中考隐形圆问题[共13页]

1、2019中考数学温习 隐形圆问题大全一 定点+定长1.依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。2.应用：（1）如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD=2,BC=1,ABCD,求BD的长。简析：因AB=AC=AD=2,知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上,由ABCD得DE=BC=1,易求BD=。（2）如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC边上的动点,将EBF沿EF所在直线折叠得到EBF,连接BD,则BD的最小值是. 简析：E为定点,EB为定长,B点路径为以E为圆心EB为半径的圆,作穿心线DE得最小值为。（3）ABC中,AB=4,AC

2、=2,以BC为边在ABC外作正方形BCDE,BD、CE交于点O,则线段AO的最大值为 .简析：先确定A、B点的位置,因AC=2,所以C点在以A为圆心,2为半径的圆上；因点O是点C以点B为中心顺时针旋转45度并1：2缩小而得,所以把圆A旋转45度再1：缩小即得O点路径。如下图,转化为求定点A到定圆F的最长路径,即AF+FO=3。二 定线+定角1.依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦,定角为圆周角的弧。2.应用：（1）矩形ABCD中,AB=10,AD=4,点P是CD上的动点,当APB=90时求DP的长. 简析：AB为定线,APB为定角（90）,P点路径为以AB为弦（直径）的弧,如下

3、图,易得DP为2或8。（2）如图,XOY = 45,等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动,AB = 2,那么OC的最大值为 .简析：AB为定线,XOY为定角,O点路径为以AB为弦所含圆周角为45的弧,如下图,转化为求定点C到定圆M的最长路径,即CM+MO=+1+。（3）已知A（2,0）,B（4,0）是x轴上的两点,点C是y轴上的动点,当ACB最大时,则点C的坐标为_简析：作ABC的处接圆M,当ACB最大时,圆心角AMB最大,当圆M半径最小时AMB最大,即当圆M与y轴相切时ACB最大。如下图,易得C点坐标为（0,2）或（0,-2）。（4）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax

4、2-3ax-4a的图象经过点C(0, 2),交轴于点A、B,(A点在点左侧),顶点为D.求抛物线的解析式及点A、B的坐标;将ABC沿直线BC对折,点A的对称点为A,试求A的坐标;抛物线的对称轴上是否存在点P,使BPC=BAC？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.简析：定线BC对定角BPC=BAC,则P点在以BC为弦的双弧上（关于BC对称）,如下图所示。三 三点定圆1.依据：不在同一直线上的三点确定一个圆。2.应用：ABC中,A45,ADBC于D,BD=4,CD=6,求AD的长。 简析：作ABC的外接圆,如下图,易得AD=7+5=12。四 四点共圆1.依据：对角互补的四边形四个顶点共圆

5、（或一边所对两个角相等）。2.应用：如图,在矩形ABCD中, AB=6,AD=8,P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD为矩形,若AP=2,求CF的长。 简析：因PEF=PDF=DCE=90,知D、F、C、E、P共圆,如下图,由1=2、4=5,易得APDDCF,CF：APCD：AD,得CF1.5。五旋转生圆1.如图,圆O的半径为5,A、B是圆上任意两点,且AB=6,以为AB边作正方形ABCD（点D、P在直线两侧）,若AB边绕点P旋转一周,则CD边扫过的面积为_ 。简析：CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定,一是最远点距离为PC,二是最近点距离为P到直线CD的垂线段,从而确定两个圆,C

6、D即为两圆之间的圆环,如下图。2.如图,在ABC中,BAC=90,AB=5cm,AC=2cm,将ABC绕顶点C按顺时针方向旋转至ABC的位置,则线段AB扫过区域的面积为_。简析：扫过的阴影部分旋转拼合成如下圆心角为45度的扇环。六 动圆综合1.动圆+定弦：依据直径是圆中最长的弦,知此弦为直径时,圆最小。如图, ABC中, ABC90, AB6, BC8, O为AC的中点, 过O作OEOF, OE、OF分别交射线AB、BC于E、F, 则EF的最小值为 .简析：图中显然O、E、F、B共圆,圆是动的,但弦BO5,当BO为直径时最小,所以EF最小为5.2.动圆+定线：相切时为临界值。如图, RtABC

7、中, C90, ABC30, AB6, 点D在AB边上, 点E是BC边上一点 (不与点B、C重合), 且DADE, 则AD的取值范围是 。简析：因DA=DE,可以D点为圆心以DA为半径作圆,则圆D与BC相切时,半径DE最小。E向B点移动半径增大直至D到B处（不含B点）,得2AD3。3.动弦+定角：圆中动弦所对的角一定,则当圆的直径最小时此弦长最小。已知：ABC中,B=45,C=60,D、E分别为AB、AC边上的一个动点,过D分别作DFAC于F,DGBC于G,过E作EHAB于H,EIBC于I,连FG、HI,求证：FG与HI的最小值相等。简析：可以看HI何时最小,因B、H、E、I共圆,且弦HI所对

8、圆周角一定,所以当此圆直径最小时弦HI最小,即当BE最小时,此时BEAC,解OHI可得HI的最小长度。同样可求FG的最小长度。此题可归纳一般结论：当ABC=,ACB=,BC=m时,FG和HI的最小值均为m*sin*sin。达标测试： 1.BCAC6,BCA90,BDC45,AD2,求BD.2.如图,将线段AB绕点A逆时针旋转60得到线段AC,继续旋转（0120）得到线段AD,连接CD,BD,则BDC的度数为 .3.如图,在边长为23的等边ABC中,动点D、E分别在BC、AC边上,且保持AE=CD,连接BE、AD,相交于点P,则CP的最小值为_.4.如图,E是正方形ABCD的边AB上的一点,过点

