课件：应变状态

1、第三章第三章 应变状态应变状态物体变形位移与应变的基本关系几何方程应变状态分析位移的单值连续性质 目录目录 3.1 3.1 变形与应变概念变形与应变概念 3.2 3.2 主应变与主应变方主应变与主应变方向向 3.3 3.3 应变协调方程应变协调方程3.1 变形与应变概念变形与应变概念 由于外部因素 物体内部各点空间位置发生变化 位移形式 刚体位移刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。 变形位移变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。载荷或温度变化位移位移位移u，v，w是单值连续函数进一步分析位移函数具有连续的三阶导数一点的变形通过微分六面体单

2、元描述微分单元体的变形，分为两部分讨论正应变棱边的伸长和缩短 切应变棱边之间夹角（直角）改变3.1 变形变形2xwzuzvywyuxvzwyvxuzxyzxyzyx几何方程 位移分量和应变分量之间的关系 几何方程又称柯西方程微分线段伸长正应变大于零微分线段夹角缩小切应变分量大于零3.1 变形变形3 几何方程位移导数表示的应变 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性体的变形 原因是没有考虑单元体位置的改变 单元体的刚体转动 刚性位移可以分解为平动与转动 刚性转动变形位移的一部分，但是不产生变形。3.1 变形变形4zyxzyxwvuzzyzxyzyyxxzxyxxyxzyzddd2121212

3、12121ddd000ddd微分单元体的刚性转动与协调相关)(21, )(21, )(21yuxvxwzuzvywzyx转动矢量描述微分单元体的刚性转动 转动分量 刚体转动位移增量变形位移增量位移增量是由两部分组成的3.1 变形变形5 变形通过应变描述 坐标变换时，应变分量是随之坐标改变而变化。 应变分量的转轴公式 应变张量3.2 主应变与主应变方向主应变与主应变方向应变状态应变状态ijjjiijinn333231232221131211212121212121zzyzxyzyyxxzxyxij应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变状态就完全确定。坐标变换后各应变分量均发

4、生改变，但作为一个整体，所描述的应变状态并未改变。主应变与应变主轴 切应变为0的方向 应变主轴方向的正应变应变主轴主应变3.2 主应变主应变20)(2121021)(2102121)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx应变状态特征方程l，m，n齐次线性方程组非零解的条件为方程系数行列式的值为零 0212121212121zzyzxyzyyxxzxyx032213JJJ展开展开 3.2 主应变主应变3主应变确定应变主轴方向变形应变不变量ijzxyzxyxzxyyxzyxiiJJJ322221)(41第一，第二和第三应变不变量 一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐标变换不影响应变状

5、态是确定的。 应变不变量就是应变状态性质的表现3.2 主应变主应变4应力张量应变张量应力不变量应变不变量主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性类似各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的公式比较公式比较3.2 主应变主应变5 体积应变 弹性体一点体积的改变量 引入体积应变有助于 简化公式 解释3.2 主应变主应变6.zwyvxuzyxVVV*3.3 应变协调方程应变协调方程 数学意义： 几何方程6个应变分量通过3个位移分量描述 力学意义变形连续 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束例例3-1 设 x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0,求其位移。解解：)(23

6、2yfxu显然该应变分量没有对应的位移。要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。 xxux3yyvy2)(2xgyvxyxgyfyuxvxy)( )( 3.3 应变协调应变协调2l 要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。l 从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加可得)(22222yuxvyxyxxyyxxy23.3 应变协调应变协调3u 将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数u 前后两式相加并减去中间一式，则zyuzyxxyxzyz22对x求一阶偏导数，则 zyzyx

7、xxxyxzyz22)(分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式 3.3 应变协调应变协调4u 将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数u 前后两式相加并减去中间一式，则yxzyxzzxzyxyzyzyxxzxxzzyzyyxyxzxyxzyzyxyxzyzxxyxzyzxzzxyzyzxyxy2222222222222222222)(2)(2)(应变协调方程圣维南 （Saint Venant）方程 3.3 应变协调应变协调5变形协调方程的数学意义使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。变形协调方程的物理意义物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单

8、元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。 3.3 应变协调应变协调6证明证明应变协调方程是变形连续的必要和充分条件。变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位移分量为单值连续函数。目标如果应变分量满足应变协调方程，则对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得单值连续的位移分量。利用位移和转动分量的全微分，则zzyyxxxxxxddddzyxzzuyyuxxuuyxzzxyxd)21(d)21(ddddd轮换x , y, z，可得du，dv和dy，dz 3.3 应变协调应变协调7如通过积分，计算出 zzyyxxzzyyxxzzyy

9、xxzyxwwzyxvvzyxuuzzzPPzzyyyPPyyxxxPPxxxxyzyxzPPxyzyzxyPPyxzzxyxPP0ddddddddddd)21(d)21(d)21(dd)21(d)21(d)21(d00000000000是单值连续的，则问题可证。 保证单值连续的条件是积分与积分路径无关 3.3 应变协调应变协调8)21()21()21()21()21()21()21()21()21()21()21()21(yxzxyzxyzzyxzzxyzzxyzxyyxyzyzxyyxzyxzxzxyxyxzyzxxzyxyzzyxyxy根据格林公式zyzyzyxyxz)(21zyzzyy

10、yzzxyyzx2121)(21zyxxyxzx回代3.3 应变协调应变协调9)()(21yuxvzxwzuyxzvywxx)(21zzyyzyxzyyzzyyzxyxzPPxxd)21(d)21(d)(2100回代到第四式 x单值连续的必要与充分条件是 )21()21()21()(21zyzzyyzyxzyyyyzyzzyyzxyxzzxzyxyzyzyyxyxyzyzyzyz2222222)(同理讨论y，z的单值连续条件，可得其它4式变形协调方程。由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连续的必要和充分条件。 3.3 应变协调应变协调10变形协调方程单连通域位移单值连续的必要和充分条件多连通

11、域位移单值连续的必要条件充分条件是位移的连续补充条件3.3 应变协调应变协调11位移边界条件位移边界条件 q应变满足应变满足变形协调方程变形协调方程，保证弹性体内部，保证弹性体内部的变形单值连续。的变形单值连续。q边界变形协调要求边界位移满足边界变形协调要求边界位移满足位移边界位移边界条件。条件。 q位移边界条件位移边界条件临近表面的位移或和变临近表面的位移或和变形与已知边界位移或变形相等。形与已知边界位移或变形相等。3.3 应变协调应变协调12 如果物体表面的位移已知，称为位移边界 位移边界用Su表示。 如果物体表面的位移 已知 边界条件为,wvu 称为位移边界条件wwvvuu3.3 应变协调应变协调13 设物体表面为S 位移已知边界Su 面力已知边界Ss则 SSuSs 弹性体的整个边界，是由面力边界和位移边界构成的。 任意一段边