多尺度几何分析的图像去噪方法综述

1、图形、图像、模式识别多尺度几何分析的图像去噪方法综述李彦，汪胜前，邓承志li yan，wang shengqian，deng chengzhi南昌工程学院 信息工程学院，南昌 330099school of information engineering，nanchang institute of technology，nanchang 330099，chinali yan，wang shengqian，deng chengzhi.overview on image denoising based on multi-scale geometric analysis.com-puter engi

2、neering and applications，2011，47（34）：168-173.abstract：wavelet image denoising has become the most widely classical method in image denoising area，and the concomi-tant emergence of multi-scale denoising method makes it as a hot spot in the current method of image denoising.this paper gives a overall

3、summary on the current status of image denoising and wavelet denoising，also gives a brief description of the multi-scale geometric analysis and its development.and further more，it takes the detailed analysis and summary of im- age denoising methods based on multi-scale transform.based on the underst

4、anding of the wavelet transform denoising and multi-scale image denoising，it puts forward on some prospects in the multi-scale image denoising.key words：image denoising；wavelet denoising；multi-scale transform；thresholding摘 要：小波图像去噪已经成为图像去噪中应用最广泛的经典方法，而随之出现的多尺度变换去噪方法也已是当前图像去噪研究的一个热点。在对目前图像去噪的现状以及小波去噪

5、总体概括的基础上，简要介绍了多尺度几何分析的产生和发展，进一步 详细分析和总结了基于多尺度变换的图像去噪方法。基于对小波去噪以及多尺度变换图像去噪问题的理解，提出了对多尺度变 换图像去噪方法的一些展望。关键词：图像去噪；小波去噪；多尺度变换；阈值doi：10.3778/j.issn.1002-8331.2011.34.047文章编号：1002-8331（2011）34-0168-06文献标识码：a中图分类号：tn919.81相对于 20 世纪人类传递和获取信息主要依赖于文字和语言来说，进入 21 世纪的信息化时代，图像成为了人类获取信息 及利用信息的重要来源，在人类生活中扮演着越来越重要的 角

6、色。然而在现实生活中所获得的图像往往都受到了噪声的 干扰。产生噪声的原因决定了这些噪声的分布特性和它们与 图像信号之间的关系，通常的噪声有加性噪声、乘性噪声、量 化噪声等，这些噪声恶化了图像质量，使其模糊，甚至淹没了 它们的特征，给人们日常的图像应用分析都带来了困难。图 像去噪的目的就是减少和消除图像中的噪声，以改善图像质 量，图像去噪也是图像处理的基础和前提条件之一。图像去噪1 方法从大方向上可以分为空间域去噪法和变 换域去噪法两大类。空间域去噪法直接在空间域对图像进行 操作，早期比较经典的方法有噪声门限法、邻域平均法、加权 平均，中值滤波，维纳滤波等。而变换域图像去噪方法是目前 图像去噪研

7、究非常流行的方法，基本思路是：首先对含有噪声 的图像进行某种变换，将图像从空域转到变换域，然后利用某 种方法对变换域中的系数进行处理，再进行反变换，将图像从 变换域转回空域，以此来达到对图像去噪的目的。这种变换域图像去噪方法的关键就是要找到一个最优的图像表示方法或者说图像变换方法，从而得到稀疏的图像表示。 其中，比较经典的变换工具有傅里叶变换（fourier trans-form）、拉普拉斯变换（laplacian transform）、小波变换（wave- let transform）等，以及目前研究比较多的新的变换工具多 尺度变换（multi-scale transform）。1小波去噪2

8、0 世纪 80 年代发展起来的小波变换，因其独特的时频局 部化特性，在图像和噪声信号的区分以及有效去除噪声并保留有用信息等方面较传统傅里叶去噪方法具有明显的优势。现有的小波去噪方法大致上可分为三大类：空域相关性去噪2、基于奇异性检测的去噪3和小波域阈值去噪4。其中空域相关性去噪是根据图像信号的小波系数在不同尺度间具有很强相 关性，而噪声系数却弱相关或不相关来进行图像去噪；基于奇异性检测的小波去噪是认为图像信号的 lipschitz 指数为正，噪声的 lipschitz 指数为负，通过确定各尺度上图像信号的模极大值，重构得到去噪信号。小波域阈值去噪是通过设定某基金项目：国家自然科学基金（the

9、national natural science foundation of china under grant no.60462003）；江西省自然（青年）科学基金（no.2010gzw0049）；江西省教育厅科学技术研究项目（no.gjj09366）。作者简介：李彦（1985），男，助教，研究方向为图像处理、多尺度几何分析、数字水印等；汪胜前（1965），男，教授，博士，硕士生导师；邓承志（1980），男，博士。e-mail：liyanccly121收稿日期：2011-05-10；修回日期：2011-07-11一合适阈值，认为小于该阈值的系数是由噪声产生的，将其置为 0，保留大于阈值的系数

