李永乐线性代数冲刺笔记打印版

1、01 2【例题1】B= 0 30 0线性代数冲剌笔记a , A2-2AB = E, r(AB-2BA+3A)=()32(A) 1(B) 2(C) 3(D)与a有关【解】J A(A-2B) = E A 可逆，且 A-1 = A-2B= A(A-2B) =(A-2B) A (A A = A1 A) = AB = BA那么，AB-2BA+3A = 3A-AB = A(3EB)又，A可逆，知r(AB-2BA+3A) = r(A(3E-B) = r(3EB)Va有|3E-B =0,又3E-B有二阶子式不得零，从而r(3E-B) = 2.【评注】本题考查矩阵逆的概念以及矩阵的乘法.设矩阵A-n阶，一阶，若

2、AB = BA =E,则祢矩阵/可逆，且3为/的逆矩阵. 由此有 A Al A.【例題2】A吹ru nu 112,，Hl是Ax = 0的基础解系，a是Ax = b的一个解.(I) 证明 a, a+ni, a + t)2,，a + n i 线性无关.(II) 证明Ax = b的任意一个解都可以由a, a + n i, a + n 2,，a + ni线性表出.【分析】n T2，Tl I是Ax=0的基础解系，那么n 1，n 2，必定线性无关，从而证明a , a + n u a + n2，a m线性无关可以用定义法。【证】(I)(用定义，重组，同乘)设 koa +ki (a + n J+k2(a +

3、th) H ki( a + n t) =0(1)即 (ko+ki+k2+ k)a+ki n i + k?n 2+ + ki n=0(2)由 Aa=b. An i=0 (i = l,，t),用 A 左乘(2),有(ko+ki + k?kt) A a +kiAn l + kjAn 2ktAn t=0即(k。+ki+k2 TkJb=O又 bHO,有 ko+ki + k?kT=0(3)带入(2)有 ki n i+k2n2 ktn i=0而n 1 T12，n i是Ax = 0的基础解系，那么Til, P2,，Til必定线性无关，从而 ki =k2 = =kt=O,带入(3)有 ko=O.所以 ko=ki

4、=k2=-= ki=0 = a , a + n u a + n 2,，a + H t 线性无关.(或用税)v n n ，Hi线性无关，a是Ax=b的解二a不能由i)n -，线性表出.=x.n】+xT)2 xn =a 无解=r(n】，z,，a)Vr (n 1,，nJ =t =r (i n 2,，a) =t+1=r( a , a + n” a + n 2 ，a + p ：) =t+l = a t a + n H a + p 2,，a + p t 线性无关.(II)设B是Ax=b的任意一个解，则p-a是Ax=O的解.从而 P a =h 1)i+Lt)2H L n t 二 B = a +1； n 1+

5、L n 2+ +h n：P = (1 Il 12 It) a +1iT)i + Lf) 2+ + !Ax=0 只有零解.s故kia i + k2a k a ,=0,又 a “ a 2,，a,线性无关=ko=ki = k2=- = k,=0.从而Aa t, Aa 2t，Aa,线性无关.充分性(用秩)因为 Aa lt Aa 2t ，Aa ,=A( a lt a ，a J ,所以r (Aa A a 2,，AaJ=r(A(a , a 2t ，a J)r(a , a 2t ，a J由Aa u Aa2,，Aa ,线性无关知r(Aa】，Aa2,，Aa J=s.而 r(a j, a 2 ，aJWs,从而 r(

6、 a H a 2,，aj=s = a ：, a ，线性无关.【例题4】设 A=a】，a 2, a 3, a J, Ax=B 的通解是1, 2, 1, lT+kl, 3, 2, 0T, B=a :, a 2t a it B + a J, V = a i 3 a 二+5 a(I) J能否由a” s线性表出(II) 能否由a：, a 2t 线性表出(III) Bx= Y求的通解.【分析】由非齐次方程组解的结构知道对应的齐次方程组的解的结构.并且由于系数矩阵没有明确给出，所以要从解的结构抽象地求解 方程组用观瘵法得到基础解系，注意基础解系是线性无关的.【证】(I) Ax=B解的结构知r(A)=3a -

