数学与应用数学毕业论文关于均值不等式的探讨

1、本科毕业论文关于均值不等式的探讨discussion on inequality学院（部）： 理学院 专业班级： 数学与应用数学07-1学生姓名： 指导教师： 2011年 6 月 8 日关于均值不等式的探讨摘要均值不等式是高二教材的一个教学内容,理解掌握均值不等式,研究均值不等式所得相关结果,用解决最值问题、不等式证明以及实际生活中的数学应用问题,具有极为重要的意义。关键词均值不等式，最值，应用discussion on inequalityabstractinequality is a sophomore course content materials, understand and gr

2、asp the mean value inequality, inequality of income related to the mean results, to address the most value problems, inequalities and matheatical application of real-life problems, is extremely important.keywords：inequality ，the most value，the value of application显示对应的拉丁字符的拼音字典目录关于均值不等式的探讨idiscussio

3、n on inequalityii1、浅谈均值不等式及类型11.1 浅谈均值不等式11.1.1均值不等式是攻破最值问题的有力武器11.1.2均值不等式用于不等式的证明21.1.3均值不等式的拓展及其相关结论21.1.4均值不等式的应用可以培养学生在数学学习中的兴趣和认知投入41.2 试谈运用均值不等式的待定系数法“套路”51.3 运用均值不等式解题的变形技巧81.4 利用均值不等式求最值的技巧102均值不等式错例及“失效”时的对策152.1 均值不等式应用错例分析152.2用“均值不等式”求最值忽视条件致错举例172.3均值不等式求最值“失效”时的对策193均值不等式的推广及应用243.1均值

4、不等式的推广2432应用均值不等式的推广证不等式293.3均值不等式在高等数学中的应用333.4均值不等式在一类数列收敛证明中的应用373.5例说利用均值不等式解应用问题40参考文献42谢辞431、浅谈均值不等式及类型1.1 浅谈均值不等式人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书数学第二册第六章第二节说明,如果a、b是正数,那么 ab,当且仅当a = b时取“ = ”号。即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。这个不等式,我们通常把它称为均值不等式。对均值不等式的深刻理解和掌握,弄清楚其运用条件,便能在解题中快速找到突破口,进而找到正确解决问题的方法。1.1.1均值不等式是攻破最值问

5、题的有力武器对均值不等式认真观察分析知道,若两个正数的积为常数,当且仅当它们相等时,它们的和有最小值;若两个正数的和为常数,当且仅当它们相等时,它们的积有最大值。最值问题在此便略有体现。经研究后,归纳出3个用均值不等式求最值问题的适用条件。条件一:在所求最值的代数式中,各变数都是正数,否则变号转换;条件二:各变数的和或积要为常数,以确保不等式的一端为定值,否则执行拆项或添项变形;条件三:各变数必须有相等的可能。一个题目同时满足上述三个条件,或者可以变形成适合以上条件的,便可用均值不等式求,这就帮助学生在解题时迅速找到了突破口,从而找到正确方法,快速简易地求最值。下面举出一些实例。例1:代数式的

6、最小值是_ 解: =1=3故的最小值是3。例2:若0 x 0, b 0, a + b = 1,求代数式的最小值解:故满足条件的代数式的最小值是9。例5:过点p (2, 1)作直线l交x , y轴正向于a, b 两点, 求l的方程,使三角形aob 的面积最小。 解:设直线l的方程为y - 1 = k ( x - 2) , l 与x轴交点为( a, 0) , l 与y轴交点为(0, b) ,其中a 0, b 0, k 0= 2,求的最小值,并求x, y的值。解：当且仅当,即y = 2x时,上式取等号。故取最小值是3。由 解得即当x = 1, y = 2时, 取得最小值31.1.3. 2研究均值不等