10、，从而抑制信号中的噪声。1992 年 donoho 等人提出了小波阈值收缩去噪方法：因为 小波变换具有线性性质，所以对信号做离散小波变换后，分解得到的小波系数 wf ( j k ) ，仍然由两部分组成，一部分是信号s(k ) 所对应的小波系数，记作 uj k ，另一部分是噪声 n(k ) 所对 应的小波系数，记作 vj k 。信号 s(k ) 中的重要信息，在 uj k 中体现为有较大幅值的小波系数。而高斯白噪声 n(k ) ，由于其小波变换仍然服从高 斯分布，所以其小波系数 vj k 在整个 ( j k ) 域上是一致分布 的，并且 vj k 随着尺度的增大而减小。由此可见，白噪声对小波系数

11、 wf ( j k ) 都有影响；而信号s(k ) 只对极少数的小波系数有影响。从能量的角度来看，在小 波域上，噪声的能量分布在所有的小波系数 wf ( j k ) 上，而信 号 s(k ) 的能量只分布在小部分小波系数 wf ( j k ) 上。故可以 把小波系数 wf ( j k ) 分为两类：（1）由噪声变换后得到，这类小 波系数幅值较小，数目较多；（2）由信号变换后得到，这类小波 系数幅值大，数目较少。小波阈值去噪方法是基于上面思想提出的，具体的处理 过程：将含有噪声的信号进行小波变换，保留低频分量的全部 小波系数，对高频分量中的小波系数，通过设定一个合适的阈 值 ，对于绝对值小于阈值

12、 的小波系数，认为是由噪声经过 小波变换后得到的，将其置为 0；对于绝对值大于 的小波系 数，则认为是由信号经过小波变换后得到的，将其完全保留，小波变换的不足使人们开始寻求更好的非线性逼近工具。对于二维图像，奇异性主要由边缘所刻画，因此主要的任 务是处理边缘。边缘在小波的各个尺度上扩散以及小波和稀 疏几何方法在处理边缘上的差异，如图 1 所示。从图 1 可以看 出，小波在对于线奇异边缘为主的图像表示时，不能得到有效 的稀疏表示。图 1 边缘在小波的各个尺度上扩散图图 2 左图表示了用二维可分离小波来逼近图像中奇异曲线的过程。由一维小波张成的二维小波基具有正方形的支撑 区间，不同的分辨率下，其支

13、撑区间为不同尺寸大小的正方 形。二维小波逼近奇异曲线过程，最终表现为用“点”来逼近 线的过程。在尺度 j，小波支撑区间的边长近似为 2j，幅值超 过 2j 的小波系数的个数至少为 o（2）j 阶，当尺度变细时，非零 小波系数的数目以指数形式增长，出现了大量不可忽略的系 数，最终表现为不能“稀疏”表示原函数。图 2 右图所示为某种人们希望的变换，这种变换为了能充 分利用原函数的几何正则性，其基的支撑区间应该表现为“长条形”，以达到用最少的系数来逼近奇异曲线。基的“长条形”支撑区间实际上是“方向”性的一种体现，也称这种基具有“各向异性”。人们所希望的这种变换，就是“多尺度几何分析”。或者对其做相应

14、的收缩处理，得到新的小波系数 w f ( j k ) 。最后对得到的新的小波系数利用逆小波变换来重构信号。 在阈值去噪中，常用的阈值函数有两种：一种是硬阈值函数，一种是软阈值函数。通用阈值是最早的小波阈值萎缩去 噪方法5-6。阈值 的选择满足： = n 2 ln n其中 n 为噪声的方差，n 为信号大小。小波阈值图像去噪方法因为实现较简单，计算量较小，而 被广泛应用。但是小波分析在一维时所具有的优点并不能推 广到二维乃至更高维，即不能从刻画点奇异推广到刻画线奇 异乃至面奇异。并且对于图像来说，边缘不连续性是按照空 间分布的，这种奇异性影响了小波展开级数中的许多项，因此 小波变换在去噪上展现出了

15、许多不足。图 2 小波和稀疏几何方法在处理边缘上的差异综合图 1、图 2，可知小波对边缘的近似表示只能用正方形来进行逼近表示。而正方形的方向性比较差，只能对点奇异 的表示比较有效。在稀疏几何方法处理边缘时，用的是长条 形来近似表示，因为长条形可以有很好的方向性，所以多尺度 变换在表示这种线奇异性的边缘时显得更加有效。为了克服小波变换存在的不足，更加有效地表示和处理 图像等高维空间数据，近年来，在数学分析、计算机视觉、模式 识别、统计分析等不同学科，分别独立地发展着一种彼此极其 相 似 的 理 论 多 尺 度 几 何 分 析 8（ multi-scale geometric analysis，m

