二元一次方程组解决实际问题

1、想一想：想一想：列二元一次方程组解决列二元一次方程组解决 实际问题的主要步骤是什么？实际问题的主要步骤是什么？ (1)弄清题意，找到题目中表达的相弄清题意，找到题目中表达的相等关系，并设出未知数；等关系，并设出未知数； (2)列出表示题目全部意义的两个列出表示题目全部意义的两个方程，并组成方程组；方程，并组成方程组； (3)解这个方程组，求出未知数的解这个方程组，求出未知数的值；值； (4)审查未知数的值是否符合题意，审查未知数的值是否符合题意，并做答并做答(注意写明单位注意写明单位)。 例例1、李巍喜欢集邮李巍喜欢集邮.她有中国邮票和外国邮她有中国邮票和外国邮 票共票共 335 张，其中中国

2、邮票的张数比张，其中中国邮票的张数比 外国邮票的张数的外国邮票的张数的 3 倍少倍少 17 张张.她有她有 中国邮票和外国邮票各多少张？中国邮票和外国邮票各多少张？ 分析：分析：题题目中含有两个未知数目中含有两个未知数：1）中国邮票的张数中国邮票的张数 + + 外国邮票的张数外国邮票的张数 = 335= 3352）中国邮票的张数中国邮票的张数 = 3= 3外国邮票的张数外国邮票的张数1717例例2、某校七年级（某校七年级（1）(2)两班的同学积极参加两班的同学积极参加全民身活动，为此两班购买了相同的体育用品。全民身活动，为此两班购买了相同的体育用品。七年级（七年级（1）班买了）班买了3个篮球和

3、个篮球和8幅羽毛球拍共幅羽毛球拍共用了用了442元，七年级（元，七年级（2）班购买了）班购买了5个篮球和个篮球和6幅羽毛球拍共用了幅羽毛球拍共用了480元，问每个篮球和每幅元，问每个篮球和每幅 羽毛球各多少钱？羽毛球各多少钱？例例3、张强与李毅二人分别从相距张强与李毅二人分别从相距 20 千米的两地出发，相向而行。如千米的两地出发，相向而行。如果张强比李毅早出发果张强比李毅早出发 30 分钟，那分钟，那么在李毅出发后么在李毅出发后 2 小时，他们相遇；小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么如果他们同时出发，那么 1 小时后小时后两人还相距两人还相距 11 千米。求张强、李毅千米。求张强、李毅每

4、小时各走多少千米？每小时各走多少千米？2y千米千米张强张强2.5小时走的路程小时走的路程李毅李毅2小时走的路程小时走的路程11千米千米 0.5x千米千米2x千米千米(1)ABx千米千米y千米千米(2)AB解：设该队胜了解：设该队胜了x x场，平了场，平了y y场场根据题意，有根据题意，有x+y=8x+y=83x+y=203x+y=20解这个方程组，得解这个方程组，得x=6x=6y=2y=2经检验，符合题意。经检验，符合题意。答：该队胜了答：该队胜了6 6场，平了场，平了2 2场场 4. 甲对乙说：甲对乙说：“我若是你现在的年龄时，我若是你现在的年龄时，你那时的年龄是我现在的年龄的一半，当你那时

5、的年龄是我现在的年龄的一半，当你到我现在的年龄时，那时我们的年龄之你到我现在的年龄时，那时我们的年龄之和是和是63岁岁”。问甲、乙现在各多少岁？。问甲、乙现在各多少岁？分析：设甲现在X，乙现在Y。甲乙我我Y时，你呢？时，你呢？我是我是Y的一半的一半我是我是X时，你呢？时，你呢？我是（我是（63-X）、某农场用库存化肥给麦田施肥，、某农场用库存化肥给麦田施肥，若每亩施肥若每亩施肥6千克，就千克，就缺缺少少化肥化肥200千克千克；若每亩施肥若每亩施肥5千克，又千克，又剩余剩余300千克千克。问该。问该农场有多少麦田？库存化肥多少千克？农场有多少麦田？库存化肥多少千克？ 设麦田设麦田x亩，库存化肥亩

6、，库存化肥y千克千克。实际施肥实际施肥 （6x) 库存化肥库存化肥 缺少缺少化肥化肥200千克千克 = +实际施肥实际施肥 （5x) 库存化肥库存化肥 剩余剩余300千克千克 = -例例2、用白铁皮做罐头盒。每张铁皮可制盒身、用白铁皮做罐头盒。每张铁皮可制盒身16个，或制盒底个，或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有150张白铁张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以刚好配套可以刚好配套？例例5、用白铁皮做罐头盒。、用白铁皮做罐头盒。每张铁皮可制盒身每张铁皮可制盒身16个个，或制盒底或制盒底43个个