7、式所得相关结果对a 0, b 0,作进一步研究,显然有,又由于等价的均值不等式 因此,对于a 0, b 0,有三个重要结论: ; 当且仅当a = b时,上面三式取等号,这三个式子虽然是由均值不等式推广而得,但掌握并应用于解题之中,有时候比均值不等式更有效,起到事半功倍的效果。下面举几个例子予以说明:例10:已知a0, b0, a + b = 1,求代数式的最大值解:由得。故满足条件的最大值是。例11:已知a b 0,求的最小值。解:由式得, 所以,故的最小值是16。例12:若a + b + c = 1,且a, b, c ,求的最小值。解:由式得 所以 =例13:一段长为l的篱笆围成一个一边靠墙

8、的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大的面积是多少?解:设矩形的长为x,则宽为，于是,菜园面积为:当且仅当x =l - x,即时取等号。这时宽为故这个菜园的长为,宽为时,菜园面积最大,最大面积是1.1.4均值不等式的应用可以培养学生在数学学习中的兴趣和认知投入本人在这个内容的教学中,引导学生思维,让学生自我发现并相互探讨,寻求以上例题的解法,直接或变形后运用均值不等式及其相关结果,学生感到很轻松,非常感兴趣,并能自觉或不自觉地用联系和理解的方法学习数学,不是依赖于死记硬背的方法,对完成学习任务有一种愉快的感觉,学生在领会知识方面具有一定的独立性,能够举一反三,触类旁通,

9、充分体现了学生在数学学习中的热情投入,这一良性循环,对今后的学习,对素质的培养,将具有深远的影响。总之,对均值不等式的学习研究,理解掌握和运用,对数学问题的解答,对实际生活和生产实际中应用数学问题的处理,对学生学习的能力和素质的培养,都具有极为重要的意义。1.2 试谈运用均值不等式的待定系数法“套路”不等式是高中数学的重要内容, 均值不等式是不等式进行变形的一个重要依据, 在应用时不仅要牢记三个条件“正、定、等”, 而且要善于根据均值不等式的结构特征,创设应用均值不等式的条件,利用待定系数法凑定值是常用的解题技巧, 本文举例说明.例1 已知常数a , b都是正数,变量x 满足0 x 0 ,则由

10、1 = x + (1 - x) 及题设知0 x 1 ,0 1 - x 0 , b 0 ,且a + b = 1 ,求的最小值.解设m 0 ,则由题设及均值不等式可知: (1)(1) 式当且仅当,即时取等号.又,即,亦即 (2)显然(1) , (2) 同时取等号的充要条件是 解之得m = 16. 代入(1) 得:.故当且仅当时, 取到最小值.例3 若a,且a + b = 1. 求证: 证明设m 0 ,则.由均值不等式得. (1)其中当且仅当时取等号.同理可得: (2)其中当且仅当时取等号.显然(1) , (2) 同时取等号的充要条件是.由于a + b = 1 , 故可解得将m = 1 代入(1)

11、, (2) ,并将两式相加得即.例4 已知a 0 , b 0 ,且a + b = 1. 求证: .证明设m 0 , 则由题设及均值不等式可得: (1)(1) 式当且仅当即 时取等号.同理可得 (2)(2) 式当且仅当即时取等号.再由题设及均值不等式可得:. (3)(3) 式当且仅当时取等号.于是(1) , (2) , (3) 同时取等号的条件是. .将分别代入(1) 式, (2) 式可得.两式相乘得: . 故例5 (第42 届imo 试题) 已知a 0 , b 0 ,c 0 ,求证: 证明a 0 , b 0 , c 0 ,.为了脱掉根号,设m 0 ,且 (1) 而 ,故 (2)比较(1) ,

12、(2) , 令, 则可得,代入(2) 得: . 又 , 故 (3)同理可得: (4) (5)由(3) , (4) , (5) 相加知: .思考题1 已知 ,且a + b + c = 1.求证: . (提示:1)可利用 ;2) 可推知. )思考题2 已知a + b + c = 1 , 求 的最大值. (答案: . )1.3 运用均值不等式解题的变形技巧利用均值不等式解题的关键是凑“ 定和”和“定积”，此时往往需要采用“ 拆项、补项、平衡系数”等变形技巧找到定值，再利用均值不等式来求解，使复杂问题简单化，收到事半功倍的效果!1.3.1 拆项例1（原人教版课本习题）已知n0, 求证：证明：因为n0，