16、ga）。可以说，多尺度几何分析是近几年在国际上 兴起的“第二次小波浪潮”。从 mga 首次提出至今不过短短几年时间，其理论构建和 应用已经得到了深入而广泛研究。总的说来，图像多尺度几 何分析方法可分为自适应和非自适应两大类。所谓自适应多 尺度几何分析是指图像变换的基函数随图像内容变化而变 化 ，它 主 要 包 括 brushlet、wedgelet、bandelet 和 directionlet 等。非自适应多尺度几何分析是指图像变换的基函数与图像 内容无关，它主要包括ridgelet、curvelet、contourlet、shearlet 等。2多尺度几何分析寻求客观事物的“稀疏”表示方法

17、，一直是计算机视觉、数 学、数据压缩等领域的专家学者致力于的研究目标。据生理学家对人类视觉系统研究结果和自然图像统计模 型，一种“最优”的图像表示法应该具有如下的特征7：（1）多分 辨率 能够对图像从粗分辨率到细分辨率进行连续逼近，即 “带通”性；（2）局域性 在空域和频域，这种表示方法的“基”应 该是“局部”的；（3）方向性 其“基”应该具有“方向”性，不仅仅 局限于二维可分离小波的三个方向（水平、垂直和对角）。对于含“点奇异”的一维信号，小波能达到最优的非线性 逼近阶.而在处理二维或者更高维含“线奇异”的信号时，由一 维小波张成的高维小波基不能达到最优逼近阶。3多尺度几何分析的图像去噪方法

18、分类根据分析当前多尺度变换在图像去噪中的应用方式和去 噪方法，将多尺度几何分析的图像去噪方法分为：单一多尺度 变换图像去噪、联合多尺度变换图像去噪以及基于边缘保护 的多尺度变换去噪等。3.1单一多尺度变换图像去噪此处，单一多尺度图像去噪是指图像仅仅通过一种单一 的多尺度变换之后，并对变换系数进行相应的阈值处理，从而 得到去噪后的变换域系数，最后通过相应的多尺度反变换得 到去噪后的重建图像。在这些去噪算法中还可以涉及到去噪 阈值以及收缩函数的选择与确定。3.1.1 基于 ridgelet 变换图像去噪1998 年，stanford 大学 e.j.candes 和 d.l.donoho 研究了一

19、种新的多尺度变换脊波变换9-10（ ridgelet transform），它能 有效地处理二维空间中具有直线奇性的信号。该理论巧妙地 将二维函数中的“直线奇异”转化为“点奇异”，再进行小波变 换，它能够获得对含“直线奇异”的二维或更高维函数最优的 非线性逼近阶。ridgelet 变换的理论框架弥补了小波的不足，在线和超平 面的奇异性表示上获得了良好的特性。对于纹理（线奇异性） 丰富的图像，ridgelet 变换可以获得比小波更加稀疏的表示。 利用这一点对图像进行收缩去噪，ridgelet 变换可以获得更好 的去噪效果，同时可以很好地保留图像的细节信息。随后，m.n.do 和 m.vetter

20、li 提出了一种可逆的、正交化的 有 限 脊 波 变 换 finite ridgelet trnasform（frit）11。 将 frit 应用于图像去噪过程，将阈值去噪方法扩展应用到脊波 领域。实验证明，当处理具有直线特征的图像时，基于ridgelet 变换的图像去噪算法取得了较传统小波方法更好的效果。ridgelet 变换图像去噪是利用图像信号和白噪声的ridgelet 变换的不同性质来进行图像去噪的。图像经过有限脊波变换 后，原始图像与噪声所体现的特征不同，图像特征的幅值较 大，噪声在变换域中分布均匀，通过设置阈值，将小于阈值的 系数置为零，来去除噪声，保留图像特征。由于 ridgel

21、et 变换 能够更好地表征图像中的直线，所以对那些分段光滑、沿直线 边缘奇异的图像来说，在 ridgelet 变换域去噪后，可以达到既 去除噪声又很好保留图像特征的目的。基于 ridgelet 变换的图像去噪一般算法如下：（1）图像预处理，将其变为素数大小，并减去均值；（2）估计图像噪声的标准偏差 ；（3）对噪声图像应用正交有限脊波变换，得到 frit 系数 矩阵；（4）对各尺度下的脊波系数进行阈值处理；（5）对处理后的脊波系数矩阵应用正交有限脊波反变换 重构图像；（6）对去噪后的图像采用 wiener 滤波来减少“环绕”效应。 而不同的基于ridgelet 变换的图像去噪算法大多会在第（4）

