七下实数辅导讲义(一)

1、七下实数辅导讲义(一)第六章 实数 辅导讲义【知识要点】1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。 即：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“”（a称为被开方数）。（2）平方根的性质： 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 0只有一个平方根，它就是0本身； 负数没有平方根.（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。（5）本身为非负数，即0；有意义的条件是a0。（6）公式：()2=a（a0）； 2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，这个数

2、就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。 即：如果x3=a,把x叫做a的立方根。数a的立方根用符号“”表示，读作“三次根号a”。（2）立方根的性质： 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 求一个数的立方根可以通过立方运算来求.3、 平方根与立方根的区别： 只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类： （3）实数与数轴的关系 每一

3、个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系（4）、绝对值一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。注意：题型规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和1。2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。3、本身为非负数，有非负性，即0；有意义的条件是a0。4、公式：()2=a（a0）；=（a取任何数）。5、区分()2=a（a0），与

4、=6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。7.一般来说，被开方数扩大（或缩小）倍，算术平方根扩大（或缩小）倍，例如8、.识记常用平方表：（自行完成）12=62=112=162=212=22=72=122=172=222=32=82=132=182=232=42=92=142=192=242=52=102=152=202=252= 9.易混淆的三个数（自行分析它们）： （1）（2）（3）10、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字： 【典型例题】题型一、平方根定义的运用例1、一个正数的平方根为和，求这个数？变式1、已知和是m的平方根，求m的

5、值？变式2、已知某个数的平方根分别为和，求a和这个数？（练习1）若一正数的平方根是与，求这个正数（练习2）已知的负的平方根是，的立方根是，求的平方根.（练习3）一个数的平方根是和，求这个数例2、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由 （-3）2 0 2 -0.01 2 （2） 下列说法对不对？为什么？ 4有一个平方根 只有正数有平方根 任何数都有平方根 若 a0，a有两个平方根，它们互为相反数例3、求下列各数的平方根：(1) 9 (2) (3) 0.36 (4) 变式3、.下列语句中，正确的是（ ）A一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B负数没有立方根 C一个实数的立方根不是正数就是负数

6、D立方根是这个数本身的数共有三个 变式4. 下列说法正确的是（ ）A-2是（-2）2的算术平方根 B3是-9的算术平方根C16的平方根是4 D27的立方根是3 （练习）判断下列各题，并说明理由的平方根是( )一定是正数( )的算术平方根是( )若，则.( ).( )是的平方根( )的平方根是( )若，则.( )若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等( )如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等( )算术平方根一定是正数( )没有算术平方根( )的立方根是 ( )是的立方根( )( )互为相反数的两个数的立方根互为相反数( )正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的

7、奇数次方根( )题型三、化简求值例1、已知，化简： 变式1、若例2已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简变式2、实数在数轴上的位置如图所示,化简:= 变式3如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为（ ）A. 2 B. 2 C. 3 D.3 例3、当a0时，化简 的结果是( ) A 0 B -1 C 1 D 例4、化简下列各式：(1) |-1.4| (2) |-3.142| (3) |-| 【变式1】化简： （练习） + 题型四、利用非负数的性质求代数式 三种常见的非负数： 注意：(1)任何非负数的和仍是非负数； (2)若几个非负数的和是0，那么这

8、几个非负数均为0.例1、已知实数x，y满足 +(y+1)2=0，则x-y等于 【变式1】 已知、b是有理数，且满足（2）2+=0，则b的值为 【变式2】已知那么a+b-c的值为_【变式3】已知(x-6)2+|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。（练习1）已知+ (x-2)2=0,则xy=（ ） A、0 B、6 C、 D、练习1）若和互为相反数，则的立方根为（ ） A、-2 B、4 C、2 D、-4练习1）若和互为相反数，则等于（ ） A、-2 B、 C、2 D、 求被开方数中的未知数的值 例2若y=+2017，则x+y= 变式1、若，则xy的值为（ ） A1 B1 C2 D3变式2、若x

9、、y都是实数，且y=，求xy的值变式3、已知,求的值？变式4、已知为实数，且满足，求的值.（练习1）已知：，求的平方根. （练习2）已知为实数，求.（练习3）已知实数满足，求的值。（练习4）已知实数与非零实数满足等式：.求.（练习5）在实数范围成立，那么的值是多少？（练习6）若适合关系式，试确定的值.题型五、解方程(1) (2) (3) (4) (5) (6)题型六、整数部分和小数部分的探讨例1、已知x是的整数部分，y是的小数部分，求 的平方根。变式1设m是的小数部分，n为的小数部分，求的值？（练习1）若a是的整数部分，b是的小数部分，则= ；（练习2）若 ；题型六 关于平方根、立方根的求值例

10、1、求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）解（1）因为，所以=9.例2（1）64的立方根是（2）下列说法中：都是27的立方根，的立方根是2，。正确的有 （ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个（练习1）已知，求的值(为正整数).（练习2）已知是nm3的算术平方根，是m2n的立方根，求BA的平方根题型八、探索找规律1（盐城市）现规定一种新的运算“”：ab=ab，如32=32=9，则3（）2(资阳市)若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=21=2，3！=321=6，4！4321，则的值为( ) AB99!C9900D2！3如果有理数a,b满足ab2+1b=0，试求+的值

11、4.观察思考下列计算过程： 11=121， =11；同样： 111=12321， =111；由此猜想：= 5.已知，。直接写出下列各式的值： (1) _(2) _ (3) _ (4) _6、.观察： 猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想；那么=_;题型八实数比较大小的方法1、方法一：差值比较法差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a-b0时，得到ab。当a-b0时，得到ab。当a-b0，得到a=b。例1、比较1-与1-的大小。 3、方法二：商值比较法商值比较法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先求出a与b得商。当1时，ab；当1时，ab；当=1时，a=b。

