理学解析几何PPT学习教案

1、会计学1理学解析几何理学解析几何所有的零向量都相所有的零向量都相等等. .ab模为模为1 1的向量的向量. .零向量：零向量： 模为模为0 0的矢量的矢量. .0单位向量：单位向量：0a 定义定义1.1.21.1.2 如果两个矢量的模相等且方向如果两个矢量的模相等且方向相同，那么叫做相同，那么叫做相等向量相等向量. .记为记为ba 定义定义1.1.31.1.3 两个模相等，方向相反的矢两个模相等，方向相反的矢量叫做互为量叫做互为负（反）矢量负（反）矢量. .BA互为反矢量互为反矢量与与ABaa 的反矢量记为的反矢量记为a a第1页/共42页第2页/共42页abOAB这种求两个向量和的方法叫这种

2、求两个向量和的方法叫三角形法则三角形法则. .OBOA 、OBOAOC 定理定理1.2.11.2.1 如果把两个向量如果把两个向量 为邻边为邻边组成一个平行四边形组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量，那么对角线向量 bacbacOBBOOABbABaOAOba的和，记做与叫做两向量的向量到另一端点，从折线的端点得一折线，接连作向量为始点，以空间任意一点、设已知向量定义,1 . 2 . 1第3页/共42页OABC这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(c

3、ba （3）aa0（3）. 0)( aa第4页/共42页法则推广求和相加可由向量的三角形有限个向量naaa,21.,12112121122111nnnnnnnnAAAAOAOAaaanaOAAAOAaAAaAAaOAO的和，即个向量就是于是向量由此得一折线开始，依次引自任意点OA1A2A3A4An-1An 这种求和的方法叫做多边形法则第5页/共42页向量减法向量减法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab.2 . 2 . 1bacbacacbacb的差，并记做与叫做向量时，我们把向量，即的和等于向量与向量当向量定义第6页/共42页.,1它们的和是零向量条件是而成一个三角形

4、的充要它们的终点与始点相连，试证明顺次将与设互不共线的三向量例cba0, 0,cbaAACABCABcCAbBCaABABCcba即，那么，即有构成三角形可以，设三向量必要性证., 0,0ABCcbaCAcACccACbaACbBCaABcba可构成一个三角形，所以的反向量，因此是从而所以那么，作设充分性ABC第7页/共42页.00,3 . 2 . 1简称为数乘量与向量的乘法，我们把这种运算叫做数相反时与当相同，时与的方向，当；它的模是记做的乘积是一个向量，与向量实数定义aaaaaaa第8页/共42页, 0)1( |aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反向，|aa aa2

5、a21 第9页/共42页定理定理1.2.2 数与向量的乘积符合下列运算规律数与向量的乘积符合下列运算规律：（2 2）结合律：）结合律：)()(aa a)( （3 3）第一分配律：）第一分配律：aaa )(baba )(（4 4）第二分配律：）第二分配律：（1 1）aaaa) 1(,1第10页/共42页同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aea按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，aeaa| .|aeaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量果是一个与原向量同方向的单位向量.第11页

6、/共42页，则，且如果）（，则，且如果）（推论aaababa02011 . 2 . 1第12页/共42页第13页/共42页ABCDEFP1e1e2e3.,.,3211321321321关系式关系式线性表示的线性表示的，用用先求先求取不共面的三矢量取不共面的三矢量就可以了就可以了三点重合三点重合下只需证下只需证两组对边中点分别为两组对边中点分别为其余其余它的中点为它的中点为线为线为的连的连的中点的中点对边对边一组一组设四面体设四面体证证eeeAPeADeACeABPPPPPPEFFECDABABCD 第14页/共42页),(211AFAEAP 连接连接AF，因为，因为AP1是是AEF AEF 的

7、中线，所以有的中线，所以有 又因为又因为AF1是是ACD ACD 的中线，所以又有的中线，所以又有),(21)(2132eeADACAF ,21211eABAE 而而),(41)(2121213213211eeeeeeAP 从而得从而得)3 , 2(),(41321 ieeeAPi同理可得同理可得321APAPAP所以所以.,321三点重合，命题得证三点重合，命题得证从而知从而知PPP第15页/共42页1.2.3 1.2.3 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解.,4 . 2 . 12122112121的线性组合叫做矢量所组成的矢量与数量由矢量定义nnnnnaaaaaaaaaa