13、所以 当且仅当n=2 时等号成立!1.3.2 拆幂例2 (1993年全国高考题）如果圆柱轴截面的周长为定值，那么圆柱体积的最大值（） a b. c. d. 解 设圆柱底面半径为r，高为h，则2h+4r= ，即 所以 ，故选 a.1.3.3 升幂例3 设，求的最大值. 解 因为，所以0，所以 所以当且仅当即tanx=时等号成立，故.1.3.4 整体代换 例4 已知，且x+2y=1，求证：证明：因为，x+2y=1，所以. 当且仅当，即，时等号成立.1.3.5 平衡系数例5 用总长14.8米的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5米，那么高为多少时容器的容积最大？并

14、求出它的最大容积!解 设容器底面短边长为x 米，则另一边长为x+0.5 米，并设容积为y ，其中容器的高为，0x0时，当且仅当，即时取等号.所以当时函数取最大值.总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三等”，同时还要注意一些变形技巧，灵活运用均值不等式.1.4 利用均值不等式求最值的技巧均值不等式 ( a 0 , b 0 , 当且仅当a = b时等号成立) 是一个重要的不等式,利用它可以求解函数最值问题. 对于有些题目,可以直接利用公式求解. 但有些题目必须进行必要的变形才能利用,下面是一些常用的变形技巧.1.5.1 配凑1) 凑系数例1 当0 x 4 时,求 = x (8 -

15、 2 x) .解析由0 x 0 , 利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为2 个式子的积的形式,但其和不是定值. 注意到2 x + (8 - 2 x) = 8 为定值,故只需将y = x (8 - 2 x) 凑上一个系数即可. ,当且仅当2 x = 8 - 2 x 即x = 2 时取等号,所以当x = 2时, y = x (8 - 2 x) 的最大值为8.点评本题无法直接运用均值不等式求解,但凑上系数后即可得到和为定值, 就可利用均值不等式求得最大值.2) 凑项例2 已知 ,求函数的最大值.解析由已知4 x - 5 0 ,.当且仅当即x = 1 时等号成立.点评本题需要调整项的符

16、号,又要配凑项的系数,使其积为定值.3) 分离例3 求的值域.解析本题看似无法运用均值不等式, 如将分子配方凑出( x + 1) ,再将其分离.当x + 1 0 ,即x -1 时, (当且仅当x = 1 时取“ = ”号) .当x + 1 0 ,即x 0 , m 0 , g ( x) 恒正或恒负) 的形式,然后运用均值不等式来求.链接练习1. 某公司一年购买某种货物400 t ,每次都购买x t ,运费为4 万元/ 次,一年的总存储费用为4 x 万元. 要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x = t .2. 若a、b、c 0 且a( a + b + c) + bc = ,则2 a + b

17、+ c的最小值为( ) .a ; b ; c ; d 3. 已知 、 为双曲线的2 个焦点, p 为双曲线右支上异于顶点的任意一点, o为坐标原点. 下面4 个命题中真命题的代号是(写出所有真命题的代号) .a 的内切圆的圆心必在直线x = a 上;b 的内切圆的圆心必在直线x = b 上;c 的内切圆的圆心必在直线o p 上;d 的内切圆必通过点( a ,0) .4. 设a 0 , b 0 ,则下列不等式中不恒成立的是( ) .a ; b ;c ; d5. 已知平面上点 ,求满足条件的点p 在平面上所组成的图形面积.链接练习提示及答案1. 20. (提示:可知共购买次,所求即取最小值时x 的