7、，一个盒身与两个盒底配成一套一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。罐头盒。现有现有150张张白铁白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以刚好配套可以刚好配套？ 设用设用x张制盒身，用张制盒身，用y张制盒底。张制盒底。制盒身、盒底张数制盒身、盒底张数 = 150张张盒身个数盒身个数 （16x) 个数盒底个数盒底(43y)2 =例例3、汽车从甲地到乙地，若每小时行使、汽车从甲地到乙地，若每小时行使45千米，就要延误千米，就要延误0.5小时到达；若每小时行使小时到达；若每小时行使50千米，就可提前千米，就可提前0.5小时到达。小时到达。求：甲乙两地间的距离及原计划行使

8、的时间。求：甲乙两地间的距离及原计划行使的时间。例例3、汽车从甲地到乙地，若每小时行使、汽车从甲地到乙地，若每小时行使45千米，就要千米，就要延误延误0.5小时到达；若每小时行使小时到达；若每小时行使50千米，就可千米，就可提前提前0.5小时到达。小时到达。求：甲乙两地间的距离及原计划行使的时间。求：甲乙两地间的距离及原计划行使的时间。 设甲乙相距设甲乙相距x千米，原计划行使千米，原计划行使y小时。小时。实际时间实际时间 延误时间（延误时间（0.5小时小时） 计划时间（计划时间（y小时小时）实际时间实际时间 提前时间（提前时间（0.5小时）小时） 计划时间（计划时间（y小时小时） - = +

9、=实际时间实际时间=甲乙两地间的距离甲乙两地间的距离 / 速度速度列二元一次方程组解应用题的一般步骤：列二元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）审题，弄清题中的数量关系）审题，弄清题中的数量关系（2）设两个未知数，并用含未知）设两个未知数，并用含未知 数的式子表示各自相关的量数的式子表示各自相关的量（3）根据题中的等量关系列方程组）根据题中的等量关系列方程组（4）解方程组，求出未知数的值）解方程组，求出未知数的值（5）检验解的正确性和合理性，）检验解的正确性和合理性， 写出答案写出答案5. 甲、乙二人相距甲、乙二人相距6km，二人同时出发。，二人同时出发。同向而行，甲同向而行，甲3小时可追上乙

10、；相向而行，小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。二人的平均速度各是多少？小时相遇。二人的平均速度各是多少？6km（1）甲）甲3小时行驶路程小时行驶路程=乙乙3小时行驶小时行驶+6（2）甲）甲3小时行驶小时行驶+乙乙3小时行驶小时行驶=6A型号型号1800元元/部部B型号型号600元元/部部C型号型号1200元元/部部 “新科新科”通讯器材商场通讯器材商场, ,计划用计划用6 6万元从厂家购进若干种新型手机万元从厂家购进若干种新型手机, ,以满足市场的需求以满足市场的需求, ,已知该厂家生产已知该厂家生产A A、B B、C C三种不同的手机三种不同的手机, ,出厂价出厂价如右图所示：如右图所示：

11、若商场同时购进其中两种不同型的若商场同时购进其中两种不同型的手机手机4040部，并将部，并将6 6万元恰好用完。万元恰好用完。请你研究一下进货方案。请你研究一下进货方案。C型号型号1200元元/部部选择选择A型和型和B型两种型两种选择选择A型和型和C型两种型两种选择选择B型和型和C型两种型两种A型号型号1800元元/部部B型号型号600元元/部部选择选择A型和型和B型两种型两种解：设解：设A型手机购进型手机购进x部，部， B型手机购进型手机购进y部部， 由题意得由题意得： 40180060060000 xyxy由由得：得：3x+y=100 - 得：得：2x=60 x=30 把把x=30代入代入

12、得：得：y=103010 xy即即A型手机购买型手机购买30部，部，B型手机购买型手机购买10部。部。选择选择A型和型和C型两种型两种解：设解：设A型手机购进型手机购进x部，部， C型手机购进型手机购进y部部， 由题意得由题意得： 401800120060000 xyxy由由得：得：3x+2y=100 - 2得：得：x=20 把把x=20代入代入得：得：y=202020 xy即即A型手机购买型手机购买20部，部，C型手机购买型手机购买20部。部。问题问题1 1：化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油：化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩；游戏时，彩，女生脸上涂红色油彩；游戏时，每每个男生都

13、看见个男生都看见涂红色的人数是涂蓝色人涂红色的人数是涂蓝色人数的数的2 2倍，而倍，而每个女生都看见每个女生都看见涂蓝色的人涂蓝色的人数是涂红色人数的数是涂红色人数的 ，你能求出晚会上，你能求出晚会上有多少男生？多少女生吗？有多少男生？多少女生吗？53男生看：涂红色人数指_ 涂蓝色人数指_女生看：涂蓝色人数指_ 涂红色人数指_女生人数男生人数1男生人数女生人数1问题问题1 1：化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油：化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩；游戏时，每彩，女生脸上涂红色油彩；游戏时，每个男生都看见个男生都看见涂红色的人数是涂蓝色人涂红色的人数是涂蓝色人数的数的2 2倍，而倍，而

