯的梦，从而揭 示解析几何的发现。 笛卡儿 笛卡儿出生于法国的贵族家庭，早年受教于耶 酥会学校，曾于1617年和1619年两次从军，离 开军营后，旅行于欧洲，他的学术研究是在军 旅和旅行中作出的。 笛卡儿对许多学科领域都有重要贡献。古今 数学思想对笛卡儿有这样一个评价：“他是 第一个杰出的近代哲学家，是近代生物学的奠 基人，是第一流的物理学家，但只偶然是个数 学家。” 费马猜想 费马大定理： 时，方程 没有正整数解。 费马小定理：p为素数， ，则 2n 222 xyz ( , )1a p 1 1(mod) p ap

44、 第五讲 微积分的诞生 17世纪最伟大的数学成就是微积分的发 明。微积分是描述运动过程的数学，它 的产生为力学、天文学以及后来的电磁 学等提供了必不可少的工具。微积分产 生的前提有两个：几何坐标和函数概念。 而这两个方面由于笛卡儿和费马等人的 工作，其基础已基本具备。 现代科技的推动力 对微积分的发明起了直接推动作用的是现代科技的发 展。17世纪，开普勒提出行星运行定律，从数学上推 证这些定律成了当时自然科学的中心课题，伽利略的 自由落体定律、动量定律、抛物体运动性质等也激起 了人们用数学方法研究动力学的热情。凡此一切都归 结为如下一些基本问题：确定非匀速运动物体的速度 和加速度需要研究瞬时变

45、化率问题；望远镜的设计需 要确定透镜曲面上任一点的法线因而需要研究曲线的 切线问题；确定炮弹的最大射程等需要研究最大、最 小值；确定行星运行的路程、向径扫过的面积等又需 要计算曲线长、曲边图形的面积等。这一切都需要有 一种新的计算工具的诞生。 牛顿、莱布尼茨之前的微积分方法 微积分理论的建立聚集了许许多多数 学家的努力，如： 开普勒的求积术 卡瓦列里不可分量原理 笛卡儿求切线方程的“圆法” 费马求极大、极小值的方法 巴罗的“微分三角形” 沃利斯的“无穷算术” 流数术解决的基本问题 牛顿在流数简论中提出并解决了如 下基本问题： （1）设有两个或更多个物体在同一时间内 描画线段x，y，z，已知表示

46、这些线 段关系的方程，求它们的速度p，q， r，。 （2）已知表示线段x和运动速度之比p/q的 关系方程式，求另一线段y。 微积分基本定理 这两个问题实际上是对微积分可解决的 一些特殊问题的一般化，如求瞬时速度、 切线斜率就可归结为第一问题，而第二 问题明显是第一问题的逆运算。 牛顿把他问题（2）看成问题（1）的逆 运算，并给出了标准解法。流数简论 讨论了如何借助于逆运算来求面积，从 而建立了“微积分基本定理”。 牛顿的诞生 伽利略去世的那一年，牛顿诞生了。牛 顿（16431727）的时代，正是科学在英 国兴起的时代。1662年，英国皇家学会成 立，以其为中心出现了一大批热心科学 研究和技术发

47、明的人，他们的许多新发 现和发明使英国成了当时欧洲科学技术 的中心。 牛顿的学习生涯 牛顿出生在一个中等农户家庭，是个遗腹子，而 且早产，出生后勉强活了下来。中学时学习成绩 并不突出，但十分喜欢做机械玩具和模型。17岁 时，他母亲把他从当时就读的中学召回田庄务农， 但牛顿不喜欢干农活。在牛顿的舅舅和格兰瑟姆 中学校长的竭力劝说下，他母亲才在九个月后允 许牛顿返校学习。当时史托克斯校长对牛顿的母 亲说：“在繁杂的农活中埋没这样一位天才，对 世界来说将是多么巨大的损失。”后来牛顿在他 舅舅的支持下就读于剑桥大学三一学院 。 牛顿成为卢卡斯教授 1665-1666年，牛顿为躲避伦敦的瘟疫而 回到家乡

48、爱尔索普。这期间他发现了二 项式定理和流数法，进行了颜色的试验， 并开始思考万有引力问题。1667年回到剑 桥被选为三一学院的研究员，1669年接替 巴罗成为数学卢卡斯教授。1670年起， 在剑桥大学正式开课，但由于过于艰深， 他的讲课没能受到学生的欢迎。 从光学研究到引力的研究 1670年起，牛顿主要研究光学，制造反射 望远镜，发现了太阳光的合成性质，并 被选为皇家学会会员。正是在光学领域 中发生了他与胡克（R.Hooke，16351703） 的争吵，既影响了科学研究的气氛，也 影响了牛顿的健康。经过近十年的中断， 1679年底牛顿的注意力重新集中于引力的 研究，并于80年代上半期全力写成了

