中考数学专题7几何辅助线(图)作法探讨

1、【2013年中考攻略】专题7：几何辅助线（图）作法探讨一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分复杂，若通过适当的变换，即添加适当的辅助线（图），将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，原问题顺利获解。网络上有许多初中几何常见辅助线作法歌诀，下面这一套是很好的：人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要

2、证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各

3、边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。在几何题的证明或求解时，需要构成一些基本图形来求证（解）时往往要通过添加辅助线（图）来形成，添加辅助线（图），构成的基本图形是结果，构造的手段是方法。笔者从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线（图）

4、作法归纳为结果（1）构造基本图形；（2）构造等腰（边）三角形：（3）构造直角三角形；（4）构造全等三角形；（5）构造相似三角形；（6）构造特殊四边形；（7）构造圆的特殊图形；方法（8）基本辅助线；（9）截取和延长变换；（10）对称变换；（11）平移变换；（12）旋转变换。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。一、构造基本图形：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形。如平行线，垂直线，直角三角形斜边上中线，三角形、四边形的中位线等。等腰（边）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四边形和圆的特殊图

5、形也都是基本图形，但我们后面把它们单独表述。典型例题：例1. （2012湖北襄阳3分）如图，直线lm，将含有45角的三角板abc的直角顶点c放在直线m上，若1=25，则2的度数为【 】a20 b25 c30 d35【答案】a。【考点】平行线的性质。【分析】如图，过点b作bdl，直线lm，bdlm。1=25，4=1=25。abc=45，3=abc4=4525=20。2=3=20。故选a。例2.（2012四川内江3分）如图，【 】a. b. c. d.【答案】b。【考点】平行的性质，三角形外角性质。【分析】如图，反向延长，形成4。 ，3=18004。 又2=14，即4=21。 。故选b。例3.（2

6、012广东梅州3分）如图，aoe=boe=15，efob，ecob，若ec=1，则ef= 【答案】2。【考点】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形的性质。【分析】作egoa于f，efob，oef=coe=15，aoe=15，efg=15+15=30。eg=ce=1，ef=21=2。例4.（2012广东佛山3分）依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图形一定是【 】 a平行四边形b矩形c菱形d梯形【答案】 a。【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定。【分析】根据题意画出图形，如右图所示：连接ac，四边形abcd各边中点

7、是e、f、g、h，hgac，hg=ac，efac，ef=ac。ef=gh，efgh。四边形efgh是平行四边形。由于四边形efgh是平行四边形，它就不可能是梯形；同时由于是任意四边形，所以ac=bd或acbd不一定成立，从而得不到矩形或菱形的判断。故选a。 例5.（2012江苏宿迁3分）已知点e，f，g，h分别是四边形abcd的边ab，bc，cd，da的中点，若acbd，且acbd，则四边形efgh的形状是 .（填“梯形”“矩形”“菱形” ）【答案】矩形。【考点】三角形中位线定理，矩形的判定。【分析】如图，连接ac，bd。 e，f，g，h分别是ab，bc，cd，da的中点，根据三角形中位线定理

8、，heabgf，hgacef。又acbd，ehg=hgf=gfe=feh=900。四边形efgh是矩形。且acbd，四边形efgh邻边不相等。四边形efgh不可能是菱形。例6.（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段ac=n+1（其中n为正整数），点b在线段ac上，在线段ac同侧作正方形abmn及正方形bcef，连接am、me、ea得到ame当ab=1时，ame的面积记为s1；当ab=2时，ame的面积记为s2；当ab=3时，ame的面积记为s3；当ab=n时，ame的面积记为sn当n2时，snsn1= 【答案】。【考点】正方形的性质，平行的判定和性质，同底等高的三角形面积，整

9、式的混合运算。【分析】连接be，在线段ac同侧作正方形abmn及正方形bcef，beam。ame与amb同底等高。ame的面积=amb的面积。当ab=n时，ame的面积为，当ab=n1时，ame的面积为。当n2时，。例7.（2012江苏镇江6分）如图，在四边形abcd中，adbc，e是ab的中点，连接de并延长交cb的延长线于点f，点g在bc边上，且gdf=adf。（1）求证：adebfe；（2）连接eg，判断eg与df的位置关系，并说明理由。【答案】解：（1）证明：adbc，ade=bfe（两直线平行，内错角相等）。 e是ab的中点，ae=be。 又aed=bef，adebfe（aas）。