18、值,由均值不等式, ,当且仅当 ,即x = 20 时取到. )2. d. 提示:由a( a + b + c) + bc = ,得( a + b) ( a + c) = ,则 .3. a. 提示: 如图3 , 设的内切圆与各边交点是a 、b 、c,有 , , ,结合双曲线的第一定义,有 , 即 , 由圆m 与x轴相切, 设m ( m, n) , 则m = a , 即的内心m 恒在直线x =a 上.4. b. 提示:可证选项a、c、d 都是正确的,也可举反例确定b不恒成立,如a = 3 , b = 4 ,则 ,而.5. 动点 在圆上,又 = 4 ,故点p的轨迹是到原点的距离不小于2 且不大于6 的

19、点的集合,图形实际是一个圆环面,可得所求面积是32.1.5.2整体代换例4 已知a 0 , b 0 , a + 2b = 1 ,求的最小值.解析当且仅当时取“ = ”号.由 ,得,即时,的最小值为.点评本题巧妙运用“1”的代换,得到,而与的积为定值,即可用均值不等式求得的最小值.1.5.3 换元例5 求函数的最大值.解析变量代换,令 ,则 ( t 0) ,则,当t = 0 时, y = 0 ,当t 0 时, , 当且仅当, 即 时取“= ”号, 所以时, .点评本题通过变量代换,使问题得到了简化,而且将问题转化成熟悉的分式型函数的最值问题,从而为构造积为定值创设有利条件.1.5.4取平方例6

20、求函数 的最大值.解析注意到2 x - 1 与5 - 2 x 的和为定值,.又y 0 ,所以,当且仅当2 x - 1 = 5 -2 x ,即 时取“ = ”号,所以点评本题将解析式2 边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式创造了条件.总之,我们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用均值不等式.链接练习1. 当0 x 0 , y 0 ,且,求x + y 的最小值.5. 已知a 0 , b 0 , c 0 ,且a + b + c = 1 ,求证:.链接练习参考答案1. ; 2. 5 ; 3. 8 ; 4. 4/ 9 ;5. 提示: ,

21、, 三式相乘即可.2均值不等式错例及“失效”时的对策2.1 均值不等式应用错例分析均值不等式在初等数学中有着非常重要而广泛的应用, 然而学生往往对均值不等式“一正, 二定, 三相等”这个条件理解不透或运用不慎, 出现下面常见的错误。2.1.1 漏记“一正”条件致误 例1: 求函数的值域。在均值不等式a其中, 错解: 故得结论: y4,+)上述解法中, 仅仅具备了相等、定值这两个条件, 是否均为正数呢? 因为函数的定义域为( - , 0)u( 0, +) , 显然, “一正”条件不够充分的情况下, 贸然使用均值不等式, 得出不完全正确的结论。所以在运用公式前, 应先检查公式的条件是不是已满足,

22、若不满足, 应创造条件应用公式或改用其它途径去解决问题。解: 当x0 时, 可以满足“一正, 二定, 三相等”可得y4当x0 b0 a+b=1 求函数的最小值。错解: 故, s 取得最大值8根据均值不等式取等号的充分必要条件是每个数皆相等, 否则: 则: 2a=b,2b=a,从而a=b=0 这与已知a0, b0,a+b=1 相矛盾, 所以 事实上: 其中等号在时取到。故当a=b=时, s 取得最小值9。例3: 用总长14.8m 的钢条制作长方体容器框架, 如果所制作容器框架的底边的一边比另一边长0.5 米, 当长方体的高为多少时, 容器的容积最大? ( 2002 年数学高考题)错解: 设则 是

23、定值长方体容器最大值为3.7 立方米事实上, x+0.5=3.2- 2x=x, 在这样的等式下x 值是不存在的, 所以,结果为错误的。但作适当系数调整就满足“相等”这个条件。 是定值 且3x=2x+1=8- 5x 的值存在, 为x=1, 则高为1.2 时, 长方体容器容积最大立方米。例4: 三棱锥, s-abc 的例棱, sc与底面垂直,sa=sb=a ab=2.sc求此三棱锥体积v 的最值。错解: 如图所示, 设ab 中点为d, 连结cd, 令ab=2x,则sc=x 显然ac=bc cd 是等腰三角形abc 底边上的高,即: 当 即时, 三棱锥体积v 取得最大值, v 最大这里得出的结果是对