14、每个女生都看见每个女生都看见涂蓝色的人涂蓝色的人数是涂红色人数的数是涂红色人数的 ，你能求出晚会上，你能求出晚会上有多少男生？多少女生吗？有多少男生？多少女生吗？5353解：设男生有x人，女生有y人，根据题意有y=2（x1）x= （y1）解这个方程组，得：x=9y=16经检验，符合题意答：男生有9人，女生有16人。53 如图如图8.3-2，长青化工厂与，长青化工厂与A，B两地有公两地有公路、铁路相连。这家工厂从路、铁路相连。这家工厂从A地购买一批地购买一批每吨每吨1000元的原料元的原料运回工厂，制成运回工厂，制成每吨每吨8000元的元的产品产品运到运到B地。公路运价为地。公路运价为1.5元元

15、/（吨（吨千米），千米），铁路运价为铁路运价为1.2元元/（吨（吨千米），千米），这两次运输这两次运输共支出公路运费共支出公路运费15000元元，铁路运费，铁路运费97200元元。这批产品的销售款比原料费与运输费的和多这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？多少元？分析：销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关。设产品重x吨，原料重y吨。根据题中数量关系填写下表。1.520 x1.510y1.5（20 x+10y）1.2110 x1.2120y1.2（110 x+120y）8000 x1000y题目所求数值是为此需先解出与产品销售款产品销售款 （原料费（原料费+运输费）运输费）产品重（

16、产品重（x）原料重（原料重（y） 由上表，列方程组1.5（20 x+10y）=150001.2（110 x+120y）=97200解这个方程组，得x = y = 300400 因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 元1887800 解：设产品重x吨，原料重y吨，则1.5（20 x+10y）=150001.2（110 x+120y）=97200解这个方程组，得x = 300y = 400 8000 x （1000y+15000+97200）=8000 300（1000400+15000+97200）=1887800（元）答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和1887800元。 从以上探

17、究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具。列出方程组要根据问题中的数量关系，解出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义。 最近几年，全国各地普遍出现了夏季用电紧张最近几年，全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面，为疏导电价矛盾，促进居民节约用电、的局面，为疏导电价矛盾，促进居民节约用电、合理用电，各地出台了峰谷电价试点方案。合理用电，各地出台了峰谷电价试点方案。 电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象比喻功率负荷特性的变化幅度。一般白天的用电比喻功率负荷特性的变化幅度。一般白天的用电比较集中、用电功率大，而夜里人们休息时用电比较集

18、中、用电功率大，而夜里人们休息时用电比较小，所以通常白天的用电称为是高峰用电，比较小，所以通常白天的用电称为是高峰用电，即即8：0022：00，深夜的用电是低谷用电即，深夜的用电是低谷用电即22：00次日次日8：00。 若某地的高峰电价为每千瓦时若某地的高峰电价为每千瓦时0.56元；低谷元；低谷电价为每千瓦时电价为每千瓦时0.28元。八月份小明家的总用电元。八月份小明家的总用电量为量为125千瓦时，总电费为千瓦时，总电费为49元，你知道他家高元，你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？设他家高峰用电量x千瓦时和低谷用电量y千瓦时相等关系：高峰用电

19、量+低谷用电量=总用电量（千瓦时）几个数量：高峰电价为每千瓦时0.56元；低谷电价为每千瓦时0.28元。小明家总用电量为125千瓦时，总电费为49元x + y = 125高峰电费+低谷电费=总电费（元）0.56x + 0.28y = 49解解：设小明家高峰用电量为：设小明家高峰用电量为x千瓦时，低谷千瓦时，低谷用电量为用电量为y千瓦时，则千瓦时，则 x + y = 125 0.56x + 0.28y = 49 x = 50y = 75解得答：小明家高峰用电量为50千瓦时，低谷用电量为75千瓦时。你忘记检验了吧！练习练习1：一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备：一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备用

20、汽车公司的甲乙两种货车，已知过去两次租用汽车公司的甲乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的记录如下表所示。用这两种货车的记录如下表所示。 这批蔬菜需租用这批蔬菜需租用5辆甲种货车、辆甲种货车、2辆乙种辆乙种货车刚好一次运完，如果每吨付货车刚好一次运完，如果每吨付20元运费元运费问：菜农应付运费多少元？问：菜农应付运费多少元？答：要刚好一次运完，菜农应答：要刚好一次运完，菜农应付运费付运费500元。元。 练习练习2：为引导公民节约用水，合理利用资：为引导公民节约用水，合理利用资源，各地采用了价格调控手段。某地规定如源，各地采用了价格调控手段。某地规定如下用收费标准：每户每月的用水不超过下用收费