10、（2）eg与df的位置关系是egdf。理由如下： ade=bfe，gdf=adf，gdf=bfe（等量代换）。gd=gf（等角对等边）。 又adebfe，de=ef（全等三角形对应边相等）。egdf（等腰三角形三线合一）。【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）由已知，应用aas即可证明adebfe。 （2）由ade=bfe，gdf=adf可得gdf=bfe，从而根据等角对等边得gd=gf；由（1）adebfe可得de=ef。根据等腰三角形三线合一的性质可得egdf。例8.（2012广西南宁10分）如图，已知矩形纸片abcd，ad=2，ab=4将纸片折

11、叠，使顶点a与边cd上的点e重合，折痕fg分别与ab，cd交于点g，f，ae与fg交于点o（1）如图1，求证：a，g，e，f四点围成的四边形是菱形；（2）如图2，当aed的外接圆与bc相切于点n时，求证：点n是线段bc的中点；（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕fg的长【答案】解：（1）由折叠的性质可得，ga=ge，agf=egf，dcab，efg=agf。efg=egf。ef=eg=ag。四边形agef是平行四边形（efag，ef=ag）。又ag=ge，四边形agef是菱形。（2）连接on，aed是直角三角形，ae是斜边，点o是ae的中点，aed的外接圆与bc相切于点n，onbc。点o是a

12、e的中点，on是梯形abce的中位线。点n是线段bc的中点。（3）oe、on均是aed的外接圆的半径，oe=oa=on=2。ae=ab=4。在rtade中，ad=2，ae=4，aed=30。在rtoef中，oe=2，aed=30，。fg=。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据折叠的性质判断出ag=ge，agf=egf，再由cdab得出efg=agf，从而判断出ef=ag，得出四边形agef是平行四边形，从而结合ag=ge，可得出结论。（2）连接on，则onbc，从而判断出on是梯形abce的中位线，从

13、而可得出结论。 （3）根据（1）可得出ae=ab，从而在rtade中，可判断出aed为30，在rtefo中求出fo，从而可得出fg的长度。练习题：1. （2012宁夏区3分）如图，c岛在a岛的北偏东45方向，在b岛的北偏西25方向，则从c岛看a、b两岛的视角acb 度2.（2012浙江嘉兴、舟山5分）在直角abc中，c=90，ad平分bac交bc于点d，若cd=4，则点d到斜边ab的距离为 3.（2012江苏南京8分）如图，梯形abcd中，ad/bc，ab=cd，对角线ac、bd交于点o，acbd，e、f、g、h分别为ab、bc、cd、da的中点（1）求证：四边形efgh为正方形；（2）若ad

14、=2，bc=4，求四边形efgh的面积。4. （2011湖南怀化3分）如图，已知直线，1=40，2=60则3等于 【 】a、100 b、60 c、40 d、205. （2011湖北恩施3分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果=43，则的度数是【 】 a、43b、47 c、30d、606. （2011广东茂名3分）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点o，村庄c的村民在公路的旁边建三个加工厂 a、b、d，已知ab=bc=cd=da=5公里，村庄c到公路l1的距离为4公里，则村庄c到公路l2的距离是【 】a、3公里b、4公里 c、5公里d、6公里7. （2011辽宁辽阳3分）如图，已知菱形a

15、bcd的边长为2，bad60，若deab，垂足为点e，则de的长为 8. （2011贵州黔东南4分）顺次连接一矩形场地abcd的边ab、bc、cd、da的中点e、f、g、h，得到四边形efgh，m为边eh的中点，点p为小明在对角线eg上走动的位置，若ab=10米，bc=米，当pm+ph的和为最小值时，ep的长为 。9. （2011广西玉林、防城港10分）如图，点g是正方形abcd对角线ca的延长线上任意一点，以线段ag为边作一个正方形aefg，线段eb和gd相交于点h（1）求证：eb=gd；（2）判断eb与gd的位置关系，并说明理由；（3）若ab=2，ag=，求eb的长10. （2011湖南衡

16、阳10分）如图，在矩形abcd中，ad=4cm，ab=m（m4），点p是ab边上的任意一点（不与点a、b重合），连接pd，过点p作pqpd，交直线bc于点q（1）当m=10时，是否存在点p使得点q与点c重合？若存在，求出此时ap的长；若不存在，说明理由；（2）连接ac，若pqac，求线段bq的长（用含m的代数式表示）；（3）若pqd为等腰三角形，求以p、q、c、d为顶点的四边形的面积s与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围二、构造等腰（边）三角形：当问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰（边）三角形；出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰（边）三角形。通过构造