24、的, 但推理的依据却是错的。原因在于忽略了 不是定值这一点。即不满足一正, 二定, 三相等, 这个条件。解: 而是定值。可见当即时三棱锥体积v 取得最大值。以上例子分析, 在使用均值定理时一定要搞清楚, 只有在“一正,二定, 三相等”都同时具备时方能使用公式, 否则得出的结论不可靠,甚至是错误的结论。以上几例仅是均值不等式应用中的几种常见错误, 仅供老师们在教学中参考使用, 以引导学生找出错误所在, 并且弄清产生错误的原因, 从而提高纠正错误和正确应用均值不等式的能力。2.2用“均值不等式”求最值忽视条件致错举例用“ 均值不等式”求最值是求最值问题中的一个重要方法, 也是高考考查的一项重要内容

25、, 运用这种方法有三个条件:(1)正; (2)定; (3)相等。在此运用过程中, 往往需要对相关对象进行适当地放大、缩小, 或不等式之间进行传递等变形, 在此过程中, 学生常常因为忽视条件成立而导致错误, 而且错误不易察觉。2.2.1 忽视均值不等式中的各项为“ 正”致错例1 求的值域。错解因为所以评注虽然的积是常数, 但x- 1 不一定是正数, 因此解法是错误的。正确解当x1 时, , 当且仅当, 即x=2 时等号成立; 当x1 时, , 所以y- 1,当且仅当x=0 时取 等号,所以原函数的值域为2.2.2 忽视均值不等式中的等号成立条件致错例2 求的最小值。错解, 所以y 的最小值是2。

26、评注在y2 中, 当且仅当, 即, 这是不可能的, 所以等号不成立,故y 的最小值不是2。正确解 因, 令, 则(t2), 易证在2,+)上递增,所以y 的最小值是, 当且仅当t=2 时, 即, x=0, 取“ =”号。例3 若正数x、y 满足2x+y=1, 求的最小值。错解 因, 于是, 故的最小值是。评注这里中, 当且仅当2x=y 时取“ =”号。而中, 当且仅当, 即x=y 时取“ =”号, 这两个式子不可能同时成立, 因此不是的最小值。正确解, 当且仅当, 即时(此时)取“ =”号, 故的最小值是。例4 实数x、y、m、n 满足, 且, 求的最大值。错解 因, 所以, 故的最大值是。评

27、注 这里两次用到了均值不等式, 当且仅当m=x 且n=y 时取“ =”号, 于是, 即与已知矛盾, 因此等号不成立, 故的最大值不是.正确解, 所以.当且仅当时取“ =”号。故的最大值是 (本题也可用三角代换解。)2.2.3 忽视均值不等式中的定值致错。例5 若正数x、y 满足x+2y=6, 求xy 的最大值。错解: , 当且仅当x=y 且x+2y=6, 即x=y=2 时取“ =”号, 将其代入上式, 可得xy 的最大值为4。评注 初看起来, 很有道理, 其实在用均值不等式求最值时, 在各项为正的前提下, 应先考虑定值, 再考虑等号是否成立。但在中, x+y 不是定值, 所以xy 的最大值不是

28、4 .正确解因, 当且仅当x=2y 时(此时)取“ =”号, 所以.在教学过程中, 这些错误屡见不鲜, 为解决这个问题, 笔者认为, 不妨采用“ 挫折”教育, 如例题出示后, 不加任何启发, 让学生大胆尝试, 积极探索, 对出现的每一个问题, 不必急于评价, 而放手让学生讨论, 反思和质疑, 让他们自己在辨析中总结规律, 在“ 挫折”中形成知识, 深刻思维。这样经过多次反复, 会收到良好的效果。2.3均值不等式求最值“失效”时的对策运用均值不等式是求最值的一种常用方法, 但由于其约束条件苛刻, 不少同学在使用时往往顾此失彼,从而导致均值不等式“失效”. 下面例说几种常用的处理策略.2.3.1