12、来比较a与b的大小。例2、比较与的大小。4、方法三：平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a0，b0时，可由得到ab来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。例3、比较2与3的大小 5、方法四：估算法估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。例4、比较与的大小。（练1）估计的大小应在（ ）. （A）78之间 （B）8.08.5 之间 （C）8.59.0之间 （D）910之间（练2）天安门广场的面积约为 44 万平方米，请你估计一下，它的百万之一大约相当（） A、教室地面的面积B、黑板面的面积C、课桌面的面积 D

13、、铅笔盒面的面积（练3）实数和的大小关系是（ ） AB CD（练4）将，用不等号连接起来为（ ） A. B. C. D. （练5）已知：A. B. C. D.实数有关的综合问题（材料阅读问题）1、我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零由此：如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0运用上述知识，解决下列问题：（1） 如果，其中a、b为有理数，那么a=，b=；（2）如果，其中a、b为有理数，求a+2b的值2、在没有带开方功能的计算器的情况下，我们可以用下面的方法得到（n为正整数）的近似值（k为正

14、整数），并通过迭代逐步减小的值来提高的精确度。以求的近似值为例，迭代过程如下：（1）先估计的范围并确定迭代的初始值a1：取。（2）通过计算和得到精确度更高的近似值：（说明：，此题中记，以下结果都要求写成小数形式。）k=1时，=_，_，_；k=2时，_（精确到0.001），_=_，_；单元综合演练（A）一、选择题1.、在3.12578，-，5.27，中，无理数的个数是（ ） A1 B2 C3 D42、16的算术平方根是（ ） A B 2 C D 43、36的平方根是( ) (A) 6 (B) (C) (D) 4、下列说法正确的是（ ） A的立方根是 B-25的立方根不存在 C2的平方根是 D-2

15、5的平方根不存在5、下列各式中，无意义的是( ) A B C D 6、若有意义，则是一个（ ）。正实数 负实数 非正实数 非负实数7、估计的大小应在（ ）.（A）78之间 （B）8.08.5 之间 （C）8.59.0之间 （D）910之间8、的平方根是 （ ）A、 B、 C、 D 、9、下列各式正确的是（ ）A、4B、4C、3D、10、 下列结论正确的是 （ ） A 、 B 、 C 、 D 、11、下列运算中，错误的是（ ） ， A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个12、下列说法中错误的是（ ）A.负数没有立方根 B.1的立方根是1C. 平方根是 D.零的立方根是零13、下列命题中,正

16、确的个数有( ) 1的算术平方根是1;(-1)2的算术平方根是-1;一个数的算术平方根等于它本身,这个数只能是零；-4没有算术平方根.毛 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14、一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是（ ）A、1B、0C、1或0D、1或0或115、两个连续自然数，前一个数的算术平方根是x，则后一个数的算术平方根是（ ）A、x1B、x1C、D、16、下列说法正确的是（ ）A. 无限小数是无理数 B. 不循环小数是无理数C. 无理数的相反数还是无理数 D. 两个无理数的和还是无理数17、下列说法正确的是( ) A一个数的立方根一定比这个数小 B.一个数的算术平方根一定是正

17、数 C.一个正数的立方根有两个 D.一个负数的立方根只有一个，且为负数18、下列说法正确的有（ ）无理数包括正无理数，0和负无理数；无理数都可以用数轴上的点表示；数轴上的点表示无理数；实数与数轴上的点是一一对应关系 A1个 B2个 C3个 D4个二、填空题19、的相反数是 ；绝对值是 ；20、比较大小： 3.14， 1.5；21、在与之间，整数个数是 个；22、在数轴上一个点到原点距离为，则这个数为 ；23、表示 的算术平方根；的立方根为 ；24、的算术平方根是 ，的立方根是 ；25、的算术平方根为_；的平方根是_，26、如果的平方根是4，那么x ，的平方根是 ；27、已知+ (x-2)2=0

18、,则xy=_28、若，则的值为_；29、若，则x= 若，则x= 30、在两个连续整数和之间，那么ab的的平方根是 . 31、一个正数的两个平方根是，则32、若x-2的平方根为2，3x+y+1的立方根为3，则x2+y2平方根为_.3、 解答题33、 计算：（1） (2) （4）(3) 解方程（1） （2）35、若和互为相反数，求的立方根值.36、已知是nm3的算术平方根，是m2n的立方根，求BA的平方根单元综合演练（B）一、填空题1、（-0.7）2的平方根是 2、若=25,=3,则a+b= 3、已知一个正数的两个平方根分别是2a2和a4，则a的值是 4、 _5、若m、n互为相反数，则_6、若 ，则a_07、若有意义，则x的取值范围是 8、16的平方根是4”用数学式子表示为 9、大于-，小于的整数有_个。10、一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_ _，x=_ _。11、当时，有意义。12、当时，有意义。13、当时，有意义。14、当时，式子有意义。15、若有意义，则能取的最小整数为 二、选择题1 9的算术平方根是（ ） A-3 B3 C3 D812下列计算正确的是（ ）A=2 B=9 C. D.3下列说法中正确的是（ ） A9的平方根是3 B的算术平方根是2 C. 的算术平方根是4 D. 的平方根是24 64的平方根是（ ）A8 B4 C2 D5 4的平方的倒数的算