2021年东北三省四市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

1、2021年东北三省四市高考数学二模试卷文科一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1复数z=1+2i，那么z=A34iB5+4iC3D52集合A=x|x22x30，B=x|2x2，那么AB=Ax|2x2Bx|2x3Cx|1x3Dx|1x23祖暅原理：“幂势既同，那么积不容异它是中国古代一个设计几何体体积的问题意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的A充分不必要条件B必要不充分

2、条件C充要条件D既不充分也不必要条件4直线x3y+3=0与圆x12+y32=10相交所得弦长为ABC4D35以下命题中错误的选项是A如果平面外的直线a不平行于平面内不存在与a平行的直线B如果平面平面，平面平面，=l，那么直线l平面C如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面D一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，那么必与另一个平面相交6数列an满足an+1an=2，a1=5，那么|a1|+|a2|+|a6|=A9B15C18D307平面内的动点x，y满足约束条件，那么z=2x+y的取值范围是A，+B，4C4，+D2，28函数fx=的图象大致为ABCD9某几何体的三视图如下图，那么其体积为A

3、4BCD10假设关于x的方程2sin2x+=m在0，上有两个不等实根，那么m的取值范围是A1，B0，2C1，2D1，11运行如下图的程序框图，那么输出的a、b、c满足AcbaBabcCacbDbca12对x0，8xlogax+1恒成立，那么实数a的取值范围是A0，B0，C，1D，1二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，那么后20名同学的平均成绩为14假设函数fx=exsinx，那么f0=15等比数列an中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，那么S4=16F

4、为双曲线ab0的左焦点，过点F且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，假设=，那么双曲线的离心率为三、解答题：本大题共5小题，共70分解答写出文字说明、证明过程或演算过程17点P，1，Qcosx，sinx，O为坐标原点，函数fx=求函数fx的最小正周期；假设A为ABC的内角，fA=4，BC=3，ABC的面积为，求ABC的周长18某厂商推出一款6吋大屏，现对500名该使用者进行调查，对进行打分，打分的频数分布表如表：女性用户：分值区间50，6060，7070，8080，9090，100频数2040805010男性用户分值区间50，6060，7070，8080，9090，100频数4575

5、906030完成以下频率分布直方图，并比拟女性用户和男性用户评分的波动大小不要求计算具体值，给出结论即可；根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，再从这20名用户中满足评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求2名用户评分都小于90分的概率19 如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，AD=AP=2，AB=2，E为棱PD的中点证明：PD平面ABE；求三棱锥CPBD外接球的体积20函数fx=axlnx1过原点O作函数fx图象的切线，求切点的横坐标；2对x1，+，不等式fxa2xx2恒成立，求实数a的取值范围21椭圆C： +y2=1a1，B1，B2分别是其上

6、、下顶点，椭圆C的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上求椭圆C的方程；过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是，0，求线段AB长的取值范围从22、23题中任选一题作答.选修4-4：坐标系与参数方程选讲22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为=4cos，直线l的参数方程为t为参数1求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；2假设曲线C2的参数方程为为参数，曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值选修4-5：不等式选讲2

7、3a0，b0，函数fx=|x+a|+|2xb|的最小值为11求证：2a+b=2；2假设a+2btab恒成立，求实数t的最大值2021年东北三省四市高考数学二模试卷文科参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1复数z=1+2i，那么z=A34iB5+4iC3D5【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法那么即可得出【解答】解：z=1+2i12i=12+22=5应选：D2集合A=x|x22x30，B=x|2x2，那么AB=Ax|2x2Bx|2x3Cx|1x3Dx|1x2【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式的

8、解集，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：x3x+10，解得：1x3，即A=x|1x3，B=x|2x2，那么AB=x|1x2应选：D3祖暅原理：“幂势既同，那么积不容异它是中国古代一个设计几何体体积的问题意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由pq，反之不成立即可得出【解答】解：由pq，反之不成立p是

9、q的充分不必要条件应选：A4直线x3y+3=0与圆x12+y32=10相交所得弦长为ABC4D3【考点】直线与圆相交的性质【分析】根据中圆的标准方程和直线的一般方程，代入圆的弦长公式，可得答案【解答】解：圆x12+y32=10的圆心坐标为1，3，半径r=，圆心到直线x3y+3=0的距离d=，故弦AB=2=，应选A5以下命题中错误的选项是A如果平面外的直线a不平行于平面内不存在与a平行的直线B如果平面平面，平面平面，=l，那么直线l平面C如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面D一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，那么必与另一个平面相交【考点】命题的真假判断与应用【分析】由空间中直线与平

10、面的位置关系逐一核对四个选项得答案【解答】解：如果平面外的直线a不平行于平面，那么a与相交，那么内不存在与a平行的直线，故A正确；如图：，=a，=b，=l，在内取一点P，过P作PAa于A，作PBb于B，由面面垂直的性质可得PAl，PBl，那么l，故B正确；如果平面平面，那么平面内的直线与平面有三种位置关系：平行、相交、异面，故C错误；一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，那么必与另一个平面相交，故D正确应选：C6数列an满足an+1an=2，a1=5，那么|a1|+|a2|+|a6|=A9B15C18D30【考点】数列的求和【分析】利用等差数列的通项公式可得an及其数列an的前n项和Sn令a