17、等腰（边）三角形，应用等腰（边）三角形的性质得到一些边角相等关系，达到求证（解）的目的。典型例题：例1. （2012浙江丽水、金华4分）如图，在等腰abc中，abac，bac50bac的平分线与ab的中垂线交于点o，点c沿ef折叠后与点o重合，则cef的度数是 【答案】50。【考点】翻折变换(折叠问题)，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出obc40，以及obcocb40，再利用翻折变换的性质得出eoec，ceffeo，进而求出即可：连接bo，abac，ao是bac的平分线，ao是bc的中垂线。boco。bac50

18、，bac的平分线与ab的中垂线交于点o，oaboac25。等腰abc中，abac，bac50，abcacb65。obc652540。obcocb40。点c沿ef折叠后与点o重合，eoec，ceffeo。ceffeo（18002400）250。例2.（2012甘肃白银10分）如图，已知abc是等边三角形，点d、f分别在线段bc、ab上，efb=60，dc=ef（1）求证：四边形efcd是平行四边形；（2）若bf=ef，求证：ae=ad【答案】证明：（1）abc是等边三角形，abc=60。efb=60，abc=efb。efdc（内错角相等，两直线平行）。dc=ef，四边形efcd是平行四边形。（2

19、）连接be。bf=ef，efb=60，efb是等边三角形。eb=ef，ebf=60。dc=ef，eb=dc。abc是等边三角形，acb=60，ab=ac。ebf=acb。aebadc（sas）。ae=ad。【考点】等边三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，。【分析】（1）由abc是等边三角形得到b=60，而efb=60，由此可以证明efdc，而dc=ef，然后即可证明四边形efcd是平行四边形；（2）如图，连接be，由bf=ef，efb=60可以推出efb是等边三角形，然后得到eb=ef，ebf=60，而dc=ef，由此得到eb=dc，又abc是等边三角形，所以得

20、到acb=60，ab=ac，由sas即可证明aebadc，利用全等三角形的性质就证明ae=ad。例3.（2011上海12分）如图，在梯形abcd中，ad/bc，abdc，过点d作debc，垂足为e，并延长de至f，使efde联结bf、cd、ac（1）求证：四边形abfc是平行四边形； （2）如果de2bece，求证四边形abfc是矩形 【答案】解：（1）证明：连接bd。梯形abcd中，adbc，ab=dc，ac=bd，acb=dbcdebc，ef=de，bd=bf，dbc=fbc。ac=bf，acb=cbf。acbf。四边形abfc是平行四边形；（2）de2bece，。deb=dec=90，b

21、dedec。cde=dbe，bfc=bdc=bdecde=bdedbe=90。四边形abfc是矩形。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，等量代换。【分析】（1）连接bd，利用等腰梯形的性质得到ac=bd，再根据垂直平分线的性质得到db=fb，从而得到ac=bf，然后证得acbf，利用一组对边平行且相等判定平行四边形。（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形。练习题：1. （2011山东潍坊3分）已知长方形abcd，ab=3cm，ad=4cm，过对角线bd的中

22、点o做bd的垂直平分线ef，分别交ad、bc于点e、f，则ae的长为 2. （2011辽宁辽阳3分）如图，已知菱形abcd的边长为2，bad60，若deab，垂足为点e，则de的长为 3. （2011湖北十堰8分）如图，ab是半圆o的直径，点c为半径ob上一点，过点c作cdab交半圆o于点d，将acd沿ad折叠得到aed，ae交半圆于点f，连接df。（1）求证：de是半圆的切线；（2）连接od，当oc=bc时，判断四边形odfa的形状，并证明你的结论。4. （2011四川巴中10分） 如图所示，abc的外接圆圆心o在ab上，点d是bc延长线上一点，dmab于m，交ac于n，且ac=cdcp是c

