《概率论》第3章§31 随机变量及分布函数

1、第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 1/9 两类随机变量 第三章第三章 连续型随机变量连续型随机变量 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 2/9 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 3/9 ,D A d () d P A D A A 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 4/9 ab 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 5/9 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 6/9 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 7/9 ( )( ( ) ) , F xPxx x ( (可以是离散型的可以是离散型的,

2、 ,也可以是非离散型的也可以是非离散型的) ) 先考虑离散型的分布函数 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 8/9 Ox y 123 0.3 0.2 0.5 k p r.v 1,( )()xF xPx( )0P 12,( )()xF xPx(1)0.3P 23,( )()xF xPx (1)(2)PP0.5 3,( )()xF xPx()1P 0 , 1, 0.3, 12, ( ) 0.5, 23, 1 , 3 x x F x x x 123 0.3 0.5 1 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 9/9 例 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从 中任取3只球(不放回)，求

3、抽得的白球数为的 分布列及分布函数。 3 23 3 5 (). kk C C Pk C 的分布列为：的分布列为： 0 1 2 p 0.1 0.6 0.3 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 10/9 解解 求求的分布函数的分布函数： ( )()F xPx ( )F x 1 0 1 2 x 0 0 0.1 01 0.7 12 1 2 x x x x 0 1 2 p 0.1 0.6 0.3 离散型随机变量的分离散型随机变量的分 布函数布函数F(x)F(x)的性质的性质 1 lim( )0.7(1). x F xF 1 lim( )0.1(1). x F xF xx xx 第三章第三章 连续

4、型连续型随机变量随机变量 11/9 离散型随机变量的分布函数F(x)的性质 0F(x)10F(x)1，对一切，对一切(-(-，+)+)成立；成立； F(x)F(x)是是的不减函数；的不减函数； F()= lim F(x)=0 F(+ )= lim F(x)=1 xx ，； 0 00 (0)lim( )(). xx F xF xF x 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 12/9 ( )F x 1 0 1 2 x (1.5)?P (1.5)0P 0 0 0.1 01 0.7 12 1 2 x x x x F(x) 0 1 2 p 0.1 0.6 0.3 第三章第三章 连续型连续型随机变量

5、随机变量 13/9 练习：已知掷骰子出现点数的分布如下图，求其分 布函数F(x) ，并画出分布函数图形。 0 1 k ( )()= k k+1 (k=1,2,3,4,5) 6 1 6 x F xPxx x 1 2 6 p 1/ 6 1/6 1/6 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 14/9 (x)的图形如图所示： F(x) 1 1 6 0 1 2 3 4 5 6 x 0 1 k ( )()= k k+1 (k=1,2,3,4,5) 6 1 6 x F xPxx x 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 15/9 (4.5) F (4.5)(4.5) (1)(2)(3)(4) 4

6、 6 FP PPPP 1 2 6 p 1/ 6 1/6 1/6 0 1 k ( )()= k k+1 (k=1,2,3,4,5) 6 1 6 x F xPxx x 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 16/9 (4.5)(4.5) (1)(2)(3)(4) 4 6 FP PPPP 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 17/9 P(2P(2 5 5) )P(P( 5)5)P(P( 2)2) F(5)F(5)F(2)F(2) = =5/6-2/6=3/65/6-2/6=3/6 易知，对任意实数易知，对任意实数a, b (ab), a, b (ab), P(aP(a b b) )P(

7、P( b)b)P(P( a)a) F(b)F(b)F(a)F(a) P(2P(2 5 5) )P(P(=3=3)+P()+P(= =4 4) )+P(+P(= =5 5) ) 3/63/6 (25) P 1 2 6 p 1/ 6 1/6 1/6 0 1 k ( )()= k k+1 (k=1,2,3,4,5) 6 1 6 x F xPxx x 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 18/9 () ?P ab 易知，对任意实数易知，对任意实数a, b (ab), a, b (ab), P(aP(a b b) )P(P( b)b)P(P( a)a) F(b)F(b)F(a)F(a) ()()