11、n0，解得n，分类讨论即可得出【解答】解：an+1an=2，a1=5，数列an是公差为2的等差数列an=5+2n1=2n7数列an的前n项和Sn=n26n令an=2n70，解得n3时，|an|=ann4时，|an|=an那么|a1|+|a2|+|a6|=a1a2a3+a4+a5+a6=S62S3=626623263=18应选：C7平面内的动点x，y满足约束条件，那么z=2x+y的取值范围是A，+B，4C4，+D2，2【考点】简单线性规划【分析】画出满足约束条件的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到目标函数的取值范围【解答】解：满足约束条件的平

12、面区域如以下图所示：由图可知解得A1，2当x=1，y=2时，目标函数z=2x+y有最大值4故目标函数z=2x+y的值域为，4应选：B8函数fx=的图象大致为ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象【分析】利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可【解答】解：函数fx=的定义域为：x0，xR，当x0时，函数fx=，可得函数的极值点为：x=1，当x0，1时，函数是减函数，x1时，函数是增函数，并且fx0，选项B、D满足题意当x0时，函数fx=0，选项D不正确，选项B正确应选：B9某几何体的三视图如下图，那么其体积为A4BCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】通过

13、三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以四棱锥的体积应选D10假设关于x的方程2sin2x+=m在0，上有两个不等实根，那么m的取值范围是A1，B0，2C1，2D1，【考点】正弦函数的图象【分析】把方程2sin2x+=m化为sin2x+=，画出函数fx=sin2x+在x0，上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时m的取值范围【解答】解：方程2sin2x+=m可化为sin2x+=，当x0，时，2x+，画出函数y=fx=sin2x+在x0，上的图象如下图；根据

14、方程2sin2x+=m在0，上有两个不等实根，得11m2m的取值范围是1，2应选：C11运行如下图的程序框图，那么输出的a、b、c满足AcbaBabcCacbDbca【考点】程序框图【分析】分析程序运行的功能是比拟a、b、c的大小并按大小顺序输出，写出运行结果即可【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是比拟a、b、c的大小并按大小顺序输出，程序运行后输出的是cba应选：A12对x0，8xlogax+1恒成立，那么实数a的取值范围是A0，B0，C，1D，1【考点】函数恒成立问题【分析】对任意的x0，总有8xlogax+1恒成立，那么在0x时，y=logax的图象恒在y=8x1的图象的上方，在同

15、一坐标系中，分别画出指数和对数函数的图象，由此能求出实数a的取值范围【解答】解：a0，11，+，当0x时，函数y=8x1的图象如以下图所示：对任意x0，总有8xlogax+1恒成立，那么y=logax的图象恒在y=8x1的图象的上方如图中虚线所示y=logax的图象与y=8x1的图象交于，1点时，a=，故虚线所示的y=logax的图象对应的底数a应满足a1应选：C二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，那么后20名同学的平均成绩为95【考点】众数、中位数、平均数【分析】设学号为31号到50号同学

16、的平均成绩为x，得到关于x的方程，解出即可【解答】解：设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，那么9250=9030+20x，解得：x=95，故答案为：9514假设函数fx=exsinx，那么f0=1【考点】导数的运算【分析】先求fx的导数，再求导数值【解答】解：fx=exsinx，fx=exsinx+exsinx=exsinx+excosx，f0=0+1=1故答案为：115等比数列an中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，那么S4=30【考点】等比数列的前n项和【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q0，2S

17、3=8a1+3a2，a4=16，2a11+q+q2=a18+3q，=16，解得a1=q=2那么S4=30故答案为：3016F为双曲线ab0的左焦点，过点F且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，假设=，那么双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A，B表示出来，再由条件可得A为FB的中点，运用中点坐标公式，可得a，b，c的关系，然后求双曲线的离心率【解答】解：设Fc，0，那么过F作斜率为1的直线为：y=x+c，而渐近线的方程是：y=x，由得：A，由得，B，假设=，可得A为FB的中点，可得c=2，化为b=3a，c=a，e=故答案为：

18、三、解答题：本大题共5小题，共70分解答写出文字说明、证明过程或演算过程17点P，1，Qcosx，sinx，O为坐标原点，函数fx=求函数fx的最小正周期；假设A为ABC的内角，fA=4，BC=3，ABC的面积为，求ABC的周长【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量的坐标表示与数量积运算求出fx，即可得出fx的最小正周期；根据fA=4求出A的值，再根据ABC的面积和余弦定理求出b+c的值，即可求出周长【解答】解：点P，1，Qcosx，sinx，=，1，=cosx，1sinx，函数fx=cosx+1sinx=3cosx+1sinx=sinx+cosx+4=2sinx+4；函数fx的最小