23、dn的nd边的中线 (1)求证：abcdnc； (2)试判断cp与o的位置关系，并证明你的结论。5. （2011广东河源9分） 如图，等腰梯形abcd中，abcd，ad=bc。将acd沿对角线ac翻折后，点d恰好与边ab的中点m重合 (1)点c是否在以ab为直径的圆上?请说明理由; (2)当ab=4时，求此梯形的面积三、构造直角三角形：通过构造直角三角形，应用直角三角形的性质得到一些边角关系（勾股定理，两锐角互余，锐角三角函数），达到求证（解）的目的。典型例题：例2.（2012广西柳州3分）已知：在abc中，ac=a，ab与bc所在直线成45角，ac与bc所在直线形成的夹角的余弦值为 （即co

24、sc=），则ac边上的中线长是 【答案】或a。【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，三角形中位线定理，勾股定理。【分析】分两种情况：abc为锐角三角形时，如图1，be为ac边的中线。作abc的高ad，过点e作efbc于点f。在rtacd中，ac=a，cosc=，cd=a，ad=a。在rtabd中，abd=45，bd=ad=a。bc=bd+cd=a。点e是ac的中点，efad，ef是acd的中位线。fc=dc=a，ef=ad=a。bf=a。在rtbef中，由勾股定理，得。abc为钝角三角形时，如图2，be为ac边的中线。作abc的高ad。在rtacd中，ac=a，cosc=，cd=a，ad=a

25、。在rtabd中，abd=45，bd=ad=a。bc= bd=a。点e是ac的中点，be是acd的中位线。be=ad=a。综上所述，ac边上的中线长是或a。例3. （2012广西河池3分）如图，在矩形abcd中，adab，将矩形abcd折叠，使点c与点a重合，折痕为mn，连结cn若cdn的面积与cmn的面积比为14，则 的值为【 】a2b4 cd【答案】d。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。【分析】过点n作ngbc于g，由四边形abcd是矩形，易得四边形cdng是矩形，又由折叠的性质，可得四边形amcn是菱形，由cdn的面积与cmn的面积比为1：4，根

26、据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得dn：cm=1：4，然后设dn=x，由勾股定理可求得mn的长，从而求得答案： 过点n作ngbc于g，四边形abcd是矩形，四边形cdng是矩形，adbc。cd=ng，cg=dn，anm=cmn。由折叠的性质可得：am=cm，amn=cmn，anm=amn。am=an。am=cm，四边形amcn是平行四边形。am=cm，四边形amcn是菱形。cdn的面积与cmn的面积比为1：4，dn：cm=1：4。设dn=x，则an=am=cm=cn=4x，ad=bc=5x，cg=x。bm=x，gm=3x。在rtcgn中，在rtmng中，。故选d。例4.（2012北京市5

27、分）如图，在四边形abcd中，对角线ac，bd交于点e，bac=900，ced=450，dce=900，de=，be=2求cd的长和四边形abcd的面积【答案】解：过点d作dhac，ced=45，dhec，de=，eh=dh=1。又dce=30，dc=2，hc=。aeb=45，bac=90，be=2，ab=ae=2。ac=2+1+ =3+。 。【考点】勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，【分析】利用等腰直角三角形的性质得出eh=dh=1，进而得出再利用直角三角形中30所对边等于斜边的一半得出cd的长，求出ac，ab的长即可得出四边形abcd的面积。例5.（2012山东

28、莱芜9分）某市规划局计划在一坡角为16的斜坡ab上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示已知支架ac与斜坡ab的夹角为28，支架bdab于点b，且ac、bd的延长线均过o的圆心，ab12m，o的半径为1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到0.01m，参考数据：cos280.9，sin620.9，sin440.7，cos460.7)【答案】解：如图，过点o作水平地面的垂线，垂足为点e。 在rtaob中，即， 。bae=160，oae=280160=440。在rtaoe中，即，9.3331.5=10.83310.83（m）。答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为10.83 m。【考点

29、】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】如图，过点o作水平地面的垂线，构造rtaoe。解rtaob，求出oa；解rtaoe，求出oe，即可得出雕塑最顶端到水平地面的垂直距离。例6.（2012山东聊城7分）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边p处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）小船从p处出发，沿北偏东60划行200米到达a处，接着向正南方向划行一段时间到达b处在b处小亮观测妈妈所在的p处在北偏西37方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，1.41，1.73）【答案】解：作pdab于点d，由已知得pa=2