22、 步上做文章，例如文献12中采用了统一阈值与自适应阈值联 合处理的方法，对脊波系数矩阵的每列进行硬阈值处理，即是 对每个方向进行单独去噪，取得了不错的效果12。还有一些则 在步骤（3）上做改进，如文献13先对图像作 slant stack 变换，然后再进行小波变换的数字脊波变换14，并将平移不变性引入 到数字脊波变换，以克服去噪后图像所出现的 gibbs 条纹干扰现象。由于 ridgelet 变换的数字实现是通过有限 radon 变换的，radon 变换是在代数直线上求和的，也由于取模运算的缘故，使得变换后的图像产生了“环绕”现象，不利于图像去噪。3.1.2 基于 curvelet 变换图像去

23、噪曲波变换（curvelet transform）15的理论是2002 年由candes 等人提出的。curvelet 变换分为第一代和第二代两种。第一 代 curvelet 变换的构造思想是建立在 ridgelet 变换的基础上 的，通过尽可能小的分块将曲线近似到每个分块中的直线来 看待，然后利用局部的 ridgelet 变换来分析其特性。而第二代 curvelet 变换与脊波理论并没有任何关系，它是建立在频域基 础上的，实现过程无需用到 ridgelet 变换。curvelet 变换不仅具有多尺度特性，而且由于引入了一个 方向参量，而使它具有各向异性的特征，从而对线条状特征有 着良好的表征

24、。对于二维图像而言，边缘、轮廓等线条特征恰 恰包含了图像最重要的信息，这使曲波变换在数字图像处理 领域中有着良好的表现。curvelet 变换图像去噪方法是基于阈值方法的，其基本原 理是图像经过 curvelet 变换，一般来说，噪声信息在曲波域中 表现为绝对值比较小的曲波系数，通过某种原则确定某个阈 值来判断噪声与信号，进而实现 curvelet 变换图像去噪。第二代 curvelet 变换是建立在频率域上的，其曲波系数是通过局部傅里叶基变换来实现的。根据 curvelet 变换的理论，即图像信号对应于较大的曲波系数，噪声对应于较小的曲波系数，可以选择合适的阈值，保留较大的曲波系数，舍弃较小

25、 的曲波系数来实现对含噪图像的去噪。其具体实现过程如图3。低尺度曲波系数含噪图像重构图像曲波变换其他曲波系数分块阈值处理图 3 第二代曲波图像去噪方法流程图（1）对含有噪声的图像 f 进行快速离散曲波变换，得到每一尺度 j 和方向 l 上的快速离散曲波系数 c ( j l k ) 。（2）保留低尺度上的曲波系数即幅值较大的曲波系数，其 他尺度上的曲波系数采用合适的阈值对其进行分块阈值处理，得到处理后的曲波系数为 c ( j l k ) 。（3）对处理后的曲波系数 c ( j l k ) 进行快速离散曲波反变换，得到重构的图像 f 。在文献16中提出了一种曲波变换域自适应收缩图像去 噪方法16，

26、此方法研究了曲波变换域非参数贝叶斯估计图像去 噪问题。利用先验概率模型正态反高斯（nig），对图像曲 波系数的稀疏分布进行统计建模，并在此基础上设计出基于 nig 的最大后验概率（map）估计器。通过估计曲波子带系数 分布的参数，实现基于 map 的子带自适应收缩图像去噪，该 方法能有效地去除图像中的噪声，同时较好地保留了图像的 纹理和边缘等细节。而在文献17中，将 curvelet 变换去噪中对阈值的处理进 一步改进，把阈值的设定具体到不同的尺度和方向子带采用 不同的阈值。利用 curvelet 变换，采用快速离散曲波变换算 法，根据不同层的 curvelet 系数和噪声的特点，提出了一种自

27、 适应阈值图像去噪方法17。与前面的 curvelet 变换去噪方法并未考虑图像经 contourlet 变换后系数之间（包括同一尺度内和不同尺度间）的相关性，这样就会丢失很多包含有用图像信 息的系数。po 和 do 借鉴小波域内描述小波系数相关性的小 波域隐 markov 模型，提出了基于 contourlet 变换的方向多尺 度模型22，通过在 contourlet 域内引入隐 markov 模型来描述 contourlet 系数的相关性，并将其应用于图像去噪。由于 contourlet 变换是由拉普拉斯金字塔滤波器（lp）和相比，该方法在去除噪声的同时，能更好地保留图像的细节，其峰值信噪

28、比明显提高，视觉效果也有所改善。 在文献18中，针对于基本的 curvelet 变换去噪方法中单独的软阈值或硬阈值去噪各自存在着局限性，提出了一种折 中的阈值方法18。改进后的阈值函数仍然保留软、硬阈值的优 点，它增强了硬阈值对于 psnr 的贡献，提高了重构图像的客 观评价标准；又结合软阈值使图像比较柔和，对硬阈值起均衡 补偿的作用，同时还提高了重构图像的主观评价标准，因此称 改进的阈值方法为阈值补偿法。curvelet 变换对高斯噪声、泊松分布噪声、斑点噪声去噪 后的效果都比较好，噪声滤除干净，图像边缘等高频信息也得 到保留。但是，curvelet 变换无法去除椒盐噪声，去噪后图像 残留了

