高等代数期末复习习题集

1、高等代数期末复习习题集1. 证明下述多项式在qx中不可约： 3x 5 8x 3+ 6x 2 +2x 10， x 6 + x 3+ 1， x 4 x 3 + 2x + 1， x p px + 1，其中p是奇素数2. 设f (x)zx，a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4是互不相同的整数如果f (a 1) = f (a 2) = f (a 3) = f (a 4) = 1，证明：对任何整数n，f (n) 1都不是素数3. 设f (x) = (xa 1) (xa 2) (xa n) 1，其中a 1， a 2，a n是互不相同的整数证明：f (x)在qx中不可约4. 求下列多项式的所有的有理根 x 3

2、 6 x 2 + 15 x14， 3 x 4 +5 x 3 + x 2 +5 x25. 证明：是无理数，其中是两两互异的素数.6. 设是一个整系数多项式，证明：若都是奇数，则不能有整数根.7. 设为整系数多项式，若均为奇数，且与中至少有一个为奇数，则没有有理根.8. 设f是数域，.求（, ），并求使 .9. 设f为5元域，. 求（,），并求使.10. 证明：如果，且则是与的一个最大公因式. 11. 证明：1） ，其中h的首项系数为1；2) ；3) 若，则；4) 若，则n；5) 若，则，其中等均为fx的多项式.12设fi(x) fx，i = 1，2，n，证明：( f1，f2，fn) = ( f1

3、，f2，fn-1)，fn)，且存在ui(x) fx，i = 1，2，n，使( f1，f2，fn) = u1 f1 + u2 f2 + + un fn .13. 求下述多项式的标准分解式（系数域分别为有理数域、实数域或复数域）：（1）（2）14 证明：.15. 设是fx中次数大于零的多项式. 若对任意，fx，只要就有或，则为不可约.16. 求出3元域z3上的一切二次不可约多项式.17. 设数域f上的不可约多项式是的重因式，证明：（1）不一定是的因式；（2）若，则是的重因式.18. 判断数域上的多项式有无重因式. 若有，试求出它的重数.19. 用综合除法的计算:（1） ； （2） . 20. 判断

4、5是不是多项式的根，如果是的话，是几重根？21. 将表成的方幂和：（1）（2）.22. 证明：是的重根，而23. 证明：不能有不为零的重数大于2的根.24. 证明：sin x不能表为一个多项式.25. 设f (x)rx，并且deg (f (x) 为奇数证明：f (x) 必定有实根26. 设f (x)，g (x)fx，如果在cx中，f (x)，g (x)没有公共的复的根，证明：在fx中f (x)与g (x)互素27. 设cf，c不为零，设f (x)fx，并且deg( f (x)1如果b是f (x)的一个根，则bc也是 f (x)的根，证明：存在自然数k，使得c k = 128*. 设f (x)q

5、x，a，bq，并且b不是一个有理数的平方证明：如果在rx中，a +是f (x)的一个实根，则a也是f (x)的一个实根29. （韦达定理） 设f (x) = an x n + an1 x n-1 + + a2 x 2 + a1 x + a0 ，f (x) fx，其中an 0，如果f (x)在f中有n个根（重根按重数计算），它们是：b1 ，b2 ， ，bn 证明： = (1) s bb b 30. 证明下述多项式在qx中不可约： 3x 5 8x 3+ 6x 2 +2x 10， x 6 + x 3+ 1， x 4 x 3 + 2x + 1， x p px + 1，其中p是奇素数31. 设f (x)

6、zx，a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4是互不相同的整数如果f (a 1) = f (a 2) = f (a 3) = f (a 4) = 1，证明：对任何整数n，f (n) 1都不是素数32. 设f (x) = (xa 1) (xa 2) (xa n) 1，其中a 1， a 2，a n是互不相同的整数证明：f (x)在qx中不可约33. 求下列多项式的所有的有理根 x 3 6 x 2 + 15 x14， 3 x 4 +5 x 3 + x 2 +5 x234. 证明：是无理数，其中是两两互异的素数.35. 设是一个整系数多项式，证明：若都是奇数，则不能有整数根.36. 设为整系数多项式，若均

7、为奇数，且与中至少有一个为奇数，则没有有理根.37. 设矩阵a() = diag (d 1 ()，d 2 ()，d 3 ()，d 4 ()，d 5 () )如果 d j () | d j+1 ()，j = 1，2，3，4，求a()的3阶行列式因子38. 设矩阵 12 2 +4 a() =2 +343242 +3 5 2+232132 +23将a() 写成a 22 +a 1 + a 0的形式，其中a 0，a 1，a2都是数字矩阵将(a() 2 也写成上述形式39. 求jordan块j ( 0 , n )的平方的特征多项式的各阶行列式因子40. 求a的特征多项式的不变因子组， a = ， a = 41. 求a()的标准形 2 00 a() =2 +71 +11 323