21、标准：每户每月的用水不超过10吨，吨，每吨按每吨按a元收费；超过元收费；超过10吨，超过的部分每吨，超过的部分每吨按吨按b元收费。小明家元收费。小明家7、8两月份的用水记两月份的用水记录如下：录如下：根据以上信息，你能求出根据以上信息，你能求出a、b的值吗？的值吗？解：依题意得解：依题意得 10a +（12 - 10）b = 15 10a +（16 - 10）b = 21 解得解得 a = 1.2 b = 1.5答：答：a = 1.2 ，b = 1.5注：题目中已有注：题目中已有a、b，不必再设，不必再设你会了吗？ 某学校现有学生数某学校现有学生数1290人，与去年人，与去年相比，男生增加相比

22、，男生增加20%，女生减少，女生减少10%，学生总数增加，学生总数增加7.5%，问现在，问现在学校中男生、女生各是多少？学校中男生、女生各是多少？ 友情提示：可要想清楚了，到底设的是什么？解得解得 x=840 y=450解法一：设现在学校中男生有x人、女生有 y人，则x+y=1290 x y 12901+20% 1 10% 1+7.5% + = 答：现在学校中男生有答：现在学校中男生有840人、人、女生有女生有450人。人。（1+20% ）x+（ 1 10% ）y = 1290 1290 1+7.5%解法二：设去年学校中男生有x人、女生有 y人，则 x + y = 解得解得 x=700 y=5

23、00（1+20% ）x=840，（ 1 10% ）y=450答：现在学校中男生有答：现在学校中男生有840人、女生有人、女生有450人。人。 请试一试：某瓜果基地生产一种特色水果，请试一试：某瓜果基地生产一种特色水果，若在市场上若在市场上直接销售，每吨利润为直接销售，每吨利润为1000元元；经经粗加工后销售，每吨利润增为粗加工后销售，每吨利润增为4500元元；经精加经精加工后销售，每吨利润可达工后销售，每吨利润可达7500元元。一食品公司一食品公司收购到这种水果收购到这种水果140吨吨，准备加工后上市销售。，准备加工后上市销售。该公司的加工能力是：该公司的加工能力是：每天可以精加工每天可以精加

24、工6吨或吨或者粗加工者粗加工16吨吨，但两种加工方式不能同时进行。但两种加工方式不能同时进行。受季节等条件限制，公司必须在受季节等条件限制，公司必须在15天内天内将这批将这批水果全部销售或加工完毕，为此公司研制了三水果全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行的方案：种可行的方案： 方案一：将这批水果全部进行粗加工方案一：将这批水果全部进行粗加工 方案二：尽可能多对水果进行精加工，没来方案二：尽可能多对水果进行精加工，没来得及加工的水果在市场上销售；得及加工的水果在市场上销售； 方案三：将部分水果进行精加工，其余进行方案三：将部分水果进行精加工，其余进行粗加工，并恰好粗加工，并恰好15天完成。

25、天完成。 你认为选择那种方案获利最多？为什么？你认为选择那种方案获利最多？为什么？按方案三所获得的利润为：设共精加工了x吨，粗加工了y吨，于是有 x+ y =140 解得 x=60 x y y=80 6 16则方案三所获得的利润为60 7500 + 80 4500 = 810000（元）解：方案一获得的利润为：解：方案一获得的利润为：4500140=630000（元）（元）方案二所获得的利润为：6157500+（140615）1000 = 725000（元） + = 15 综上所述，按方案三所获得的利润最多。 (2004，黄冈，黄冈)已知某电脑公司有已知某电脑公司有A型、型、B型、型、C型三种

26、型号的电脑，其价格分别为型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台型每台6000元，元，B型每台型每台4000元，元，C型型每台每台2500元。我市东坡中学计划将元。我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共其中两种不同型号的电脑共36台，请你台，请你设计出几中不同的购买方案供该校选择，设计出几中不同的购买方案供该校选择，并说明理由。并说明理由。)(75.5775.213610050040006000BA1不合题意，舍去程组：型电脑，依题意可列方型电脑和）只购进（yxyxyx333,36,10050025006000CA2zxzxzx解得：组型电脑，依题意列方程型电脑和）只购进（.297,36,10050025004000CB3zyzyzx解得：型电脑，依题意可得型电脑和）只购进（某工厂去年的得润某工厂去年的得润(总产值总产值-总支出总支出)为为200万万元，今年总产值比去看增加了元，今年总产值比去看增加了20%，总支出，总支出比去年减少了比去年减少了10%，今年的利润为，今年的利润为780万元。万元。去年的总产值、总支出各是多少万元？去年的总产值、总支出各是多少万元？780(1-10%)y(1+20%