29、一些黑白点。并且在 curvelet 变换去噪当中，去噪后的 图像某些区域会出现轻微的“振铃”和放射状条纹，如 lenna 脸 部皮肤、帽子边沿、barbara 膝盖等。尤其对于含噪声多的图像去 噪后出现的“振铃”和放射状条纹更为严重，影响图像清晰度19。3.1.3 基于 contourlet 变换图像去噪donoho 和 vetterli 在 2002 年提出了一种新的多尺度几何 分析方法contourlet 变换。contourlet 变换的思想是使用 类似于线段的基函数去逼近原始图像，从而实现对图像的稀 疏表示。因此，要实现 contourlet 变换，首先需要对图像进行 一个多尺度变换

30、以检测不同尺度上边缘处的奇异点，然后再 通过一个具有局部性的方向变换将同一尺度上相邻的奇异点 联结成线段结构。contourlet 变换将拉普拉斯金字塔滤波器（lp）和方向滤 波器组（dfb）结合起来，组成一个“双重滤波器组”的结构，即 contourlet 滤波器组。每级 contourlet 分解首先经过 lp 滤波， 然后将 lp 滤波后的高频带通信号传入方向滤波器组（dfb） 中，从而捕捉到图像中包含的方向信息。整个过程在上层 lp 滤波产生的低频信号上迭代，可以在不同尺度上将图像信息分 解到各个方向子带中去，最终实现对图像的多尺度、多方向分解。contourlet 变换既具有小波变换

31、的多分辨特性和时频局 部化特性，又具有很好的多方向性和各向异性，即允许在不同 的尺度下可以有任意不同数目的方向。此外，contourlet 变换 直接产生于离散域，使用迭代滤波器组可实现高效计算，若使 用有限激励响应滤波器，逼近 n 点像素图像的计算复杂度为 o（n），远低于 curvelet 变换的计算复杂度，而且其采样冗余度 不到 4/3。contourlet 的诸多优点使其在图像去噪领域具有良 好的应用前景。类似于小波图像去噪，基于 contourlet 变换的图像去噪20方法主要由以下三步组成：（1）对含噪图像进行 contourlet 变换；（2）对变换后的 contourlet 系

32、数按照某种规则进行修正；（3）对修正后的 contourlet 系数进行 contourlet 逆变换得 到去噪后的图像。在阈值去噪过程中，一个重点和难点就是阈值的选取，如 何选择合适的阈值对去噪的效果有着重要的影响。现在关于 阈值的选取方法有很多，但在阈值去噪过程中，如果变换缺乏 平移不变性，就会在信号的不连续点邻域产生伪吉布斯现象， 导致信号失真。考虑到 contourlet 变换不具有平移不变性， eslami 和 radha 将 cyele spinning 与 contourlet 变换相结合来 对图像进行去噪21，改善了去噪的效果。但通常的阈值去噪法方向滤波器组（dfb）结合起来，

33、组成的一个“双重滤波器组”的结构。因此在contourlet 变换去噪过程中也可以对contourlet变换过程进行改进来适去噪的需要。在文献23 中利用 arthur l.da cunha 等人在 2005 年提出的非下采样 contourlet 变换（nonsubsampled contourlet transform，nsct），提出了 一种基于非抽样 contourlet 变换的图像去噪算法23-24，利用非 抽样 contourlet 变换的多尺度多方向性以及平移不变性，对加 噪图像进行非抽样 contourlet 变换得到变换系数，然后根据变 换系数的能量自适应地调整去噪阈值，最后

34、将其反变换得到 去噪后的图像。实验表明，与 contourlet 变换多尺度阈值去 噪、contourlet 变换自适应阈值去噪相比，该方法在保留图像边缘细节的同时，能提高图像的 psnr 值，减少了 gibbs 现象。而在文献25中是针对 contourlet 分解的细节图像在奇异点附近产生振荡，在去噪过程中会产生伪吉布斯现象，提出一种改进 的拉普拉斯金字塔实现基于contourlet 变换的图像去噪算法25。 另外，针对 contourlet 变换系数的分布特点也引出了基于 系数相关特性的去噪算法26。例如在文献26中根据contourlet 系数在同一尺度内的邻域相关特性，构造得到一个自