30、00米，apd=30，b=37，在rtpad中，由cos30=，得pd=pacos30=200=100（米）。在rtpbd中，由sin37=，得pb=（米）。答：小亮与妈妈的距离约为288米。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数。【分析】作pdab于点d，分别在直角三角形pad和直角三角形pbd中求得pd和pb即可求得结论。例7. （2012吉林省8分）如图，在扇形oab中，aob=90，半径oa=6将扇形oab沿过点b的直线折叠，点o恰好落在 上点d处，折痕交oa于点c，求整个阴影部分的周长和面积【答案】解：连接od。 根据折叠的性质，cd=co，bd=bo，dbc=obc

31、，ob=od=bd。obd是等边三角形。dbo=60。cbo=dbo=30。aob=90，oc=obtancbo=6。，整个阴影部分的周长为：ac+cd+bd+=ac+oc+ob+=6+6+3=12+3。整个阴影部分的面积为：。【考点】翻折变换（折叠问题），等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，弧长的扇形面积的计算。【分析】连接od，由折叠的性质，可得cd=co，bd=bo，dbc=obc，则可得obd是等边三角形，继而求得oc的长，即可求得obc与bcd的面积，又由在扇形oab中，aob=90，半径oa=6，即可求得扇形oab的面积与 的长，从而求得整个阴影部分的周长

32、和面积。练习题：1. （2012四川绵阳3分）已知abc中，c=90，tana=，d是ac上一点，cbd=a，则sinabd=【 】。a b c d2.（2012山东青岛8分）如图，某校教学楼ab的后面有一建筑物cd，当光线与地面的夹角是22时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子ce；而当光线与地面的夹角是45时，教学楼顶a在地面上的影子f与墙角c有13m的距离(b、f、c在一条直线上)(1)求教学楼ab的高度；(2)学校要在a、e之间挂一些彩旗，请你求出a、e之间的距离(结果保留整数)(参考数据：sin22，cos22，tan22)3.（2012湖北襄阳3分）在一次数学活动中，李明利用一根

33、栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度cd如图，已知小明距假山的水平距离bd为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线oa和假山的最高点c，此时，铅垂线oe经过量角器的60刻度线，则假山的高度为【 】a（4+1.6）m b（12+1.6）m c（4+1.6）m d4m4.（2012江苏南京2分）如图，将的aob按图摆放在一把刻度尺上，顶点o与尺下沿的端点重合，oa与尺下沿重合，ob与尺上沿的交点b在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的aoc放置在该尺上，则oc与尺上沿的交点c在尺上的读数约为 cm（结果精确到0.1 cm，参考

34、数据：，）5.（2012福建福州4分）如图，已知abc，abac1，a36，abc的平分线bd交ac于点d，则ad的长是 ，cosa的值是 (结果保留根号)6.（2012陕西省8分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭a处测得湖心岛上的迎宾槐c处位于北偏东方向，然后，他从凉亭a处沿湖岸向正东方向走了100米到b处，测得湖心岛上的迎宾槐c处位于北偏东方向（点a、b、c在同一水平面上）请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐c处与湖岸上的凉亭a处之间的距离（结果精确到1米）（参考数据：，）7.（2012江苏连云港10分）已知b港口位于a观测点

35、北偏东53.2方向，且其到a观测点正北方向的距离bd的长为16km，一艘货轮从b港口以40km/h的速度沿如图所示的bc方向航行，15min后达到c处，现测得c处位于a观测点北偏东79.8方向，求此时货轮与a观测点之间的距离ac的长(精确到0.1km)(参考数据：sin53.20.80，cos53.20.60，sin79.80.98，cos79.80.18，tan26.60.50，1.41，2.24)8.（2012四川乐山10分）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头mn，在码头西端m的正西方向30 千米处有一观察站o某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于o的北偏西30方向，且与o相距

36、千米的a处；经过40分钟，又测得该轮船位于o的正北方向，且与o相距20千米的b处（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头mn靠岸？请说明理由（参考数据：，）四、构造全等三角形：通过构造全等三角形，应用全等三角形对应边、角相等的性质，达到求证（解）的目的。典型例题：例1. （2012浙江绍兴5分）如图，在矩形abcd中，点e，f分别在bc，cd上，将abe沿ae折叠，使点b落在ac上的点b处，又将cef沿ef折叠，使点c落在eb与ad的交点c处则bc：ab的值为 。例2. （2012山东泰安3分）如图，abcd，e，f分别为ac，bd的中点，若ab=

