水平宽铅垂高求三角形面积

1、作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法 二次函数教学反思铅垂咼如图，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间 的距离叫厶ABC的“水平宽” （a）,中间的这条直线在 ABC内部线段的长度叫 ABC 的“铅垂高” （h） 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SAABC=1 2 ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1,过厶ABC勺三个顶点分别作出与水平线垂

2、直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫 ABC勺“水平宽”（a），中间的这条直线在 ABC内部线段的长度叫厶ABC 的“铅垂高（h） ”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S abc -ah，即三2角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.B铅垂高C坐标水平宽a图1旋转12yB13深圳）如图，在直角0）结OAa将线段0x得到线段y，点A的0（1）求点BOB原点 0顺时针x的坐标；（2）求经过A O B三点的抛物线的解析式；（3）在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使厶BOCK周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在 x轴的下方

3、，那么 PAB是否有最大面积？若有，求出此时 P点的坐标及 PAB的最大面积；若没有，请 说明理由.解：(1)B(1，3)(2)设抛物线的解析式为y=ax( x+a)，代入点 B( 1,护)，得a鱼，因此32-33(3)如图，抛物线的对称轴是直线x二一1,当点C位于对称轴与线段AB的交点设直线AB为y=kx+b.所以kb 3,解得2k b 0.时， BOCK周长最小.3 ，因此直线AB为y二x空，当2、333，3X二一1时，y仝，因此点C的坐标为(一1, 3/3 )3(4)如图，过P作y轴的平行线交AB于D当x=- 1时， PAB勺面积的最大值为罟，此时p右乎例2. (2014益阳)如图2,抛

4、物线顶点坐标为点 Q1,4),交x轴于点A(3,0), 交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限 内)上的一个动点，连结PA PB当P点运动到顶点C时，求 CAB勺铅垂高CD 及Scab ； (3)是否存在一点P，使SapaB=9 S CA，若存在，求出P点的坐标；若不8存在，请说明理由.图-2k 1,b3 所以 y2 x 3 因为C点坐标为（1 ,4）所以当x =1时，yi = 4, y2= 2所以Ct4-2=2s cab丄3 2 3（平方单位）2（3）假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,A PAB勺铅垂高为h,则h y1 y2 （ x2 2x

5、3） （ x 3） x2 3x 由 Sapae=9 Skcab得-3 （ x2 3x） - 3化8 2 8简得：4x2 12x 9 0解得，x 3将x 3代入yi x2 2x 3中，解得P点坐标为2 23 15（2,7）例3. （2015江津）如图，抛物线yx2 bx c与x轴交于A（1,0）,B（- 3 ,0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在 该抛物线的对称轴上是否存在点 Q使得 QAC勺周长最小？若存在，求出 Q点 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否 存在一点卩，使厶PBC的面积最大？，若存在，求出点 P的坐标及

6、厶PBC的面积 最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将 A(1, 0), B(3, 0)代 yx2 bx c中得 1 煮。二抛物线解析式为：yx2 2x 31对称2x 3x1 3的解 存在。理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x二直线BC与 x 1的交点即为Q点，此时 AQC周长最小 v y C的坐标为：（0,3）直线BC解析式为：y x 3 Q点坐标即为- Q(-1, 2)(3)答:存在。理由如下:S四边形BPCO有最大值， 则 S bpc 就最 大 ，P 点(X, X 2x 3)(3x0) s BPCs四边形 BPCOs BOC s四边形 BPCOS四边形BPCO= SRt BP

7、ES直角梯形PEOCbe PE 1OE(PE OC)2 21 21233 2927=-(x 3)( x 2x 3) -( x)( x 2x 3 3) = - (x -)2 2 2 22 8278当x 3时，S四边形BPCO最大值=927二Sbpc最大=97-2 28 282当 x 3时，x2 2x 3 15 点 P坐标为(3, )2424同学们可以做以下练习:1.（ 2015浙江湖州）已知如图，矩形OABC 的长 OA胡，宽 OC=1将 AOC沿 AC翻折得 APC（1） 填空：/ PCB= , P点坐标为（，）;（2）若P, A两点在抛物线y二-x2+bx+c上，求3此抛物线上；b, c的值

8、，并说明点C在（3）在（2）中的四边形MCA啲最大值及此时明理由。2.（湖北省十线 y ax2 bx 3（ a轴交于点C. （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称B( 3, 0)，与 y轴与x轴交于点M ,在，请直接写出所有符合条件的点/ P问在对称轴上是否存在点巳使厶CM为等腰三角形？若存图，若点E为第二象限抛物线上一动I的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如 点，连接 BE CE求四边形BOC面积的最大值，并求此时E点的坐标.图图3.（ 2015年恩施）如图11,在平面直角坐标系中，二次函数 y x2 bx c的图象与X轴交于A B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3, 0),与