35、适应阈 值，然后在采用阈值法进行自适应阈值去噪的同时，利用 contourlet 系数在相邻尺度间的相关性对系数进行进一步的 取舍，从而提出一种新的基于 contourlet 变换系数特性的自适 应阈值图像去噪算法。实验结果表明，在相同条件下该算法具有很好的主客观去噪效果。3.1.4 基于 shearlet 变换图像去噪shearlet 变换 是最近几年才提出来的一种多尺度几何分析方法，是一类新的多维函数逼近方法，它通过一个基本函数 的膨胀、剪切和平移变换来构造。由于 shearlet 可以通过多尺 度分析的紧框架系统中得到，因此具有很好的局部性，且可以 得到像小波一样的分解算法。在图像去噪中

36、一个主要的矛盾就是去除噪声与保留图像27边缘细节的矛盾，由于 shearlet 变换对图像的边缘有很好的表示和检测作用，因此很快被考虑应用到图像的去噪中。 在文献28中提出一种基于 shearlet 变换的图像去噪算法，首先在 shearlet 变换理论基础上实现了一种分解和重构的 方法，然后用 monte-carlo 方法对高频系数进行估计，最后通 过阈值函数进行收缩去噪28。其大致步骤如下：（1）对含噪图像进行 shearlet 变换分解，得到低频系数和 各个尺度的高频系数。（2）用 monte-carlo 方法先估计各尺度子带的噪声方差，然后根据各子带噪声方差对各尺度的高频系数进行硬阈值

37、处理，从而得到去噪后的高频系数。（3）将去噪后的高频系数和分解得到的低频系数进行shearlet 变换图像重构，得到去噪后的图像。实验结果表明，与小波域、curvelet 域和 contourlet 域去噪算法相比，此方法在去噪的同时保留了更多的纹理信息，具有 更好的视觉效果，且 psnr 值有很大的提高。但 shearlet 变换 的数字实现研究的仍不够成熟，因此基于 shearlet 变换的图像 去噪还存在很大的提升和研究空间。3.2 联合多尺度变换图像去噪近年来，基于图像去噪算法的研究主要集中在用单一变 换对图像进行处理。事实上，不同的变换方法，能够有效地表 示一幅图像的不同部分或不同的

38、特征。小波变换在处理一 维，也就是点奇异性时具有独特的优势，脊波变换在处理线奇 异性时比较有效，曲波变换在处理曲线奇异性时能够达到更 稀疏的表示等。一些研究提出了一种有效的图像处理方法：小波与多尺 度变换联合图像去噪方法。此方法有多种形式，其中一种形 式是将小波变换融合进多尺度变换中，以实现一种新的多尺 度变换，然后再利用这种新的多尺度变换进行图像去噪。例 如文献29就是将 contourlet 变换中第一步的 lp 滤波器改用 小波变换来代替，在小波变换后的各 lh、hl、hh 高频子带上 再用方向滤波器得到小波-contourlet 变换后的系数矩阵。然 后就可以将这种小波-contour

39、let 联合多尺度变换应用到图像 去噪29-30中。方法实现步骤：（1）对加噪图像进行小波-contourlet 变换，得到不同尺度 不同方向上的变换系数；（2）对变换系数进行分层硬阈值处理；（3）对处理后的变换系数进行反变换进而得到去噪后的 图像。还有一种形式是根据图像各部分的特性，对图像进行分 块处理，分别利用各种变换表示方法的优点对其进行分块分 类分解表示。例如文献31中基于小波包变换在处理图像中 的平滑区域时能够起到较好的效果，而 curvelet 变换可以更好 地逼近线性奇异高维函数，对图像的边缘区域有最稀疏的表 示。在上述基础上提出了基于二者联合的图像去噪算法31，在 对含噪图像进

40、行分割后，分别对线性区域和平滑区域采用 curvelet 阈值去噪处理和小波包阈值去噪处理。该方法充分 发挥了二者各自的优势，实验表明，它对图像的去噪效果要优 于单纯的 curvelet 或小波包去噪方法。另在文献32中同样将 小波变换与 ridgelet 变换联合，首先用脊波表示图像中的 1 维 奇异，再用小波表示图像中的 0 维奇异，利用脊波和小波各自 的优点，扬长补短，从而提出基于脊波与小波变换的联合图像 去噪方法（rwt）32。该方法具体描述为：首先利用脊波分解 中较大的系数探测图像的线性特征，即 2 维图像的主要方向信 息特征，然后利用这些系数重构图像，并用原含噪图像减去该 重构图像

41、得到残差图像，因线性特征并不包含图像中的点状 噪声信息，因此通过设置比较小的脊波系数阈值可将点状噪 声留在残差图像中，重构图像将主要包含图像中的方向信息、 边缘等 1 维奇异特征；对于残差图像，再利用小波阈值去除残 留在其中的点状奇异，即噪声；最后将去噪后的残差图像与脊 波重构图像相加得到最终去噪结果。理论分析和实验结果都 表明，与传统的小波阈值方法或脊波去噪方法相比较此方法 有明显的去噪效果。该方法不但可以保持图像的边缘和良好 的视觉特性，而且去噪后图像的峰值信噪比可再提高将近2 db， 算法处理的时间复杂度为 o（n log（n）。3.3基于边缘保护的多尺度变换去噪高斯白噪声均匀地分布于图

