正弦定理公开课用PPT学习教案

1、会计学1正弦定理公开课用正弦定理公开课用创设情境创设情境.B.A.C第1页/共27页8/6/2021ACBcba想一想想一想? ?中在一个直角三角形ABCAsincaAacsinBsincbBbcsinCsincc1Cccsin问题问题 （2 2）上述结论是否可推广到任意三角形）上述结论是否可推广到任意三角形? ?若成立，如何证明？若成立，如何证明？CcBbAasinsinsin（1 1）你有何结论）你有何结论? ?一、定理的猜想一、定理的猜想cc1第2页/共27页8/6/2021二、定理的证明二、定理的证明如图，当如图，当 ABC是锐角三角是锐角三角形时，设形时，设AB边上的高是边上的高是C

2、D，根据三角函数的定义可得根据三角函数的定义可得BCAaAbBaCDsinsinBbAasinsin同理可得同理可得，CcBbsinsinCcBbAasinsinsin那么当那么当 ABC是钝角是钝角三角形时，以上结论三角形时，以上结论还成立么？还成立么？是否可以用其他方法是否可以用其他方法证明正弦定理？证明正弦定理？bDca第3页/共27页 asinAbsinBcsinC2R.=2RbsinB则设并延长交圆于连结为圆心作三角形的外接圆已知中在钝角,2,RABBAOOcABbACaBCABC.2sinsinsin，对任意三角形都成立RCcBbAa090 ,sinsin2ACBBBbBBR 同理

3、可得同理可得CABBobac第4页/共27页8/6/2021正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等的正弦的比相等. .正弦定理正弦定理: 一般地，把三角形的三个角一般地，把三角形的三个角A A，B B，C C和它们的的对边和它们的的对边a a，b b，c c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素求其他元素的过程叫做素求其他元素的过程叫做解三角形解三角形外接圆的半径为 ABCRRCcBbAa2sinsinsin第5页/共27页8/6/2021公式变形公式变形: :ARasin2 BRb

4、sin2 CRcsin2 CBAcbasin:sin:sin: 第6页/共27页8/6/2021三、正弦定理的应用三、正弦定理的应用RCcBbAa2sinsinsin（2）已知两角和任一边，求其他）已知两角和任一边，求其他两边和一角；两边和一角；（1）已知两边和其中一边的对）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一角，求另一边的对角（从而进一步求出其他步求出其他 的边和角）的边和角）知知 “三三” 求求 “三三”第7页/共27页8/6/2021 学以致用学以致用C.B.A 已知三角形的两个角已知三角形的两个角 和一条边和一条边AB=1公里，求另一条边公里，求另一条边AC。45,60C

5、B解：由正弦定理得；解：由正弦定理得；AC ABsinB sinC=解得解得AC=（公里）26第8页/共27页8/6/2021例例1.在在ABC中，已知中，已知a2，b ，A45，求求B和和c。22变式变式1：在在ABC中，已知中，已知a4，b ，A45， 求求B和和c。22变式变式2：在在ABC中，已知中，已知a ，b ，A45， 求求B和和c。22334正弦定理应用一：正弦定理应用一： 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）。（要注意可能有两解）290122222sinsinsinsin

6、:0cBaAbBBbAa解232224264sinsin105)(150302142222sinsinsinsin:000 ACacCBaAbBBbAa舍去舍去或或解解338822426334sinsin157512060233342222sinsinsinsin:0000 ACacC B aAbB BbAa或或或或解解第9页/共27页8/6/2021点拨点拨：已知两边和其中一边的对已知两边和其中一边的对角解三角形时角解三角形时,通常要用到通常要用到三角形三角形内角和定理或大边对大角定理内角和定理或大边对大角定理等等三角形有关性质三角形有关性质.第10页/共27页8/6/2021例例2 2、

7、用正弦定理证明三角形面积用正弦定理证明三角形面积BacAbcCabSABCsin21sin21sin21BACDabc证明：过点A作 交BC于点D，则aADSABC21CbBcADsinsin利用正弦定理可得CabBacSABCsin21sin21同理BacAbcCabSABCsin21sin21sin21AbcSABCsin21BCAD 第11页/共27页8/6/2021;,120,30,12)1(.30aBAbABC求已知中在例., 2,60,30)2(00caCBA求已知.,30,105,10)3(ABCSbCAc求已知第12页/共27页8/6/2021;,)(aBAb求已知120301

8、2100012030121sinsinsinsin,sinsin)(BAbaBbAa解：34第13页/共27页8/6/2021., 2,60,30)2(caCBA求已知,sinsinCcAa又60,30 CBA:解150 CB45 C2230452sinsinsinsinACac第14页/共27页8/6/2021.,30,105,103ABCSbCAc求）已知（,sinsinCcBb 解解：)(1325,45)30105(180)(180CAB21030sin45sin10sinsinCBcbAbcSABCsin21 105sin1021021第15页/共27页8/6/2021点拨：点拨：已知

9、两角和任意已知两角和任意一边，求其余两边和一一边，求其余两边和一角角, ,此时的解是唯一的此时的解是唯一的. .第16页/共27页8/6/2021;,60, 1, 3) 1 (. 4CAaBcbABC，和求已知中在例。求已知ABba,45,22,32)2(0(3)20,28,120 ,.abA已知解这个三角形第17页/共27页8/6/2021;,60, 1,3)1 (.4CAaBcbABC，和求已知中在例9030,60, ACCBCBcb，为为锐锐角角，,sinsinCcBb 解解：21360sin1sinsin bBcC222 bca第18页/共27页8/6/2021.,45,22,32)2

10、(ABba求求已已知知 bBaAsinsin 解解：232245sin32 )(,大边对大角BAba12060 或或 A第19页/共27页8/6/2021(3)20,28,120 ,.abA已知解这个三角形sinsinbABa解 ：20120sin28 11037 .本本题题无无解解第20页/共27页8/6/20213练习练习2、在、在 ABC中，若中，若 a=2bsinA，则，则B( ) A、 B、 C、 D、36653326或或或或练习练习1、在、在 ABC中，若中，若A：B：C=1：2：3，则，则 a:b:c( ) A、1:2:3 B、3:2:1 C、1: :2 D、2: :133自我提

11、高！自我提高！A、等腰三角形、等腰三角形 B、直角三角形、直角三角形 C、等腰直角三角形、等腰直角三角形 D、不能确定、不能确定)(,sinsinsin,. 3222ABCCBAABC的形状是的形状是则则若若中中在在练习练习 CCB第21页/共27页8/6/2021正弦定理的用途：正弦定理的用途：(1) (1) 已知已知两角两角和和任一边任一边，解三角形，解三角形（解唯一）（解唯一）(2) (2) 已知已知两边两边和其中和其中一边的一边的对对角角，解三角形，解三角形（解不唯一（解不唯一）(3)(3) 判断三角形的形状判断三角形的形状. .从已知条件出发，寻找到三角形的边与边从已知条件出发，寻找到三角形的边与边或角与角之间的关系，然后判断之。或角与角之间的关系，然后判断之。第22页/共27页8/6/2021 课时小结课时小结 二个二个 应用应用 ： 已知两角和一边（只有一解）已知两角和一边（只有一解） 已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角 （有一解，两解，