8、()P abP abPa ( ) ( )Pcc 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 19/9 ( )F x 1 0 1 2 x ()(0)(0)PcF cF c ( )(0)F cF c 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 20/9 F(x) 1 1 6 0 1 2 3 4 5 6 x ()( )(0)PcF cF c (3.5)(3.5)(3.50)0PFF (4)(4)(40)4/63/61/6PFF 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 21/9 ()( )(0)PcF cF c ()Pc P(aP(a b b) ) F(b)F(b)F(a)F(a) (0)F c

9、()()PcPc 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 22/9 0 , 1, 0.3, 12, ( ) 0.5, 23, 1 , 3 x x F x x x (12.5)P(12.5)P (2.5)(1)(1)0.50.3(1)(10)FFPFF 0.50.3(0.30)0.5 0.5(2.5)0.5(2.5)(2.50)PFF 0.5(0.50.5)0.5 (12.5)P 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 23/9 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 24/9 小小 结结 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 25/9 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变

10、量 26/9 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 27/9 解解 求求的分布函数的分布函数： ( )()F xPx ( )F x 1 0 1 2 x 0 0 0.1 01 0.7 12 1 2 x x x x 0 1 2 p 0.1 0.6 0.3 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 28/9 离散型随机变量的分布函数F(x)的性质 0F(x)10F(x)1，对一切，对一切(-(-，+)+)成立；成立； F(x)F(x)是是的不减函数；的不减函数； F()= lim F(x)=0 F(+ )= lim F(x)=1 xx ，； 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 29/

11、9 ( )F x 1 0 1 2 x ()(0)(0)PcF cF c ( )(0)F cF c ()( )( )P abF bF a 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 30/9 0 ( )()= 1 x a F xPx x a 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 31/9 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 32/9 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 33/9 ab ( )()F xPx 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 34/9 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 35/9 离散型随机变量的分布函数F(x)的性质 0F(x)10F(x)

12、1， 对一切对一切(-(-，+)+)成立；成立； F(x)F(x)是是的不减函数；的不减函数； F()= lim F(x)=0 F(+ )= lim F(x)=1 x x ， ； ()( )(0)PcF cF c ()0Pc 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 36/9 ()( )( )P abF bF a ()P ab ()P ab ()P ab 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 37/9 连续型随机变量的分布函数的图形特点：连续型随机变量的分布函数的图形特点： 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 38/9 例 在区间4,10上任意抛掷一个质点,用表 示这个质点与原

13、点的距离,则是一个随机变量 .如果这个质点落在4,10上任一子区间内的概 率与这个区间长度成正比,求的分布函数。 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 39/9 0, x4 1 F(x)=P(x)=(x-4), 4x10 6 1, x10 F(x)F(x)的图形如下的图形如下 F(x) 1 04 1 0 x (25)P (5)(2) 1/60 FF (612)P (12)(6) 1 1/32/3 FF 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 40/9 泊松分布泊松分布 E 指数指数分布分布 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 41/9 排队论排队论是研究排队系统（又称随机服务

14、系统）的是研究排队系统（又称随机服务系统）的 数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支。数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支。 通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得 出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短 等）的统计规律。等）的统计规律。 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 42/9 服务对象要求的服务要求的服务服务机构服务机构 病人病人就诊就诊医生医生 打电话打电话通话通话交换台交换台 待降落的飞机待降落的飞机降落降落跑道指挥机构跑道指挥机构 到达港口的货船到达港口的货船装货或卸货装货或

15、卸货码头码头 进入餐馆的顾客进入餐馆的顾客就餐就餐餐位服务员餐位服务员 未到路口的汽车未到路口的汽车通过路口通过路口交通管理员或红绿灯交通管理员或红绿灯 来到车站的乘客来到车站的乘客乘车乘车公交车管理员公交车管理员 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 43/9 排队论中的研究内容之一：排队论中的研究内容之一：“等待时间等待时间”的统计规律的统计规律 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 44/9 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 45/9 指数指数分布分布 等待时间、两次通话间的间隔时间、等待时间、两次通话间的间隔时间、顾客相继顾客相继 到达时间间隔、服务时间、灯泡寿命等。到达时间间隔、服务时间、灯泡寿命等。 第三章第三章 连续型连续型随机变量随机变量 46/9 离散型、连续型、均匀分布、指数分布、离散型、连续型、均匀分布、指数分布、 分布函数图形特点、分布函数性质分布函数图形特点、分布函数性质 第三章第三