2.1无穷小的比较ppt课件

1、1无穷小的比较无穷小的比较利用等价无穷小替换求极限利用等价无穷小替换求极限2.6 无穷小的比较无穷小的比较第第2 2章章 极限与连续极限与连续2如如, ,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx,0时时当当 x00sinxx与与不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 观察各极限观察各极限是无穷小是无穷小., x,2x,sin xxx1sin2一、无穷小的比较一、无穷小的比较不存在不存在.极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢程度不同快慢程度不同.要快得多要快得多;快慢相仿快慢相仿;0302xx比比2.6 无穷小的比较无穷小的比较3定义

2、定义2.102.10,lim)2( 如果如果),0(lim)3( CC 如如果果, 0lim)1( 如如果果,1,时时当当特特别别 C 是是比比就就说说);( o 记作记作是是与与就说就说 是是与与则则称称 . 记作记作 infinitesimal equivalenec是同一过程中的两个无穷小是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小高阶的无穷小; ;低阶的无穷小低阶的无穷小; ;同阶无穷小同阶无穷小; ;等价无穷小等价无穷小, , ,设设. 0 且且 是比是比就说就说2.6 无穷小的比较无穷小的比较4Ck lim)4(如如果果的的是是关关于于就就说说 ),0, 0( kC如如,时时 n;112

3、 non的的是是nn112高阶无穷小高阶无穷小,时时 x的的是是xx1001同阶无穷小同阶无穷小.因为因为20cos1limxxx 的的是是xxcos1 ,0时时所所以以当当 x二阶无穷小二阶无穷小.2,21 21 k 阶无穷小阶无穷小.2.6 无穷小的比较无穷小的比较5常用等价无穷小常用等价无穷小,sinxx,tanxx,arctanxx,)1ln(xx ,1exx .21cos12xx ,arcsinxx时时当当0 x,111xnx n,ln1axax 2.6 无穷小的比较无穷小的比较6例例解解.tan4 ,0:3的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时当当证证明明xxxx xxx30tan4li

4、m30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时故故当当xxxx 例例.sintan,0的的阶阶数数关关于于求求时时当当xxxx 解解xxxsintanlim0 xxxtan(lim0,21 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 4x?x3x)cos12xx )0( CC21cos1lim20 xxx),0, 0(lim kCCk 如如果果的的是是关关于于就就说说 k 阶无穷小阶无穷小.2.6 无穷小的比较无穷小的比较7定理定理2.192.19证证, lim 1lim lim ,0 ).( o 即即),( o lim. )(limo )(1

5、limo, 1 因而因而设设那那么么1 因而因而 ),( o设设那那么么 与与二、利用等价无穷小替换求极限二、利用等价无穷小替换求极限是等价无穷小的充要条件为是等价无穷小的充要条件为).( o 主要部分主要部分的的是是 2.6 无穷小的比较无穷小的比较8 .)( o x,0,时时当当例例如如xx此定理说明此定理说明: :或者说或者说, , )( o , x,x. x322xx 两个等价无穷小的差两个等价无穷小的差, ,的任何一个都是高阶无穷小的任何一个都是高阶无穷小; ;比它们中比它们中x 一个无穷小一个无穷小与它的高阶无穷小与它的高阶无穷小)( o之和之和, ,仍与原无穷小仍与原无穷小 等价

6、等价. .xsin2x 2.6 无穷小的比较无穷小的比较9例例 xsin xcos1,0时时当当 x,sinxx,tanxx,21cos12xx 所以所以时有时有当当0 x xtan所以所以时有时有当当0 x所以所以时有时有当当0 x),(xox ),(xox ).(2122xox 所以所以时有时有当当0 x )( o ,arcsinxx xarcsin),(xox 2.6 无穷小的比较无穷小的比较10定理定理2.202.20, 设设证证 lim lim( lim lim),(lim 或或且且A lim则则 ) lim lim ).(lim 或或A (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理).(