9、E作DE的垂线交ABC的外角平分线于点F,求证：FEDE.5.当你站在博物馆的展厅中时,你知道站在何观赏最理想吗？如图,设墙壁上的展品最高点P距离地面2.5米,最低点Q距地面2米,观察者的眼睛E距地面1.6米,当视角PEQ最大时,站在此处观赏最理想,则此时E到墙壁的距离为 米.6.如图直线y=x+2分别与x轴,y轴交于点M、N,边长为1的正方形OABC的一个顶点O在坐标系原点,直线AN与MC交于点P,若正方形OABC绕点O旋转一周,则点P到点（0, 1）长度的最小值是_.2016淮安填压）如图,在RtABC中,C90,AC6,BC8,点F在边AC上,并且CF2,点E为边BC上的动点,将CEF沿

10、直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是 【分析】如图,延长FP交AB于M,当FPAB时,点P到AB的距离最小,利用AFMABC,得到求出FM即可解决问题【解答】解：如图,延长FP交AB于M,当FPAB时,点P到AB的距离最小（点P在以F为圆心CF为半径的圆上,当FPAB时,点P到AB的距离最小）AA,AMFC90,AFMABC,CF2,AC6,BC8,AF4,AB10,FM3.2,PFCF2,PM1.2点P到边AB距离的最小值是1.2故答案为1.2（2016无锡填空倒2）如图,已知OABC的顶点A、C分别在直线x1和x4上,O是坐标原点,则对角线OB长的最小值为 【分析】过

11、点B作BD直线x4,交直线x4于点D,过点B作BEx轴,交x轴于点E则OB由于四边形OABC是平行四边形,所以OABC,又由平行四边形的性质可推得OAFBCD,则可证明OAFBCD,所以OE的长固定不变,当BE最小时,OB取得最小值,从而可求【解答】解：过点B作BD直线x4,交直线x4于点D,过点B作BEx轴,交x轴于点E,直线x1与OC交于点M,与x轴交于点F,直线x4与AB交于点N,如图：四边形OABC是平行四边形,OABBCO,OCAB,OABC,直线x1与直线x4均垂直于x轴,AMCN,四边形ANCM是平行四边形,MANNCM,OAFBCD,OFABDC90,FOADBC,在OAF和B

12、CD中,OAFBCDBDOF1,OE4+15,OB由于OE的长不变,所以当BE最小时（即B点在x轴上）,OB取得最小值,最小值为OBOE5故答案为：5（2017南通选压）如图,矩形ABCD中,AB10,BC5,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上,且AECG,BFDH,则四边形EFGH周长的最小值为（）A5B10C10D15【分析】作点E关于BC的对称点E,连接EG交BC于点F,此时四边形EFGH周长取最小值,过点G作GGAB于点G,由对称结合矩形的性质可知：EGAB10、GGAD5,利用勾股定理即可求出EG的长度,进而可得出四边形EFGH周长的最小值【解答】解：作点E关于BC的对称点E,

13、连接EG交BC于点F,此时四边形EFGH周长取最小值,过点G作GGAB于点G,如图所示AECG,BEBE,EGAB10,GGAD5,EG5,C四边形EFGH2EG10故选：B（2018镇江选压）如图,一次函数y2x与反比例函数y（k0）的图象交于A,B两点,点P在以C（2,0）为圆心,1为半径的C上,Q是AP的中点,已知OQ长的最大值为,则k的值为（）ABCD【分析】作辅助线,先确定OQ长的最大时,点P的位置,当BP过圆心C时,BP最长,设B（t,2t）,则CDt（2）t+2,BD2t,根据勾股定理计算t的值,可得k的值【解答】解：连接BP,由对称性得：OAOB,Q是AP的中点,OQBP,OQ

14、长的最大值为,BP长的最大值为23,如图,当BP过圆心C时,BP最长,过B作BDx轴于D,CP1,BC2,B在直线y2x上,设B（t,2t）,则CDt（2）t+2,BD2t,在RtBCD中,由勾股定理得：BC2CD2+BD2,22（t+2）2+（2t）2,t0（舍）或,B（,）,点B在反比例函数y（k0）的图象上,k；故选：C（2018无锡）如图,已知XOY60,点A在边OX上,OA2过点A作ACOY于点C,以AC为一边在XOY内作等边三角形ABC,点P是ABC围成的区域（包括各边）内的一点,过点P作PDOY交OX于点D,作PEOX交OY于点E设ODa,OEb,则a+2b的取值范围是 【分析】

15、作辅助线,构建30度的直角三角形,先证明四边形EODP是平行四边形,得EPODa,在RtHEP中,EPH30,可得EH的长,计算a+2b2OH,确认OH最大和最小值的位置,可得结论【解答】解：过P作PHOY交于点H,PDOY,PEOX,四边形EODP是平行四边形,HEPXOY60,EPODa,RtHEP中,EPH30,EHEPa,a+2b2（a+b）2（EH+EO）2OH,当P在AC边上时,H与C重合,此时OH的最小值OCOA1,即a+2b的最小值是2；当P在点B时,OH的最大值是：1+,即（a+2b）的最大值是5,2a+2b5（2018苏州）如图,已知AB8,P为线段AB上的一个动点,分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE,点P,C,E在一条直线上,DAP60M,N分别是对角线AC,BE的中点当点P在线段AB上移动时,点M,N之间