29、化负为正 例1 已知0 x 1 ,求的最大值.分析本题满足 为定值,但因为0 x 1 , lgx 0 , 所以此时不能直接应用均值不等式,需将负数化正后再使用均值不等式.解0 x 1 , lgx 0 , , 即y - 4. 当且仅当即时等号成立, 故2.3.2 平衡系数例2 求y = x(1 - 2x) 的最大值.分析x +(1 - 2 x) 不是定值,但可通过平衡系数来满足和为定值.解 . 当且仅当2 x = 1 - 2 x ,即时等号成立. 故2.3.3 添项例3 已知a b 0 , 求的最小值.分析不是定值,但可通过添项、减项来满足积为定值.解. 当且仅, 即a = 8 ,b = 4时等

30、号成立. 故.2.3.4 拆项例4 已知0 x 0 , y 0 , ,求x + y 的最小值.分析若直接运用均值不等式, 则需使用两次均值不等式,即由,得xy16 ,再由,得x + y 8 ,但此时两次均值不等式中等号成立的条件不一致,从而x + y 8 中等号不能成立. 但若将x + y 乘1 ,则只需使用一次均值不等式即可.解当且仅当,且 ,即x = 3 , y = 6时等号成立,故2.3.8 取倒数例8 已知x 0 ,a ,b 为正常数, 求 的最大值.解析 , 当且仅当,时等号成立.故2.3.9 三角代换例9 求 的最小值.分析不是定值,但由0 x 2 可用三角代换来创造积为定值.解0

31、 x 0 ,且, , .当且仅当x = y = z 即a = b = c 时等号成立. 故.评注通过换元, 把陌生的结构转化为重要不等式的形式,证题思路自然流畅.2.3.11 对偶代换例11 已知,且x + 2 y = 1 ,求的最小值.证明, x + 2 y = 1 , 可设, ,则当且仅当, 即 , , 时等号成立. 故的最小值为.2.3.12 公差代换例12 若a , b 是正实数, 且a + b = 1 , 求 的最小值.解a + b = 1 , a , , b 是等差数列,设公差为d ,则, d = 0 即a = b =时, 有最小值9.2.3.13用向量例13 已知 , ,求ax

32、+ by的最大值.分析直接运用均值不等式时,等号成立的条件为a = x 且b = y ,从而 ,即4 = 9 ,显然等号不能成立,故不能直接运用均值不等式, 但此时利用向量则可迅速求出最值.解法1 令m = ( a , b) , n = ( x , y) , 则由内积的性质m n | m| | n| ,得ax + by 6 ,当且仅当m与n 同向即时等号成立,故ax + by 的最大值为6.本题也可用柯西不等式求解.解法2 由柯西不等式 ,得 ,即| ax + by| 6 ,故ax + by 的最大值为6.2.3.14 用函数的单调性例14 求函数的最小值.分析直接运用均值不等式 时, 等号成

33、立的条件为, 即, 无解, 所以等号不可能成立. 故不能直接用均值不等式求最小值,需另辟蹊径,可利用函数的单调性解决.解设,则 .易证函数在t 2 , + ) 上是增函数, t = 2 即x = 0 时, 2.3.15运用放缩例15 求函数 在x 1 , +) 上的最小值.分析此题看似无法使用均值不等式, 但可运用两次放缩便可达到求解目的.解.以上两个“ ”号中“= ”成立的条件都是x = 1. y 的最小值为- 2.3均值不等式的推广及应用3.1均值不等式的推广3.1.1 引言均值不等式在不等式理论中处于核心地位,是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一.巧妙地应用此不等式在求最值,比较大小,