49、 自然哲学的数学原理。 自然哲学的数学原理 1687年，哈雷（天文学家，皇家学会会员，发 现了著名的哈雷彗星，约76年出现一次，是太 阳系的一个成员）用自己的钱资助，出版了牛 顿的著作自然哲学的数学原理。这本书被 公认为科学史上最伟大的著作（爱因斯坦称赞 为“无比辉煌的演绎成就”）。它成了理论力 学、天文学、宇宙学的可以补充但不可超越的 理论基石。全书的核心是力学三定律（惯性定 律、加速度定律、作用与反作用定律）和万有 引力定律。 对宇宙的认识 波兰青年哥白尼（14731543）于1496年到意大 利波伦亚大学求学。在意大利游学了10年后， 哥白尼回到了波兰，一边行医、一边担负着教 会的一些工

50、作，同时开始构思和撰写天文学著 作天体运行论。这本书从开始写作到修改 定稿共用了36年的时间，直到1543年，作者在 弥留之际才将其付印出版，哥白尼在见到自己 的著作后不久便与世长辞了。但这本书却引起 了一场巨大的学术革命，使人类开始重新认识 宇宙、地球以及物体的运动。 哥白尼的天文学体系 哥白尼的天文学体系在数学形式方面比 托勒密体系要简单得多，他第一次正确 地描述了水星、金星、地球和月亮、火 星、土星、木星轨道实际相对于太阳的 顺序位置，指出它们的轨道大致在一个 平面上，公转方向也是一致的，月球是 地球的卫星，和地球一起绕太阳旋转。 布鲁诺 意大利哲学家布鲁诺（15481600）大力宣传

51、哥白尼学说，而且比哥白尼更激进，他认为太 阳不是宇宙的中心，无垠的宇宙没有中心。他 最先在巴黎大学、牛津大学讲学时宣传空间无 限大和地动说，批判亚里士多德和托勒密学说， 新教和天主教会均不能接受他的观点。1592年 他回到意大利，被宗教裁判所监禁。如果他放 弃自己的观点就可以被释放，但他却选择了坚 持自己的观点。1600年，布鲁诺被烧死在罗马 鲜花广场。 第谷布拉赫 在哥白尼去世后三年出生的丹麦人第谷布拉 赫（15461601）是一位著名的天文学家。据 说他14岁在哥本哈根大学读书时就预见了一次 日食，这使他名声大振，后来成为宫廷天文学 家。第谷并没有接受哥白尼的学说，但他在一 个天文台细心观

52、察天象达20多年，作了详细的 记录，并把前人星表中的错误一个个纠正过来。 晚年收德国人开普勒为（15711630）为弟子。 开普勒的研究 开普勒是哥白尼学说的信奉者，在与第谷合作 后，总算找到了发现的机会。开普勒先从第谷 留给他的火星资料开始研究，发现没有任何一 种圆的复合轨道能与其相符。经过大量的尝试 和计算后，终于发现火星的轨道是一个椭圆。 开普勒在欣喜之余把这一发现推广到了所有行 星。得到这一结果，开普勒花费了10年的时间， 在1609年他公布了行星运行三大定律的前两条， 1619年公布了最后一条 。 行星运行三大定律 轨道定律：行星绕太阳运行的轨道是椭 圆，太阳在一个焦点上。 面积定律

53、：从太阳中心到行星中心的联 线（向径）在相等的时间里，扫过的面 积相等。 周期定律：行星绕太阳一周的时间的平 方与他们到太阳的平均距离的立方成正 比。 伽里略的天文望远镜 伽里略最初的科学生涯主要是对力学的研究。 1608年，荷兰的一个眼镜制造商汉斯利佩希在 偶然发明并开始制造望远镜。10个月后，伽里略 听到了这个消息，便自己动手制造了一架天文望 远镜，并把它对准星空。伽里略的这一举动标志 着天文学研究从肉眼观测进入了望远镜观测的时 代。他看到了激动人心的景象：月球表面的山丘 和凹坑、木星的四颗卫星、太阳的黑子和自转、 茫茫银河中的无数行星等。他的发现公布后，轰 动了学术界，人们说：哥伦布发现

54、了新大陆，伽 里略发现了新宇宙。 牛顿的万有引力定律 这实际上是对所有地上物体和天上物体运动的 基本规律的发现，它的历史意义是伟大的：哥 白尼提出了一个正确的太阳系结构假说；伽利 略发现了一些地上物体运动的基本规律，并以 观察事实支持了哥白尼；开普勒发现了天空中 行星运行的真实情况；而牛顿则把他们所有的 伟大成就统一了起来，并回答了物体为什么会 这样运动的问题。他在书中所阐明的基本定律 成了所有力学的基本出发点，他用万有引力定 律解释了潮汐现象，并预言地球是赤道部分略 为突出的椭球。 万有引力定律 万有引力定律是从开普勒行星运行三大定律中 用数学方法推导出来的，其公式是 它是一个普遍的公式。牛

