专题1：圆磁场问题

1、带电粒子在圆形磁场中带电粒子在圆形磁场中 的运动的运动 结论结论1：对准圆心射入：对准圆心射入,必定沿着圆心射出必定沿着圆心射出。 例例题：题：电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转 技术实现的。电子束经过电压为技术实现的。电子束经过电压为U U的加速电场后，进入的加速电场后，进入 一圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。一圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。 磁场区的中心为磁场区的中心为O O，半径为，半径为r r。当不加磁场时，电子束。当不加磁场时，电子束 将通过将通过O O点而打到屏幕的中心点而打到屏幕的中心M M点。为了让电子

2、束射到点。为了让电子束射到 屏幕边缘屏幕边缘P P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度， 此时磁场的磁感应强度此时磁场的磁感应强度B B应为多少？应为多少？ /2 R /2 如图，虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面向里的如图，虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面向里的 匀强磁场匀强磁场B B。电子束沿圆形区域的直径方向以速度。电子束沿圆形区域的直径方向以速度v v射入射入 磁场，经过磁场区后，电子束运动的方向与原入射方向磁场，经过磁场区后，电子束运动的方向与原入射方向 成成角。设电子质量为角。设电子质量为m m，电荷量为，电荷量为e e，不计电子之间的，不计电子之

3、间的 相互作用力及所受的重力。求：相互作用力及所受的重力。求： （1 1）电子在磁场中运动轨迹的半径）电子在磁场中运动轨迹的半径R R； （2 2）电子在磁场中运动的时间）电子在磁场中运动的时间t t； （3 3）圆形磁场区域的半径）圆形磁场区域的半径r r。 v B O r v 解：解：（1 1） eB mv R （2 2）由几何关系得：圆心角：由几何关系得：圆心角： eB m Tt 2 （3 3）由如图所示几何关系可知，由如图所示几何关系可知， R r tan 2 2 tan eB mv r 所以：所以： 例例题题：在圆形区域的匀强磁：在圆形区域的匀强磁 场的磁感应强度为场的磁感应强度为B

4、 B，一群速，一群速 率不同的质子自率不同的质子自A A点沿半径方点沿半径方 向射入磁场区域，如图所示，向射入磁场区域，如图所示， 已知该质子束中在磁场中发已知该质子束中在磁场中发 生偏转的最大角度为生偏转的最大角度为1061060 0，圆，圆 形磁场的区域的半径为形磁场的区域的半径为R R，质，质 子的质量为子的质量为m m，电量为，电量为e e，不，不 计重力，则该质子束的速率计重力，则该质子束的速率 范围是多大？范围是多大？ 3 4 BeR v m O1 O2 O3 O4 结论结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和：对准圆心射入，速度越大，偏转角和 圆心角都越小，运动时间越短。圆心角都

5、越小，运动时间越短。 v O tR 结论结论3 3：运动速度：运动速度v v相同相同, ,方向不同，弧长越长对应方向不同，弧长越长对应 时间越长时间越长。( (直径对应的弧最长直径对应的弧最长) ) 例题：例题：如图，半径为如图，半径为 r r=3=31010 2 2m m的圆形区域内有一匀强磁 的圆形区域内有一匀强磁 场场B B=0.2T=0.2T，一带正电粒子以速度，一带正电粒子以速度v v0 0=10=106 6m/sm/s的从的从a a点处射入点处射入 磁场，该粒子荷质比为磁场，该粒子荷质比为q q/ /m m=10=108 8C/kgC/kg，不计重力。若要使，不计重力。若要使 粒子

6、飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应 如何（以如何（以v v0 0与与oaoa的夹角表示）？最大偏转角多大？的夹角表示）？最大偏转角多大？ 半径确定时，通过的弧越半径确定时，通过的弧越 长，偏转角度越大。而弧小于半长，偏转角度越大。而弧小于半 个圆周时，弦越长则弧越长。个圆周时，弦越长则弧越长。 R R= =mv/Bq=5mv/Bq=51010- -2 2m mrr Oa B b = 37= 37，sinsin = r/R= r/R 最大偏转角为最大偏转角为 2 2 = 74= 74。 例题：如图所示，在真空中半径例题：如图所示，在真