7、线性表出.3由 A =0 = a + 3a2+2a：l=0= a】能由 a 二,(II)设 Xi a i+x2a 2+x3a ；i = a (由(I)知r(ai, a2t a j)3,而r( a i, a 2t a 3, a .)=4,知方程组无解，故a a ! 2a 2 + a j a = 3 t-1那么 B=a a“ a lf P + a J = a 3t a 2, a a l2 a ,+a l a J d r (B) =4. 从而 nr(B) =2.5 _3因为a 3, a a ；, a ： 2a 2+ a a J= a t 3a 2+5a 310所以5, -3, u 0 了是Bx= V

8、的一个解.由(I)知 a ! + 3a 2+2a 3=0,从而am a 2,=0,用观察法，取另一个向量使得它与2, 3, 1, 03a ： 2 a 2 + a i a i10线性无关，即-1-. -2a” a 2, a u a t 2 a 2+ a 3 a r(A)+r(B)(k-9) a,=o4& + 6a2 + ka、= 0又 kH9,故 a 3=0, a j=0a】当 k=9 时，r (B) = 1 从而 r(A) = 1 或 2.若r(A) = h则极大无关组为a“由 a i+2a2+3a3-a(=0=q =, 4=丄(l + 2tki若r (A) =2,则极大无关组为a 2 ( a

9、 , cu必定线性无关，否则r (A) = 1)1 1= a. = 一一a、- -a,33 1 3 -1 2【例题6】设人=01-1 a32, r(A) =2t则A* x=0的通解是.4-a/b【分析】若A为n阶方阵，则厂(4*) = 1,0,rr (A) = n 1 t 从而由 r(A) =2 知 r(A*) = 1 又 lAl =0 得 A A=A A= |A|E=r A的列向虽是A x=0解由解的结构知应填k,a, , T+k2D. 口，口T的形式. 【解】而由r(A) =2知r(A*) = 1所以通解由nr(B) =31=2个解向量构成.又Al=0,得府A=A A*=lAlE=0=A的

10、列向量是A x=0解.即1 0, -1 2t 1, aT, 3, 2, 4-a T.又2. 1, a T + 3, 2t 4-aT=5 4t 3 T,显然1, 0, -1 T 与5, 4, 3 T线性无关,故 kl, 0, -1 T+k25, 4, 3 丫是 = ： 有-1 -1 1 -_1 0 -f-1 0 10 1 03-1 -30 0 0,从而 a !=1 0, 1 k： a 】，其中k】为任意常数. 3-1 f1-4-1_-14 101143-1 1000对4EA x=0,有,从而a2=-5t 4, -11 T.其中也为任意常数.(2)若 8=4,则 Xi= X2=4.对OE-A x=

11、0,有-1 -1 1 -10-1-1 0 1010,从而a3=lt 0,1；其中陽为任意常数.3-1 -3000对4E-AJ x=0,有3-i r1-4-r-14 10114,从而a=l, 4, 1：其中k,为任意常数.3-1 1000【例题9】设A是3阶矩阵，且弄斗A=W+W（I）证明0是A的特征值.(II)证明a + B，aB是A的特征向童:.(III)求二次型xAx的正负惯性指数.【证】(I) V a B = B a=.2 P a g a是秩为1的矩阵.P0T)+r(p aT)=2 0 是 A的特征值.pT+3aT)(a + p) = a p a +p aTa +aB + BaB3 .2

12、从而 r(A)=r(a+(II) A(a + P ) = ( a11-=a+p +a+ p= (a+p),2 22又(a+B)HO,否则 a + p=O=a=-p=aTp=pTa=-l - ( a , B 是 3 维单位列向虽)2从而a+B是A的属于特征值2的特征向虽.2同样有A() = _*( )，且(a E，从而是A的属于特征值-*的特征向量.3 1Z)由、问的特征值是：o,又*=A (否则A不是二次型的矩阵亠円，円【例题10】设A是3阶矩阵，a 1, a 2t a 3是3维线性无关的列向虽，a】是Ax = 0的解，Aa 2= a i + 2a 2, Aa 3= a【一3a 2+2a 3(