34、证明不等式等各方面都可得到较为理想的解法.均值不等式的推广是均值不等式的延伸,也是解题的重要依据之一.定理a(均值不等式) 设为n 个正数,则其算术平均,几何平均与调和平均有: 引理(jensen 不等式）若函数f在区间i上存在二阶导数,且有f(x)0,则有其中xii,qi 0,i=1,2,n,且=1,当且仅当x1 q1=x2 q2=xnqn时等号成立;若f(x)0,不等式反号.3.1.2 主要结论定理1 设 0， 0，i1，2，n,则 (1)当且仅当时等号成立； (2)当且仅当时等号成立。证明 设f（x）lnx，x（0，+）,则f（x）= 0,i 0,i=1,2,n,且 (3)由jensen

35、 不等式得 由y=lnx 的单调性知 由jensen 不等式取等号的条件知,当且仅当时上式等号成立.由于 0, 0,i=1,2,n 及(3)式,运用jensen 不等式得从而有由jensen 不等式取等号的条件知,当且仅当时上式等号成立.注1:当 时,定理1 即为定理a(均值不等式) 推论1 设0, 0,i=1,2,n,则 (4)当且仅当时等号成立； （5）当且仅当时等号成立证明 由, 0，i=1,2,n,及(1)得即由定理1 知,当且仅当时上式等号成立.由，i=1,2,n,及(2)得即由定理1 知,当且仅当时上式等号成立.推论1 得证推论2 设 0， 0，i=1,2,n,且,则有当且仅当等号

36、成立；当且仅当等号成立.注2：当q=1时，则有当且仅当等号成立 当且仅当等号成立.例1 试证对任意正数a，b，c,d，有证明 在(4)中令n3,得令 , , , , 得 例2 设n 为自然数,n2, 试证证明 由(5)得取i，1 ，i1，2，n,由(6)得又取i，1 ，i1，2，n,由(6)得从而有例3 设n 为自然数,n2,试证 证明 记上式的左端为 ,对任意p0,有由(6)得令，得32应用均值不等式的推广证不等式文1 用列表法证明了算术 几何平均数不等式的推广.本文应用均值不等式的推广证明一些不等式.为了阅读方便，将均值不等式的推广择录如下:符号 a =a()与=()分别表示非负实数的算术

37、平均数与几何平均数.推广 设由n行和k列组成的长方形表中，全部填写着非负实数:第一行填写 ;第二行填;第n行填写、在每一行中计算几何平均数并分别用 表示.在每一列中计算算术平均数并分别用 表示(表1). 则()a() (*) (证明详见文1).特别 ，当 长方形表为nn 的正方形表时(如表2填写法)，便得到;.因此.即(*)式是均值不等式的推广.课程卷频频出现这类综合题.例6 由原点向曲线引切线，切于异于点的点，再由引此曲线的切线，切于不同于的点，如此继续地作下去，得到点(i )求;(ii )求与的关系;(iii )若 a0，比较与a的大小，并加以证明.解 (i)因为,所以切线的斜率为,而的斜

38、率又为.于是=.因为,故 (ii)切线的斜率为,而直线的斜率又为.于是 = .整理得但 所以=0(iii)设,得,令得.故数列是以合为首项，公比为的等比数列.于是当n为奇数时, 0，故a; 当n为偶数时, 0，故 0, 证明证明:作3x2长方形表: 由(*)式，得，即两边 平 方 ，整理得例 2 ( 2001)年加拿大数学奥林匹克试题)证明:对任意正实数a,b ,。，均有证明作 3x3正方形表：由(*)式，得，即两边立方，化简，得例3(第 24届全苏数学竞赛题)如果正数的和为1，则证明 作nx2长方形表: 由(*)式，得注意到，将上述不等式两边平方，整理，即得例4 (2003年第64届普特兰数