7、空中半径r r3.03.01010 2 m2 m的圆 的圆 形区域内，有磁感应强度形区域内，有磁感应强度B B0.2 T0.2 T，方向如图的匀强，方向如图的匀强 磁场，一批带正电的粒子以初速度磁场，一批带正电的粒子以初速度v v0 01.01.010106 6 m/s m/s， 从磁场边界上直径从磁场边界上直径abab的一端的一端a a沿着各个方向射入磁场，沿着各个方向射入磁场， 且初速度方向与磁场方向都垂直，该粒子的比荷为且初速度方向与磁场方向都垂直，该粒子的比荷为 q q/ /m m1.01.010108 8 C/kg C/kg，不计粒子重力，不计粒子重力 (1)(1)粒子的轨迹半径；粒

8、子的轨迹半径； (2)(2)粒子在磁场中运动的最长时间；粒子在磁场中运动的最长时间； (3)(3)若射入磁场的速度改为若射入磁场的速度改为v v0 03.03.010105 5 m/s m/s，其他条，其他条 件不变，试用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现的件不变，试用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现的 区域区域(sin37(sin370.60.6，cos37cos370.8)0.8) V V V 所有电子的轨迹圆半径相等，且均过所有电子的轨迹圆半径相等，且均过 O点。这些轨迹圆的圆心都在以点。这些轨迹圆的圆心都在以O为圆为圆 心，半径为心，半径为r的且位于第的且位于第象限的四分象限的四分 之一

9、圆周上，如图所示。之一圆周上，如图所示。 电子由电子由O点射入第点射入第象限做匀速象限做匀速 圆周运动圆周运动 2 00 0 vmv ev Bm r= reB 222 0 11 2()(1)() 422 mv Srr eB min 即所有出射点均在以坐标即所有出射点均在以坐标(0，r)为圆心的圆弧为圆心的圆弧abO上，显然，上，显然， 磁场分布的最小面积磁场分布的最小面积应是实线应是实线1和圆弧和圆弧abO所围的面积，由几何所围的面积，由几何 关系得关系得 由图可知，由图可知，a、b、c、d 等点就是各电等点就是各电 子离开磁场的出射点，均应满足方程子离开磁场的出射点，均应满足方程 x2 +

10、(ry)2=r2。 222 2 0 22 1 2()(1) 422 m vr Sr e B 设设P(x，y)为磁场下边界上的为磁场下边界上的 一点，经过该点的电子初速度与一点，经过该点的电子初速度与x 轴夹角为轴夹角为 ，则由图可知：，则由图可知： x = rsin ， y = rrcos ， 得得: x2 + (yr)2 = r2。 所以磁场区域的下边界也是半径为所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为，圆心为(0，r)的的 圆弧应是磁场区域的下边界。圆弧应是磁场区域的下边界。 磁场上边界如图线所示。磁场上边界如图线所示。 两边界之间图形的面积即为所求。两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴

11、影区域面图中的阴影区域面 积，即为磁场区域面积：积，即为磁场区域面积： R r r 结论结论4 4：如果在圆形匀强磁场区域的：如果在圆形匀强磁场区域的 边界上某点向磁场发射速率相同的边界上某点向磁场发射速率相同的 带电粒子，且粒子在磁场中运动的带电粒子，且粒子在磁场中运动的 轨道半径与磁场区域半径相同，那轨道半径与磁场区域半径相同，那 么粒子射出磁场时运动方向一定相么粒子射出磁场时运动方向一定相 同反之，粒子以相同速度平行射同反之，粒子以相同速度平行射 人这样的磁场，粒子就能会聚于磁人这样的磁场，粒子就能会聚于磁 场边界上的某点场边界上的某点。 磁会聚磁会聚 平行飞入，定点会聚平行飞入，定点会

12、聚 磁扩聚磁扩聚 定点发射，平行飞出定点发射，平行飞出 A 2 22 RRcos yRsin x 当速度变为当速度变为2V2V的带电粒子，不具备的带电粒子，不具备“磁会聚磁会聚” 的条件，因此不会都通过的条件，因此不会都通过O O点。但此题可采用极端分点。但此题可采用极端分 析法，带电微粒在磁场中经过一段半径为析法，带电微粒在磁场中经过一段半径为r=2Rr=2R的圆的圆 弧运动后，将在弧运动后，将在y y轴的右方轴的右方(x0)(x0)的区域离开磁场并做的区域离开磁场并做 匀速直线运动，如图所示。靠近上端点发射出来的带匀速直线运动，如图所示。靠近上端点发射出来的带 电微粒在突出磁场后会射向电微