13、I) 求A的待征值，侍征向量.(II) 判断A是否和A相似【分析】由 A a 2= a i+2 a 2，A a 3= a ! 3a 2+2a 3t a 是 Ax=0 的解，得到 A a “ a2, a 3 0, a i+2a 2, a ! 3 a 2+2a J_011 -_011 =a 1. a 2,(1302-3.记B=02-3,若di, a 2 a：J 可逆，则必有 A=a H a 2t a 3B a H a 2,002002as_l,现在问题是a “ a2, a J可不可逆呢题目中又给出了a 2t a：.线性无关，故三阶矩阵a“ a a必可逆，所以A和B相似.所以求A的侍征值和侍征向量就

14、转为求B的侍征值与待征向量.记A的特征向址为M,则B的特征向呈为P-*，所以知道了 P ,就可以求出而问A是否和A相似，由于已经求出了 A的特征值，特征向虽，则可以从相似对角化的充分必要条件给予推断也可以根据相似的传递性，由于上一步中已经得到了 A和B相似，故若有B和A相似，则有A是否和A相似.1 12-30 20【解】 Aa“ a 2 a j = o a !+2a2, a 3 a 2+2 a 3 = a H a 2 a 30_011 Ia】，a 2 a 3 Al a H a 2, a：J=B=02-3,即A和B相似.002因为a 1， a 2, (13线性无关，故a“ a2, 入=0, 2,

15、 2.)知A的特征值为0, 2.2.由已知，k.a,是A的属于特征值0的特征向虽，其中h为不等于零的任意常数.对于B的厲于特征值2的特征向量，有S=l, 2, 0 =a u a 2 a 3 2=a i+2a 2, =k2a i + 2a2是A的属于特0征值2的特征向虽，其中區为不等于審的任意常数.(II)由(I)知A只有2个线性无关的特征向虽，故A不和A相似.【评注】这是特征值与特征向量的另一种考法，由A d2= s+2 a2y Aa= a】一3 a2+2 a3 要想到相似的信息.这里缺少Aalt如果有力的话，就可以构成分块矩阵的乘法，从 而可以得到相似的信息，而这里題目中又给出了是处=0的解

16、，所以可以做分块矩阵的乘法，有1A ffi, s, a 3 0,+a】一3 02 + 2 ah = a2,1 P 0 30 2-30 02_011 记=02-3，若a】，a2, s可逆，则必有A=a29 a 3凤5,002S,现在问題是a2, 03可不可逆呢题目中又给出了 S, a“ s线性无关，故三阶矩阵a“aj必可逆，所以虫和相似所以求夹的特征值和特【例题 11】设 AJ+2A=0. r(A)=r.(I) 证明A和A相似.(II) 求 A+3EI.【分析】由F+2入=0二入=0, 2即A的特征值是，但是各有几个是不知道的，还需要具体分析.【证】(I)(用秩)r(A)=r=A=au a 2,

17、，a J中有r个向量线性无关.由A =2A=A a lt 2，a n = 2 a t, a 2,，a J = a lt a 2，a门是A的属于侍征值一2的特征向量=2有 r个线性无关的特征向虽.仇是Ax=0的基础解系=A4=0(i = l, 2, -n-r)=待征值0有n-r个线性无关的特征向故A和A相似.仃I）由（I）知 A+3E =3【评注】若矩阵力满足f(A), f(/)为人的多项式，那么虫的特征值由f(久)给出，但是各有【例题12】已知A是3阶矩阵，各行元素之和为2,且AB=O,012其中B=1-1-3T，若 B=2, 3, 4,求 AB-125rrTri=2i二2是A的特征值，1是对