9、y轴交于C (0,-3)点, 点P是直线BC下方的抛物线上一动点(1) 求这个二次函数的表达式.(2) 连结PO PC并把 POC沿 CO翻折，得到四边形poPc,那么是否存 在点P,使四边形poPc为菱形？若存在，请求出此时点 P的坐标；若不存在， 请说明理由.2 2 2舍去)二P点的坐标为(210 ,3 )2 2(3)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q与OB交于点F,设P(X, X2 2x 3 ), 易得，直线BC的解析式为y X 3则Q点的坐标为(x, x 3).2_ 3375=x228当x 2时,四边形ABPC勺面积最大3 15的最大值为一此时P点的坐标为3,，四边形ABPC勺面积8

10、.2425. (2015绵阳)如图，抛物线y二ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A (-4, 0)、B(2, 0)，与y轴交于点C,顶点为D. E( 1, 2)为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D的坐标;(2) 在直线EF上求一点 耳使厶CDH勺周长最小，并求出最小周长；(3) 若点K在x轴上方的抛物线上运动，当 K运动到什么位置时， EFK的面积最大？并求出最大面积.16a 4a 2b=1.4 0,所以抛物线的解析式为y4，顶点D的坐标为(一1,(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M因为EF垂直平分BC即C关于直线2

11、EG的对称点为B,连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点 H,使DH+ CH最而 CD 12(9 4)2 2小，即最小为DH + CH = DH + HB = BD = bm2 dm 2 3 13 .2 CDH勺周长最小值为 CD + DR + CH :=53 13设直线BD的解析式为y二k1x + b ，则2k1ki所以直线BD的解析式为y二？x + 3 .2由于b10,9 解得k1壬,b1 = 3 . 2， 2BC = 2 5 , CE = BC/2 = .5 , Rtbi CEGp cob得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5 , GO = 1.5 . G( 0

12、, 1.5 ).同理可求得 直线EF的解析式为y = lx + 2 .2 2联立直线BD与 EF的方程，解得使厶CDH勺周长最小的点H(? , I5 ).48过K作x轴的垂线交EF于(3)如图所示，设K (t ,It2 t 4), xFvt v xE. 2N.则 KN = yK yN =丄忙 t24 (丄 t + 3 )=丄 t22 2 2所以 S EFK = SA KFN + SA KNE =丄 KN (t + 322)+KN( 1 t ) = 2KN = t223t + 5 = (t + ?) 2 + 迢.24即当t = 3时， EFK的面积最大，最大面积为 2平面直角坐标系中三角形面积的

13、求法29，此时 K (-,4我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.1.有一边在坐标轴上:例1:如图1,平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别为(一3, 0), (0, 牛p.山卜II I I I I b * 申 冲 i I I I I1 I I Ir * fi i 分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出， ABC的边BI- T 八3),( 0,- 1),求厶ABC勺面积.呻由图形可得BC = 4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是了_十十一1111A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.2.有一边与坐标轴平行:例2

14、:如图2,三角形ABC三个顶点的坐标分别为 A (4, 1), B (4, 5), C(-1 , 2)，求 ABC的面积.分析：由A( 4, 1), B( 4 , 5)两点的横坐标相同,与y轴平行，因而AB的长度易求作AB边上的高CD ,CD的长，进而可求得三角形 ABC的面积.？?？?？?？?？?？?3.三边均不与坐标轴平行:例3：巳知平面内三点的坐标如图所示，求AMC的面积.$厂”亍分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接匚棗冷求边长,也无法求高，因此得另想办法.4.-I -IrhvaiIFkI*WPl|VIj,Ft匕*三傀|tr r p it tbp - - j/n t b -!

15、u - er * e - 8 +二1 ! T 黑 * * 1 穴a w i 丁 * i-f & M * 1-2, p a-a ah* ewr ail r n m a * v * a r t * wr r Ji :三角形面积公式的过厶ABC三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两 直线之间的距离叫 ABC的 “水平宽” (a),中间的这条直线在 ABC内部线段的长度叫厶ABC的 “铅垂高” (h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ab(=1 ah2即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半例4:已知：直线11： y= - 2X+6与x轴交于点A ,直线12： y=x+3与y轴交于点B ,直线11、12交于点C. (I )建立平面直角坐标系，画出示意图并求出C点的坐标；(II)利用阅读材料提供的方法求 ABC的面积.5.巩固练习:(1)已知：如图，直线y kx b与反比例函数y( x V 0)的图象相交于点A、 x点B，与x轴交于点C ,其中点A的坐标为(一2,4),点B的横坐标为一4.(I)试确定反比例函数的关系式;常数)的图象经过A(1,4),(H)求AOC的面积.(2)如图，在直角坐标平面内，函数y m ( x 0 ,