42、像中，且图像经过小波变换 后，能量主要集中在低频子带上，故高频子带中噪声能量相对 较多。因此，可以设定一个阈值，将绝对值小于阈值的高频小 波系数当作噪声去除，对绝对值大于阈值的高频小波系数当 作信号保留，从而达到去噪的目的。在阈值去噪过程中，选择 过大的阈值，会造成有用的高频信息（如边缘信息）的丢失，使 图像变得模糊；而过小的阈值，又会保留过多的噪声，使图像 去噪效果不明显。所以导致去除噪声与保留边缘成为了图像 去噪过程中的一个矛盾。为此，mallat 等最早提出了基于边缘检测的小波去噪方 法，同样可以将边缘保护移植到多尺度变换去噪当中。边缘 检测的基本思想是先利用边缘增强算子，突出图像中的局

43、部 边缘，然后定义像素的“边缘强度”，通过设置门限的方法提取 边缘点集。目前已有多种边缘检测方法，有采用梯度算子（roberts 算子、sobel 算子、prewitt 算子和拉普拉斯算子）的检 测方法，基于连续小波的检测方法等。文献33分析了 starck 等将 curvelet 应用在图像去噪中的 去噪方案存在的两点不足：（1）采用的 ridgelet 变换带有“环绕”现象，因此影响了 ridgelet 变换“以直线为单位分析图像”的性质；（2）在去噪时使用的是简单的硬域值去噪法，该方法虽然能有效抑制噪声，但会使图像的边缘变得模糊。针对这 两点不足，文献33对 starck 等的去噪算法进

44、行了改进，提出 了加强边缘保护的 curvelet 去噪法33。在此算法中，不仅对 curvelet 变换、阈值处理进行了改进，还在用硬阈值法去噪的 同时，也对代表图像边缘的系数进行检测并予以保留，从而使 去噪后的图像边缘更为清晰锐利。文献34为了较好地保留图像边缘特征的有效去噪，提出 了一种基于边缘检测的 contourlet 变换去噪方法34。该方法先 用 log 算子提取图像边缘，进而在 contourlet 变换域上对图像 的边缘部分和非边缘部分分别选取不同阈值进行最佳软阈值 去噪处理。实验表明，与采用 donoho 软阈值的 contourlet 变 换去噪方法相比，该方法可有效地保

45、留了图像的边缘信息，达 到了更好的去噪效果。4 目前存在的主要问题和进一步的研究重点图像的多尺度几何分析是一个非常前沿的研究领域，其 理论和算法都处于发展阶段，将其应用于图像去噪中也是目 前研究的一个热点。本文认为，多尺度变换去噪还存在如下 一些亟待解决的问题以及研究重点：（1）多尺度几何变换算法 多尺度变换图像去噪中多尺度变换是其基石，有一个有效的、稀疏的多尺度变换方法是实现更好的图像去噪的坚实 基础。在上文所述的各种图像去噪方法当中，不乏对多尺度 变换改进后再应用到图像去噪中的例子。图像去噪对多尺度变换的要求在于变换后的图像系数矩 阵能很好地将图像信息系数和噪声系数区分开来，以利于图 像去

46、噪处理。然而，按实际来说，很难达到这个目标，目前的 多尺度变换如 contourlet 变换、curvelet 变换等大都可以较好 地将图像信息系数和噪声系数区别开来，只是在处理细节边 缘信息时出现一些问题。因此寻求更好、更优的多尺度变换 算法仍然是研究的目标和重点之一，这包括多尺度变换的稀trans on image processing，1994，3（6）：747-758.3 mallat s，hwang w l.singularity detection and processing with waveletsj.ieee trans on information theory，1992

47、，38（2）：617-643.4 zhang l，bao p，pan q.threshold analysis in wavelet-based de-noisingj.ieee electronics letters，2001，37（24）：1485-1486.5 donoho d l，john stone i m.ideal spatial adaptation via wave- let shrinkagej.biometrika，1994，81（3）：425-455.疏程度、计算复杂度、自适应性等问题。（2）噪声的分布特点和多尺度变换系数分布特性 噪声在变换域一般是均匀分布于各频段系数

48、当中，噪声的能量分布在所有的变换域系数上；而图像信号的能量只分 布在小部分变换域系数上，而且图像信号变换域系数在各个 尺度之间、尺度内部都有一定的相关性。因此，研究噪声的分 布特点和多尺度变换后系数的统计特性，有利于提出更完善 的去噪模型，然后研究其去噪的有效方法36。（3）去噪阈值和收缩函数 在基于变换域的图像去噪的一个关键是如何对变换后的系数进行修正，修正涉及到去噪阈值以及收缩函数的选择与 确定。通常的阈值去噪法如硬阈值、软阈值，由于简单有效， 因而应用十分广泛。阈值的选择和处理是与系数的特性息息相关的，在小波 去噪中，根据小波系数特点，提出了像小波收缩阈值35等很好 阈值处理方法。然而，