37、5，cd=3，则ef的长是【 】a4b3c2d1【答案】d。【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。【分析】连接de并延长交ab于h，cdab，c=a，cde=ahe。e是ac中点，de=eh。dcehae（aas）。de=he，dc=ah。f是bd中点，ef是dhb的中位线。ef=bh。bh=abah=abdc=2。ef=1。故选d。例3.（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片abcd，点p为正方形ad边上的一点（不与点a、点d重合）将正方形纸片折叠，使点b落在p处，点c落在g处，pg交dc于h，折痕为ef，连接bp、bh（1）求证：apb=bph；（2）

38、当点p在边ad上移动时，pdh的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设ap为x，四边形efgp的面积为s，求出s与x的函数关系式，试问s是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）如图1，pe=be，ebp=epb又eph=ebc=90，ephepb=ebcebp，即pbc=bph。又adbc，apb=pbc。apb=bph。（2）phd的周长不变为定值8。证明如下：如图2，过b作bqph，垂足为q。由（1）知apb=bph，又a=bqp=90，bp=bp，abpqbp（aas）。ap=qp，ab=bq。又ab=bc，bc=bq。又c=bqh=90，bh=

39、bh，bchbqh（hl）。ch=qh。phd的周长为：pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8。（3）如图3，过f作fmab，垂足为m，则fm=bc=ab。又ef为折痕，efbp。efm+mef=abp+bef=90。efm=abp。又a=emf=90，ab=me，efmbpa（asa）。em=ap=x在rtape中，（4be）2+x2=be2，即。又四边形pefg与四边形befc全等，。，当x=2时，s有最小值6。【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。【分析】（1）根据翻折变换的性质得出pbc=bph，进而

40、利用平行线的性质得出apb=pbc即可得出答案。（2）先由aas证明abpqbp，从而由hl得出bchbqh，即可得ch=qh。因此，pdh的周长=pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8为定值。（3）利用已知得出efmbpa，从而利用在rtape中，（4be）2+x2=be2，利用二次函数的最值求出即可。例4. （2011广西南宁3分）如图，在abc中，acb90，a15，ab8，则acbc的值为【 】a14 b16 c4 d16【答案】d。【考点】全等三角形的判定和性质，锐角三角函数。【分析】延长bc到点d，使cdcb，连接ad，过点d作deab，垂足为点e。则知acdac

41、b，从而由已知得cada15，adab。因此，在rtade中，ad8，bad30，deadsin304。从而sadeabde16，又sadebdac2bcacacbc，即acbc16。例5. （2011山东济南3分）如图，在abc中，acb90，acbc，分别以ab、bc、ca为一边向abc外作正方形abde、bcmn、cafg，连接ef、gm、nd，设aef、bnd、cgm的面积分别为s1、s2、s3，则下列结论正确的是【 】as1s2s3 bs1s2s3cs1s3s2 ds2s3s1【答案】a。【考点】正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】过点d作dqmn交cb的

42、延长线于点p，交mn的延长线于点q； 过点e作ergf交ca的延长线于点s，交gf的延长线于点r。 易证cgmcab（sas），即s2sabc； 易证pbdcab（aas），bp=ac，即s3的底为bn=bc，高为bp=ac，s2sabc；易证seacab（aas），as=bc，即s1的底为fa=ca，高为as=bc，s2sabc。s1s2s3sabc。故选a。例6. （2011山东德州8分）如图 ab=ac，cdab于d，beac于e，be与cd相交于点o（1）求证ad=ae；（2）连接oa，bc，试判断直线oa，bc的关系并说明理由【答案】解：（1）证明：在acd与abe中，a=a，adc

43、=aeb=90，ab=ac，acdabe（aas）。ad=ae。 （2）在rtado与rtaeo中，oa=oa，ad=ae，adoaeo（hl）。dao=eao。即oa是bac的平分线。又ab=ac，oabc。【考点】全等三角形的判定和性质【分析】（1）根据全等三角形aas的判定方法，证明acdabe，即可得出ad=ae。（2）根据已知条件得出adoaeo，得出dao=eao，即可判断出oa是bac的平分线，即oabc。练习题：1. （2012湖南岳阳3分）如图，在rtabc中，b=90，沿ad折叠，使点b落在斜边ac上，若ab=3，bc=4，则bd= 2. （2011湖北恩施3分）如图，ad