18、应的特征向虽，记a i =iii1i【解】因为A各行元素之和为2,所以设 X! a ! + x2a 2 + x3a 3= P _101:21101211-1! 3!1-211-12! 4 -13xi = 5t X2= 5, X3=3,= B =5 a i 5 a 2 3a 3=5Aa 1 5 A a 2 3Aa 3= 10 a 1二*A B =A J=10 A” a i = 10入7 a i = 5 2a 1= 5 - 252_123_2-24【例题131已知人=000,B=1-1a相似,000000求可逆矩阵P使P lAP=B.【解】因为A和B相似，所以r(A)=r(B) =a=2.X-l又

19、IAE-A =-2 -3Z=( X 1) =0 = X =0t 0, 1.2对入=0,有0E-A1 x=0,-1 -2 -30 a i= 2t 1, 0T, a 2= 3t 0, 10对入=有E-A x=0,0 -2 -3_1T a 3= 1, 0, 0T.0令 Pi = a u a 2 a 3t 有 P SaPi =A-22-422-422-4由入E-B =-1A + l-2=z2 + 1-20 A-l 2=入(A-l)=000A0020 0 2= x=o, o, 1.对入=0,有OE-A x=0,-22-4_1-12-11-2T000T 们=1, 1 o B2=-2, 0, lr.0000

20、00对 X=L 有E-A x=0.-12-4_-12-4_-12-2T002-0 3= 2, 1 00010010令 P2=CPu Bs B3，有 PBP尸1由 PAP： = P BP2= P2P_1iAPi P ；=B, 15P=P1 P 3_-2-3r_1-22-1_ 3-33 则 P = P P ；=100101=-12-2为所求.010010001【例题14】已知a=l, k, 2丫是二次型x Ax=ax+ax22+kx322 XiX32 x2x3矩阵A的特征向邑用坐标变换化二次行为标准型, 并写出所用的坐标变换.【解】二次型的矩阵为0-1A= 0 a -1-1 -1 k_ a0 -T

21、 1 _1 _d + 2 =入0a 1k=4kak + 2 = k-1 -1 k -2-21 3k=2 入k(l)-(2) =2k-2=0=k=l,带入(3)有 = 带入(1)有 a=0.(1)(3)z 0由 XEA = 0 A1 111= A (X-2)(X+l)=0= A=0, 2, -1.2-1对入=0,有OE-A x=0,那761762761万1万173 丄dip o00111-1001T00111-1000T a2=l, 1 0T.-101_11-211-20-110-1101-111-201-1000对 X=-l 有一E-Ax=0,T a 3=1,1,1因为正定矩阵不同特征值的特征

22、向虽已正交，故只需单位化，得11i1PM11Y2=V2-11-201yTT22y2 ，有 x Ax=y Ay=2yi y3.【例题15】已知n阶矩阵A, B均正定.证明：AB正定的充分必要条件是AB可交换，即AB=BA.【分析】设n阶矩阵A为正定矩阵，隐含着潜台词：A是对称的，所以必要性由此推得。$正定矩阵是由二次型引出的，即若二次型xAx,则二次型正定也就是A正定，二次型负定也就是A负定，二次型不定也就是A不 定.矩阵正定的充要条件是：(I) A的特征值全大于宕.(ID A的顺序主子式全大于宕.(III) V x 0.有 x Ax0.从而证明矩阵正定就可以从这些方面入手【证】(必要性)A, B, AB 正定=A=A , B=b, AB=(AB)t =AB= (AB)T=ba=BA.(充分性)【方法一】A, B 正定=A=A . B=B =AB=A B =(BA) ；又 AB=BA=AB= (BA) = (AB),即 AB 对称.A, B正定3可逆矩阵P, Q,使得A=PP, B=QQ1T T fr T T=QABQ =QP PQ QQ =QP PQ = (PQ ) PQ 易验证PQ可逆，实对称，故(POYW 正定,即AB与正定矩阵(PQr) *PQr相似，而AB与(PQ)W均是实对称矩阵，故AB也与(