8、（共面）的则称这个向量组是共线（一个平面上），表示，他们在一条直线有向线段向量组若用同一起点的定义5 . 2 . 1第16页/共42页.03 . 2 . 1ababa，使得存在唯一的实数共线的充要条件与则，若定理. 04 . 2 . 1 baab，使得，存在不全为零的实数共线的充要条件与定理第17页/共42页.,5 . 2 . 1唯一确定被并且系数的线性组合，即可以分解成或者说矢量线性表示，可以用向量共面的充要条件是与不共线，那么向量如果向量定理cbabacbacbacbacba0,0,6 . 2 . 1321321ckbkakkkkcba使得的实数存在不全为共面的充要条件定理第18页/共42

9、页.,7 . 2 . 1321321321321321唯一确定被并且其中系数的线性组合，即可以分解成向量任意向量线性表示，或说空间可以由向量任意向量不共面，那么空间如果向量定理meeezyxzeyexemeeemeeemeee第19页/共42页.,)44 . 1, 0,) 1(6 . 2 . 12122112121关的矢量叫做线性无关性相叫做线性相关，不是线个矢量那么（使得个数在不全为零的，如果存个向量对于定义nnnnnaaanaaanaaann第20页/共42页.8 . 2 . 1是它们线性相关两向量共线的充要条件定理.7 . 4 . 1件是它们线性相关三个向量共面的充要条定理.8 . 4

10、. 1线性相关空间任何四个向量总是定理第21页/共42页第22页/共42页 一一物物体体在在常常力力F作作用用下下沿沿直直线线从从点点1M移移动动到到点点2M，以以s表表示示位位移移，则则力力F所所作作的的功功为为 cos|sFW (其中其中 为为F与与s的夹角的夹角)启示启示实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.FM1M2s第23页/共42页),(,1 . 3 . 1bababa记为之间的夹角与的角定义为他们之间不大于向量相等的向量，过一点分别作与这两个与已知空间两个非零向量定义第24页/共42页ab 内积也称为内积也称为“点积点积”.cos|baba

11、(其中其中 为为a与与b的夹角的夹角) 定义定义1.3.2定理定理1.3.1 0baba的充要条件是第25页/共42页关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 证证证证 ,2 ,2 )0, 0( ba第26页/共42页空间一点在轴上的射影空间一点在轴上的射影u AA 第27页/共42页空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uABA B ABprjlABxxeBAellABBABAlBAABl上的射影，记作在称

12、为向量，则同方向的单位向量取与上的射影向量在轴称为向量，那么向量和上的射影分别为在轴和终点的起点设向量定义,3 . 3 . 1第28页/共42页annaaannaaaaabbbbbbbbbbcbcbbaaaaba)(.)()().(5 . 3 . 1)()(4 . 3 . 1)(3 . 3 . 11 . 3 . 1),(cos|2 . 3 . 122112211定理定理定理射影相等。相等向量在同一轴上的推论为上的射影在向量向量定理第29页/共42页数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）

13、若 为数为数： ),()()(bababa 若若 、 为数为数： ).()()(baba 第30页/共42页关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .AA BB CC （可推广到有限多个（可推广到有限多个）u1a2a第31页/共42页 设设O为为一一根根杠杠杆杆L的的支支点点，有有一一力力F作作用用于于这这杠杠杆杆上上P点点处处力力F与与OP的的夹夹角角为为 ，力力F对对支支点点O的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模|FOQM sin|FOP M的的方方向向垂垂直直于

14、于OP与与F所所决决定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.实例实例LFPQO 第32页/共42页 sin|baba (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)定义定义c的方向既垂直于的方向既垂直于 a，又垂直于，又垂直于 b，指向，指向符合右手规则符合右手规则. . 关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”.abbac 第33页/共42页)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin ,0 或或)(0sin . 0sin| baba证证ba/ba/或或0 0 babba 第34页/共42页向量积模的几何意义向量积模的几何意义|ba 表示以表示以a和和b为邻边为邻边的平行四边形的面积的平行四边形的面积. sin|baba 第35页/共42页cabacbacbcacbababaabba)()4()()3()()2() 1 (8 . 3 . 1定理第36页/共42页),()(),(,)(5 . 3 . 1cbacbacbacbacba记为的混合积称为有序的向量组定义acbba 第37页/共42页0)(,9 . 3 . 1cbacba共面的充要条件是三向量定理)()(11. 3