49、在多尺度变换图像去噪中由于一些多 尺度变换与小波变换的系数分布存在一定的差异，所以要按 照各种多尺度变换系数分布特点寻求分别适合它们的阈值处 理方法，像上文中提到的分层阈值、方向阈值、自适应阈值、阈 值补偿等都是以后重点研究的方向之一。（4）去除噪声与保留图像边缘细节 在图像去噪中一个主要的矛盾就是去除噪声与保留图像边缘细节的矛盾。由于在多尺度变换域图像的边缘细节信息 与噪声都会分布在高频系数中，而对图像去噪的处理大多也 是集中在高频系数部分，这样使一些含有边缘细节信息的高 频系数丢失，导致去噪后的重建图像出现边缘模糊的现象。为了缓解这类矛盾，很多学者也提出了基于边缘保护的 图像去噪方法。基于

50、边缘保护的图像去噪方法，关键在于如 何有效、准确地检测到图像的边缘信息。在这一方面，最近提 出的 shearlet 变换具有很好的发展潜力，将是今后一个很重要 的研究点。6donoho d l，john stone i m.adapting to unknown smooth-ness via wavelets shrinkage.journal of american statj.assoe，1995，90：1201-1225.donoho d l，flesia a g.can recent innovations in harmonic analysis“explain”key findi

51、ngs in natural image statisticsj.net- work：computation in neural systems，2001，12（3）：371-393.78 焦李成，谭山.图像的多尺度几何分析：回顾和展望j.电子学报，2003，31（12a）：1975-1981.9 candes e j，donoho d l.ridgelets：the key to high-dimensional intermittencyj.phil trans r soc lond a，1999，357：2495-2509.10donoho d l.orthonormal ridgele

52、ts and linear singularitiesj.siam math anal，2000，31（5）：1062-1099.11do m n，vetterli m.the finite ridgelet transformfor imagerepresentationj.ieee trans on image processing，2003，12（1）：16-28.12 唐永茂，施鹏飞.基于有限 ridgelet 变换的图像去噪j.计算机应 用与软件，2006，23（1）：82-84.13 罗鹏，高协平.改进的 ridgelet 变换图像去噪方法j.计算机工程 与应用，2007，43（2

53、1）：29-31.14donoho d l，flesia a g.digital ridgelet transform based ontrue ridge functionseb/ol.2011-03.http/www.stat.stanford. edu/donoho/report.candes e j，donoho d l.curvelets-a surprisingly effectivenon-adaptive representation for objects with edgesr.stanforduniversity，1999.1516 邓承志，曹汉强，汪胜前.curvele

54、t 变换域自适应收缩图像去噪j.应用科学学报，2008，26（1）：22-27.17 王海珍，吴爱弟.基于curvelet 变换的自适应阈值图像去噪方法j.天津理工大学学报，2010（1）.18 张繁，张发存.基于curvelet 变换的阈值补偿图像去噪方法研究j.计算机应用与软件，2010（3）.19 赵心.基于 curvelet 变换的图像去噪方法研究与应用d.山东科 技大学，2007.20 邓承志，汪胜前，钟华，等.基于contourlet 变换的图像去噪算法j.电视技术，2004（10）：21-22.5结语本文以多尺度几何分析在图像去噪中的应用为主线，对 多尺度几何的图像去噪方法做了粗

55、线条的勾画。文中对多尺 度几何分析的图像去噪提出了一种简单的分类方法，并针对 最近几年许多学者提出的多尺度变换图像去噪算法，分别对 各种多尺度变换图像去噪方法进行了阐述和介绍，意在诠释 多尺度几何分析在图像去噪中的发展和应用，以期引起更多 研究者对多尺度几何分析、多尺度几何分析在图像去噪及其 他图像处理等领域中的应用的关注。由于篇幅所限，加之多 尺度几何分析及其应用本身尚处于发展阶段，许多问题未及 深入研究。文中许多观点仅是一己之见，难免有失偏颇，欢迎 批评指正。21eslami r，radha h.translation-invariant contourlet transformand i

56、ts application to image denoisingj.ieee trans on im- age proeessing，2006，15（11）：3362-3374.22 ypo d d，do m n.direetional multiscale modeling of imagesusing the contourlet transformj.ieee transactions on imageproeessing，2006，15（6）：1610-1620.23 曾业战，钱盛友，刘畅，等.非下采样 contourlet 变换自适应图像去 噪方法j.计算机工程与应用，2010，46（10）：157-159.24 方洁.基于非抽样 contour