19、正周期为T=2；A为ABC的内角，fA=4，2sinA+4=4，sinA+=0，A+=，解得A=；又BC=a=3，ABC的面积为：S=bcsinA=bcsin=，解得bc=3；由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA=b2+c22bccos=b2+c2+bc=32=9，b2+c2=6；b+c2=b2+c2+2bc=6+6=12，b+c=2，ABC的周长为a+b+c=3+218某厂商推出一款6吋大屏，现对500名该使用者进行调查，对进行打分，打分的频数分布表如表：女性用户：分值区间50，6060，7070，8080，9090，100频数2040805010男性用户分值区间50，6060，70

20、70，8080，9090，100频数4575906030完成以下频率分布直方图，并比拟女性用户和男性用户评分的波动大小不要求计算具体值，给出结论即可；根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，再从这20名用户中满足评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求2名用户评分都小于90分的概率【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式【分析】求出各组的频率，划痕处频率分布直方图，再比拟即可，先求出评分是80分以上的人数，再分别求得评分落在区间80，90、90，100上的人数，即可求得2名用户评分都小于90分的概率【解答】解：对于女性用户，各小组的频率分别为：0.1，0.2，0.4

21、，0.25，0.05，其相对应的小长方形的高为0.01，0.02，0.04，0.025，0.005，对于男性用户，各小组的频率分别为：0.15，0.25，0.30，0.20，0.10，其相对应的小长方形的高为0.015，0.025，0.03，0.02，0.01，直方图如下图：，由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取2人，那么80，90分数段抽取4人，分别记为A，B，C，D，90，100分数段抽取1人，记为E，M 那么根本领件空间包含的根本领件有：A，B，A，C，A，D，A，E，B，

22、C，B，D，B，E，C，D，C，E，D，E，A，M，B，M，C，M，D，M，E，M共15种2名用户评分都小于90分的根本领件有：A，B，A，C，A，D，B，C，B，D，C，D共6种故2名用户评分都小于90分的概率P=19 如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，AD=AP=2，AB=2，E为棱PD的中点证明：PD平面ABE；求三棱锥CPBD外接球的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PD平面ABE三棱锥CPBD外接球即以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，由此

23、能求出三棱锥CPBD外接球的体积【解答】证明：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P0，0，2，D0，2，0，A0，0，0，B2，0，0，E0，1，1，=0，2，2，=2，0，0，=0，1，1，=0， =0，PDAB，PDAE，ABAE=A，PD平面ABE解：AD，AP，AB两垂直，底面ABCD为矩形，三棱锥CPBD外接球即以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，三棱锥CPBD外接球的半径R=3，三棱锥CPBD外接球的体积V=3620函数fx=axlnx1过原点O作函数fx图象的切线，求切点的横坐标；2对x1，+，不等式fxa2xx2恒成立，求实数a的取值范围【

24、考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】1通过设切点坐标，进而可写出切线方程，代入原点计算即得结论；2通过转化可知ax2xlnx对x1，+恒成立，分别设y1=ax2x，y2=lnx，利用x1，+可知a0再记gx=ax2axlnx，通过举反例可知当0a1时不满足题意进而转化为函数的最值问题，利用当x1时lnxx1恒成立放缩即得结论【解答】解：1设切点为Mx0，fx0，直线的切线方程为yfx0=kxx0，fx=a，k=fx0=a，即直线的切线方程为yax0+lnx0=axx0，又切线过原点O，所以ax0+lnx0=ax0+1，由lnx0=1，解得x0=e，所以

25、切点的横坐标为e2不等式axlnxa2xx2恒成立，等价于ax2xlnx对x1，+恒成立设y1=ax2x，y2=lnx，由于x1，+，且当a0时y1y2，故a0记gx=ax2axlnx，那么当0a1时，g3=6aln30不恒成立，同理x取其他值不恒成立当x=1时，gx0恒成立；当x1时，那么a恒成立，等价于问题转化为求hx=当x1时的最大值又当x1时，lnxx1xx1，即hx=1x1，综上所述：a121椭圆C： +y2=1a1，B1，B2分别是其上、下顶点，椭圆C的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上求椭圆C的方程；过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴

26、交于点N，点N的横坐标的取值范围是，0，求线段AB长的取值范围【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】由椭圆中B1，B2分别是其上、下顶点，椭圆C的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上得到b=c=1，由此能求出椭圆方程设直线l：y=kx+1，联立，得：2k2+1x2+4k2x+2k22=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、弦长公式，能求出线段AB长的取值范围【解答】解：椭圆C： +y2=1a1，B1，B2分别是其上、下焦点，椭圆C的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上b=c=1，a=，椭圆方程为=1设直线l：y=kx+1，联立直线与椭圆方程：，得：2k2+1x2+4k2x+2k22=0，设Ax1，y1，Bx2，y2，那么，解得y1+y2=kx1+x2+2=，AB中点Q，QN直线方程为： =x+=，N，0，由得，02k21，|AB|=，|AB|，2从22、23题中任选一题作答.选修4-4：坐标系与参数方程选讲22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为=4cos，