44、是abc的角平分线，dfab，垂足为f，de=dg，adg和aed的面积分别为50和39，则edf的面积为 【 】a、11b、5.5 c、7d、3.53. （2011湖北随州4分）如图，abc的外角acd的平分线cp与内角abc平分线bp交于点p，若bpc=40，则cap= 4.（2011广西贵港2分）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形abcd，若ad6cm，abc60，则四边形abcd的面积等于_ cm25. （2011江苏徐州6分）如图，将矩形纸片abcd按如下顺序进行折叠: 对折、展平, 得折痕ef(如图); 沿gc折叠, 使点b落在ef上的点b 处(如图);

45、 展平, 得折痕gc(如图); 沿gh折叠, 使点c落在dh上的点c 处(如图); 沿gc 折叠(如图); 展平, 得折痕gc 、gh(如图)。（1） 求图中bcb 的大小;（2） 图中的gcc 是正三角形吗?请说明理由. 五、构造相似三角形：通过构造相似三角形，应用相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质，达到求证（解）的目的。典型例题：例1. （2012广东深圳3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【 】a

46、.米 b.12米 c.米 d10米【答案】a。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。【分析】延长ac交bf延长线于e点，则cfe=30。作cebd于e，在rtcfe中，cfe=30，cf=4，ce=2，ef=4cos30=2，在rtced中，ce=2，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，de=4。bd=bf+ef+ed=12+2。dcedab，且ce：de=1：2，在rtabd中，ab=bd=。故选a。例2.（2012湖北十堰3分）如图，矩形abcd中，ab=2，ad=4，ac的垂直平分线ef交a

47、d于点e、交bc于点f，则ef= 【答案】。【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理；【分析】连接ec，ac、ef相交于点o。ac的垂直平分线ef，ae=ec。四边形abcd是矩形，d=b=90，ab=cd=2，ad=bc=4，adbc。aoecof。oa=oc，oe=of，即ef=2oe。在rtced中，由勾股定理得：ce2=cd2+ed2，即ce2=（4ce）2+22，解得：ce=。在rtabc中，ab=2，bc=4，由勾股定理得：ac=，co=。在rtceo中，co=，ce=，由勾股定理得：eo=。ef=2eo=。例3.（2012天津市10分）已知一个矩

48、形纸片oacb，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点a（11，0），点b（0，6），点p为bc边上的动点（点p不与点b、c重合），经过点o、p折叠该纸片，得点b和折痕op设bp=t（）如图，当bop=300时，求点p的坐标；（）如图，经过点p再次折叠纸片，使点c落在直线pb上，得点c和折痕pq，若aq=m，试用含有t的式子表示m；（）在（）的条件下，当点c恰好落在边oa上时，求点p的坐标（直接写出结果即可）【答案】解：（）根据题意，obp=90，ob=6。在rtobp中，由bop=30，bp=t，得op=2t。op2=ob2+bp2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=（舍去）点p的坐

49、标为（ ，6）。（）obp、qcp分别是由obp、qcp折叠得到的，obpobp，qcpqcp。opb=opb，qpc=qpc。opb+opb+qpc+qpc=180，opb+qpc=90。bop+opb=90，bop=cpq。又obp=c=90，obppcq。由题意设bp=t，aq=m，bc=11，ac=6，则pc=11t，cq=6m。（0t11）。（）点p的坐标为（，6）或（，6）。【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（）根据题意得，obp=90，ob=6，在rtobp中，由bop=30，bp=t，得op=2t，然

50、后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 （）由obp、qcp分别是由obp、qcp折叠得到的，可知obpobp，qcpqcp，易证得obppcq，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。（）首先过点p作peoa于e，易证得pcecqa，由勾股定理可求得cq的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与，即可求得t的值： 过点p作peoa于e，pea=qac=90。pce+epc=90。pce+qca=90，epc=qca。pcecqa。pc=pc=11t，pe=ob=6，aq=m，cq=cq=6m，。，即，即。将代入，并化简，得。解得：。点p的坐标为（，6）或（，6）。例4.（2012湖南岳阳3分）如图，abc中，ab=ac，d是ab上的一点，且ad=ab，dfbc，e为bd的中点若efac，bc=6，则四边形dbcf的面积为 【答案】15。【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理。【分析】如图，过d点作dgac，垂足为g，过a点作ahbc，垂足为h，ab=ac，点e为bd的中点，且