55、顿的万有引力定律使 日心说得意被人们所广泛接受。而推导这一公 式的数学工具正是微积分方法。 12 2 m m FG R 光学 自原理出版后，牛顿几乎停止了自 然科学方面的研究工作。到1704年，胡克 去世后，他发表了光学，把自己三 四十年前对光学的研究工作加以整理出 版，其中包括了对光的反射、折射、色 散的研究。原理和光学是牛顿 的两部基本著作。 皇家学会会长、造币局局长长 1693年，牛顿精神分裂症的症状日见严重， 于是离开了剑桥大学，1695年任造币局督 办，1699年任造币局局长，同年被选为巴 黎科学院的外籍院士。1703年，当了30年 英国皇家学会会员后任皇家学会会长， 1705年被女

56、皇封为爵士，成为贵族。晚年 颇为孤寂，只有一个外甥女与他做伴， 直到1727年去世。 蒲柏的诗 牛顿死后被葬于英国的皇家墓地西敏寺。 为了颂扬这位伟人，当时英国著名的诗 人蒲柏（A.Pope，16881744）曾写道： Nature and Natures laws lay hid in night, God said“let Newton be”and all was light. 这两句铭文后来被铸在铁板上,镶嵌在牛 顿诞生的屋子的墙上。 莱布尼茨的微积分 1684年莱布尼兹发表了他的第一篇微积分学论 文一种求极大与极小值和求切线的新方法， 简称新方法，这也是数学史上第一篇正式 发表的微积

57、分文献。文中定义了微分并广泛采 用了微分记号dx、dy、dny等（用difference的首 字母）。1686年，发表了第一篇积分学论文 深奥的几何与不可分量及无限的分析，文 中初步论述了积分或求积问题与微分或切线问 题的互逆关系。并引进了积分符号 （sum首字 母的拉长）。牛顿的积分号是字母上加一点或 一撇。 莱布尼茨的其它贡献 莱布尼茨的博学多才在科学史上是罕见的，他的 著作涉及数学、力学、机械、地质、逻辑、哲学、 法律、外交、神学、语言学等。 在1666年发表的组合艺术等相关文稿中，提 出了符号逻辑的思想，引导了布尔、罗素等人的 数理逻辑。 在1679年撰写的二进制算术首创了二进记数 法

58、。 莱布尼茨还是制造计算机的先驱，1674年在巴黎 科学院当众演示了他制成的“算术计算机”，这 是第一台能做四则运算的计算机 。 微积分优先权的争议微积分优先权的争议 牛顿和莱布尼茨两人作为当时的大名人，相互敬 慕还曾有书信来往。1687年，牛顿在自然哲学 的数学原理中首次发表他的流数方法时，在前 言中有这样一段话：“十年前，我在给学问渊博 的数学家莱布尼茨的信中曾指出：我发现了一种 方法，可用以求极大值、极小值、作切线以及解 决其它类似的问题，。这位名人回信说他也 发现了类似的方法，并把他的方法给我看了。他 的方法与我的大同小异，除了用语、符号、算式 和量的产生方式外，没有实质性区别。”但在

59、第 三版的时候牛顿删去了这段话，原因是他们之间 发生了优先权的争议。 微积分的发展 18世纪微积分继续深入发展，这种发展 是与广泛的应用紧密相连的。18世纪可 以说是分析的时代，也是向现代数学过 渡的重要时期。 对于微积分算法的推广，英国与欧洲大 陆国家是循着不同的路线进行的，英国 学者仍然维护牛顿的传统用几何语言论 证流数法，欧洲大陆学者则采用莱布尼 茨的分析方法。 第六讲 近代数学两巨星 推广莱布尼茨学说的任务，在从17世纪 到18世纪的过渡时期，主要是由雅各 布伯努利（Jacob Bernoulli，1654-1705） 和约翰伯努利（John Bernoulli，1667- 1748）

60、两兄弟担当。这个来自瑞士的伯努 利家族，在17、18世纪先后产生了十几位 著名的数学家。雅各布和约翰是其中最 有影响的两位，他们的工作构成了现今 所谓初等微积分的大部分内容。 欧拉对微积分的贡献 18世纪微积分最重大的进步是由欧拉（Leonard Euler，1707-1783）作出的。欧拉在1748年出版 的无限小分析引论、1755年发表的微分 学、1770年发表的积分学是微积分史上 里程碑式的著作。他们在很长的时间里被当作 分析课本的典范普遍使用着。这三部著作包含 了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进 了一批标准的符号如：函数符号f（x）、求和 符号、自然对数底、虚数单位i等，对分析表