13、粒在突出磁场后会射向x x同正方向的无穷远处；同正方向的无穷远处； 靠近下端点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿靠近下端点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿 出磁场。所以，这束带电微粒与出磁场。所以，这束带电微粒与x x同相交的区域范围同相交的区域范围 是是x0.x0. A x y R O/ O v 带点微粒发射带点微粒发射 装置装置 C P Q r 例题：例题：如右图所示，纸面内有宽为如右图所示，纸面内有宽为L L水平向右飞行的水平向右飞行的 带电粒子流，粒子质量为带电粒子流，粒子质量为m m，电荷量为，电荷量为q q，速率为，速率为v v0 0， 不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒

14、子都汇聚不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚 到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁 场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以 是是( (其中其中 ，A A、C C、D D选项中曲线均为半径是选项中曲线均为半径是L L的的 1/41/4圆弧，圆弧，B B选项中曲线为半径是选项中曲线为半径是L/2L/2的圆的圆)()() 0 B 0 mv qL A 如图，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的如图，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的 带电粒子，但由于带电粒子，但由于，只要速

15、度不很大，只要速度不很大， 都不会穿出磁场的外边缘。设环状磁场的内半径为都不会穿出磁场的外边缘。设环状磁场的内半径为 R1=0.5m，外半径为，外半径为 R2=1.0m，磁场的磁感应强度，磁场的磁感应强度 B=1.0T，若被缚的带电粒子的荷质比为，若被缚的带电粒子的荷质比为 q/m=4107C/kg，中空区域中带电粒子具有各个方向的，中空区域中带电粒子具有各个方向的 速度。试计算：速度。试计算： （1）粒子沿环状的半径方向）粒子沿环状的半径方向 射入磁场，不能穿越磁场的最射入磁场，不能穿越磁场的最 大速度。大速度。 （2）所有粒子不能穿越磁）所有粒子不能穿越磁 场的最大速度。场的最大速度。 O

16、 v v （1）1.5107m/s， （2）1.0107m/s。 圆形磁场临界问题圆形磁场临界问题 y O a x b v0 质点在磁场中圆周运动半径为质点在磁场中圆周运动半径为 r=mv/Bqr=mv/Bq。质点在磁场区域中的轨道是。质点在磁场区域中的轨道是 1/4 1/4 圆周，如图中圆周，如图中。 R=MN/2= mv/qBR=MN/2= mv/qB 2 圆形磁场最小面积问题圆形磁场最小面积问题 例题：例题：如图，质量为如图，质量为m m、带电量为、带电量为+ +q q的粒子以速度的粒子以速度v v从从O O点沿点沿 y y 轴正方向射入磁感应强度为轴正方向射入磁感应强度为B B的圆形匀

17、强磁场区域，磁的圆形匀强磁场区域，磁 场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b b处穿过处穿过 x x轴，速度方向与轴，速度方向与 x x 轴正方向的夹角为轴正方向的夹角为3030，同时进入场，同时进入场 强为强为E E、方向沿与与、方向沿与与x x轴负方向成轴负方向成6060角斜向下的匀强电场角斜向下的匀强电场 中，通过了中，通过了b b点正下方的点正下方的C C点。不计重力，试求：点。不计重力，试求： （1 1）圆形匀强磁场区域的最小面积；）圆形匀强磁场区域的最小面积； （2 2）C C点到点到b b点的距离点的距离h h。 y x E b O

18、 30 60 h A O2 O1 y x E b O 30 60 h A O2 O1 1) 反向延长反向延长vb交交y 轴于轴于O2 点，作点，作bO2 O的角平分的角平分 线交线交x 轴于轴于O1 ， O1即为圆形轨道的圆心，半径为即为圆形轨道的圆心，半径为R = OO1 =mv/qB，画出圆形轨迹交，画出圆形轨迹交b O2于于A点，如图虚线点，如图虚线 所示。最小的圆形磁场区域是以所示。最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆，为直径的圆， hsin 30=vt h cos 30 =2 1 qE m t2 (2) b到到C 受电场力作用，做类平抛运动受电场力作用，做类平抛运动 t=2mv/qEtan 30 qEmvvth/342 2 平行金属板平行金属板M M、N N间距离为间距离为d d。其上有一内壁光滑的半。其上有一内壁光滑的半 径为径为R R的绝缘圆筒与的绝缘圆筒与N N板相切，切点处有一小孔板相切，切点处有一小孔S S。圆筒内。圆筒内 有垂直圆筒截面方向的匀强磁场，磁感应强度为有垂直圆筒截面方向的匀强磁场，磁感应强度为B B。电子。电子 与孔与孔S S及圆心及圆心O O在同一直线上。在同一直线上。M M板内侧中点处有一质量为板内侧中点处有一质量为 m m，电荷量为，电荷量为e e的静止电子，经过的静止电子，经过M M、N N间电压为间电压