7、 或或A112.6 无穷小的比较无穷小的比较11例例.5sin2tanlim0 xxx求求解解,0时时当当 x 原式原式等价无穷小替换定理说明等价无穷小替换定理说明, ,两个无穷小之两个无穷小之比的极限比的极限, ,可由它们的等价无穷小之比的极限可由它们的等价无穷小之比的极限替代替代. .给给 型未定式的极限运算带来方便型未定式的极限运算带来方便. .00,22tanxx,55sinxx xxx52lim0.52 002.6 无穷小的比较无穷小的比较12考研数学一至四考研数学一至四(选择选择4分分)解解,0 时时当当 x221cos1xx x与与等价的无穷小量是等价的无穷小量是.e1)A(x

8、.11ln)B(xx . 11)C( x.cos1)D(x xx1e xnx111 nxx )1ln( 2.6 无穷小的比较无穷小的比较13考研数学考研数学(一一)填空填空4分分 xxxxcos1)1ln(lim0解解,0时时当当 x,21cos12xx 原原式式 2lim20 xxxx22注注加、减项的无穷小不要用等价无穷小加、减项的无穷小不要用等价无穷小代换代换.xx )1ln( 2.6 无穷小的比较无穷小的比较14例例xxxx2sinsintanlim30 求求解解 原式原式. 0 正确解正确解,0时时当当 x xxsintan,213x,22sinxx 原式原式.161 错错 ,0时时

9、当当 x,tanxx,sinxx30)2(limxxxx )cos1(tanxx 330)2(21limxxx2.6 无穷小的比较无穷小的比较15例例xxxx3sin1cos5tanlim0 求求解解 x5tan x3sin xcos1 原式原式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 ),(5xox ),(3xox ).(2122xox )( o ,sinxx,tanxx221cos1xx 0limx)(5xox )(2122xox )(3xox x分母同除以分母同除以分子分子,2.6 无穷小的比较无穷小的比较16xxxxkxxxcosarcsin1)()(,02 与与时

10、时当当解解20cosarcsin1limkxxxxx 考研数学考研数学(二二)填空填空4分分43 k则则是是等等价价无无穷穷小小,)00(1 )cosarcsin1(cosarcsin1lim20 xxxkxxxxx 20cosarcsin1lim21xxxxkx k43 1 .43 kcos1limarcsinlim212020 xxxxxkxx )211(21 k分子有理化分子有理化2.6 无穷小的比较无穷小的比较17利用无穷小的传递性利用无穷小的传递性,把常见的等价无穷小把常见的等价无穷小作一个归纳作一个归纳,;21cos12xx xxsin,0时时当当 xxtan; 1e xxarcs

11、inxarctan)1ln(x ;111xnx n.ln1axax 以便于记忆和应用以便于记忆和应用.2.6 无穷小的比较无穷小的比较18差函数中常用的等价无穷小有差函数中常用的等价无穷小有:.212xsinxx ,0时时当当 xarcsinxx arctan xx )1ln(xx sintanxx ,213x,613xtanxx ,313x,613x,313x2.6 无穷小的比较无穷小的比较19sinxx ,0时时当当 xarctan xx 361x331x考研数学二考研数学二(填空填空4分分) 30sinarctanlimxxxx61 解解30sinarctanlimxxxx 30limx

12、x xarctan xxsin x 30arctanlimxxxx 30sinlimxxxx 31 61 .61 2.6 无穷小的比较无穷小的比较20研究生入学考试数学研究生入学考试数学(三三, 四四)填空题填空题(4分分).(),(, 5)(cosesinlim0 babxaxxx则则若若14 解解 因为分子中的因为分子中的, 0sinlim0 xx所以分母的所以分母的0)e (lim0 axx故故; 1 a因而因而)(cosesinlim0bxaxxx )(cos1esinlim0bxxxx )(coslim0bxx 5 所以所以51 b01 a. 4 bxx sinxx1e 时时当当0 x2.6 无穷小的比较无穷小的比较21高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 同阶同阶(等价等价)无穷小无穷小; 无穷小的阶无穷小的阶.三、小结三、小结反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.快慢快慢,求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件.1. 无穷小的比较无穷小的比较2. 等价无穷小的替换等价无穷小的替换 2.6 无穷小的比较无穷小的比较22思考题思考题任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？解答解答不能