39、学竞赛题)设和都是非负实数.证明证明 作2x n长方形表:由（*）式得即例5 (第36届imo试题)设a,b ,c为正数，且abc=1.试证证明 作3x2长方形表由（*）式，得注意到abc=1，两边平方，整理，得 即例6 (第39届imo备选题)已知，且xyz=1求证 证明 作3x3正方形表由（*）式，得由均值不等式，得注意到xyz=1，化简，得例 7 (第31届imo备选题)设a,b ,c,d0,且 ab+bc+cd+da=1。求证证明 作4x2长方形表:由（*）式，得因为代入上式左端，所以上述不等式两边平方，整理，得3.3均值不等式在高等数学中的应用极限概念是高等数学中的重要概念， 极限理

40、论是高等数学中的基础理论。高等数学中有许多重要的概念都是以极限形式来定义的。而极限概念是用不等式刻画的。这就决定了不等式运算是高等数学中最基本的运算之一， 因此作为基本不等式之一的均值不等式在解决高等数学的问题中发挥着重要的作用。3.3.1 证明重要极限的存在性。 证明：先证数列单调递增。令，则由均值不等式得即 所以数列单调递增。再证数列有上界。下面的证明可以看到一个更强的命题： 数列以（ k 为正整数） 为上界。先证不等式：当nk 时，.设 ，.由均值不等式 因此， 其次由，有当nk 时， 任取一个正整数k，均是数列的上界。又数列单调递增， 当nk 时， 不等式仍然成立。因此， 对于数列（

41、n=1，2） 恒有（ k 为正整数） 。任意选定一个k值，均是数列的上界。所以数列单调有界， 由单调有界定理， 数列极限存在。设极限值为e，即.由上面的证明，我们不难用均值不等式证明：数列极限存在且其极限也是e。证明如下：记所以数列 单调减少，且 数列收敛，且极限也是e。由上面的结果有，两边取对数有由此可以证明数列收敛。（ 其极限称为euler 数）3.3.2 求极限解：利用因为有，故3.3.3 证明积分不等式例1 2 证明：若函数f（ x） 在 a，b 连续，且x a，b ，有f（ x）0，则证明：利用的变形.由已知条件：与在 a，b 上均可积。应用积分定义，将区间 a，b 进行n 等分。取

42、极限（ n） 则有例2 2 证明：若函数在 a，b 上是正值可积的，k=1，2n，且0ab，则证明：利用有于是：即例3 设f （ x） 在 ， 上非负连续， 证明：证明：由题设知f（ x） ，1nf（ x） 在 ， 上可积，将 ， n 等分，作积分和 所以由均值不等式得故注1： 此例中的结论仅仅是著名的jensen 不等式的一个特例。注2：jensen 不等式： 设 是在集 内的代数 上的正测度，使得（ ） ，若f 是内的实函数，对所有的x，af（ x） 0. 由定理2有 其中 1,故“ =”不成立,所以数列为单调递增数列,又因为 其中,故“ =”不成立,故,即上式对一切偶数成立, 又为单调递

43、增数列, 故对一切正整数n, 有 0,则数列有下界.根据定理1推论2,数列收敛.问题三:证明数列收敛证明由猜想数列为单调递增数列, 需证. 即要证,又.由定理2,所以.下面要明证化简得: ,即有: ,显然成立.因此, 故数列为单调递增数列. 又,由问题一知. 所以数列有上界.由定理1推论1,数列收敛.综上问题的证明过程中,有一定的分析的思路,过程简洁,比较容易理解.3.5例说利用均值不等式解应用问题 要解决实际问题, 需要运用数学模型, 而某些数学模型常用到不等式的知识,尤其是均值不等式.本文试举例说明均值不等式在解实际问题中的应用. 例1 小强家住农村,十月一日国庆节回家,正赶上父亲收割庄稼,由于今年大丰收粮食太多,自家粮仓全部装满, 还剩下很多. 这时爸爸想出一个主意,决定用一块长方形木板, 借助两面成直角的墙,在屋子的墙角处围成一个直三棱柱的谷仓, 木板可立,可横. 小强心想,这么多粮食,怎样围才能装最多的粮食呢? 经过测算,小强得出满意的答案,向父亲提供了建议,请你叙述小强的做法. 如果换成任意的两面墙,如何处理?解小强用直尺