高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式课时提升作业（含解析）新人教A版选修4-5

1、用数学归纳法证明不等式举例课时提升作业一、选择题（每小题6分，共18分)1.用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+12nn2+1对于nn0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()a.2b.3c.5d。6【解析】选c。当n4时，2n5）时命题成立【解析】选c.由题意知n5,nn+，所以应假设n=k(k5)时命题成立.3。(2016长春高二检测)证明1+12+13+12n-1n2（nn*),假设当n=k时成立，当n=k+1时,左端增加的项数为(）a.1项b。k-1项c.k项d。2k项【解析】选d。当n=k时,不等式左端为1+12+13+12k-1,当n=k+1时，不等式左端为1+

2、12+13+12k-1+12k+12k+1-1，左端增加了12k+12k+1-1，共2k项。二、填空题(每小题6分，共12分)4.用数学归纳法证明“2n+1n2+n+2（nn+)时，第一步的验证为_.【解析】当n=1时，21+112+1+2，即44成立.答案：21+112+1+25。（2016南昌高二检测）已知1+23+332+433+n3n1=3n(nab)+c对一切nn*都成立,则a=_，b=_，c=_。【解析】当n=1时，3a3b+c=1,当n=2时，18a9b+c=7,当n=3时，81a27b+c=34，解得,a=12，b=c=14。答案：121414三、解答题(每小题10分,共30分

3、)6.（2016广州高二检测)证明:1+122+132+1n23n2n+1(nn*)。【证明】（1)当n=1时,不等式为11,显然成立。（2)假设当n=k时不等式成立,即1+122+132+1k23k2k+1.那么，当n=k+1时,1+122+132+1k2+1(k+1)23k2k+1+1(k+1)2，而3k2k+1+1(k+1)2-3k+32k+3=3k(k+1)2(2k+3)+(2k+1)(2k+3)-(3k+3)(2k+1)(k+1)2(2k+1)(k+1)2(2k+3)=k2+2k(2k+1)(k+1)2(2k+3)0,即3k2k+1+1(k+1)23k+32k+3，所以1+122+1

4、32+1k2+1(k+1)23(k+1)2(k+1)+1,即当n=k+1时不等式也成立。综合（1)(2）得,不等式对一切正整数n都成立。7.（2016济南高二检测)求证:1n+1+1n+2+1n+3+13n56(n2，nn+).【解题指南】本题由n=k到n=k+1时的推证过程中,n=k时，首项是1k+1,尾项是13k,分母是从k+1开始的连续正整数,因而当n=k+1时,首项应为1k+2，尾项是13(k+1),与n=k时比较，13k后面增加13k+1,13k+2,13k+3共三项,而不只是增加13(k+1)一项，且还减少了一项1k+1。【证明】（1)当n=2时，左边=13+14+15+16=57

5、6056,不等式成立。(2)假设n=k(k2,kn+)时,不等式成立,即1k+1+1k+2+13k56,则当n=k+1时,1(k+1)+1+1(k+1)+2+13k+13k+1+13k+2+13k+3=1k+1+1k+2+13k+13k+1+13k+2+13k+3-1k+156+13k+1+13k+2+13k+3-1k+156+13k+3+13k+3+13k+3-1k+1=56+33(k+1)-1k+1=56.所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)，知原不等式对一切n2且nn+都成立。8.数列an满足sn=2nan（nn+)。(1）计算a1,a2，a3,a4，并由此猜想通项公式an。

6、(2）用数学归纳法证明(1)中的猜想。【解析】(1）a1=1,a2=32,a3=74,a4=158,由此猜想an=2n-12n-1(nn+)。（2）当n=1时，a1=1,结论成立.假设n=k（k1)时，结论成立，即ak=2k-12k-1,那么当n=k+1时，ak+1=sk+1-sk=2（k+1）ak+12k+ak=2+akak+1.所以2ak+1=2+ak,所以ak+1=2+ak2=2+2k-12k-12=2k+1-12k.这表明当n=k+1时,结论成立。所以an=2n-12n-1(nn+）。一、选择题（每小题5分,共10分)1。用数学归纳法证明:1+12+13+12n-11)第一步验证n=2

7、时,左边的项为（）a.1b。1+12c。13d。1+12+13【解析】选d.当n=2时,左边最后一项为122-1=13,所以左边的项为1+12+13.2.(2016济南高二检测)已知数列an的前n项和为sn,且sn=2nan(nn),若已经算出a1=1,a2=32,则猜想an=()a.2n-1nb。n+1nc。2n-12n-1d。2n-12n-1【解析】选d。因为a1=1，a2=32,由s3=1+32+a3=6a3,所以a3=74，同理，a4=158.猜想,得an=2n-12n-1。二、填空题（每小题5分，共10分）3。（2016太原高二检测）在abc中,不等式1a+1b+1c9成立;在四边形

8、abcd中,不等式1a+1b+1c+1d162成立;在五边形abcde中,不等式1a+1b+1c+1d+1e253成立。猜想在n边形a1a2an中，类似成立的不等式为_.【解析】由题中已知不等式可猜想:1a1+1a2+1a3+1ann2(n-2)(n3且nn*）.答案：1a1+1a2+1a3+1ann2(n-2)（n3且nn*)4。设a,b均为正实数,nn+，已知m=（a+b)n,n=an+nan1b,则m,n的大小关系为_提示:利用贝努利不等式,令x=ba。【解析】由贝努利不等式（1+x)n1+nx（x1,且x0，n1，nn+），知当n1时,令x=ba,所以1+ban1+nba，所以a+ba

9、n1+nba,即(a+b)nan+nan1b,当n=1时,m=n,故mn.答案:mn三、解答题（每小题10分，共20分)5。（2016苏州高二检测）已知函数f（x）=13x3-x,数列an满足条件:a11,且an+1f（an+1），证明：an2n-1（nn+）.【证明】由f(x）=13x3-x,得f（x）=x2-1。因此an+1f(an+1)=（an+1)21=an(an+2).（1）当n=1时,a11=211,不等式成立.（2）假设当n=k（k1）时，不等式成立，即ak2k-1。当n=k+1时，ak+1ak（ak+2）（2k-1)(2k-1+2)=22k-1。又k1,所以22k2k+1,所以

10、当n=k+1时,ak+12k+11,即不等式成立。根据（1）和(2）知，对任意nn+,an2n-1都成立.6.在数列an中，a1=2，an+1=an+2n+1（nn+)。（1)求证an-2n为等差数列.（2）设数列bn满足bn=2log2(an+1n).(nn+）证明：1+1b11+1b21+1b31+1bnn+1(nn+）。【证明】（1)由an+1=an+2n+1得(an+12n+1）（an2n）=1，因此an-2n是等差数列.(2）an-2n=（a12）+(n1）=n1，即an=2n+n1,bn=2log2（an+1-n)=2n.下面用数学归纳法证明3254762n+12nn+1。当n=1

11、时，左端=322=右端，不等式成立；假设n=k(k1)时不等式成立，即3254762k+12kk+1，当n=k+1时,3254762k+12k2k+32(k+1)k+12k+32(k+1)=(2k+3)24(k+1)=k+24k2+12k+94k2+12k+8k+2.由知不等式3254762n+12nn+1对于一切nn+都成立。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。this article is collected and compiled by my colleagues and i in our busy schedule. we proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. if there are omissions, please correct them. i