福建省三明市B片区高三数学上学期期末试卷 文（含解析）

1、福建省三明市b片区2015届高三上学期期末数学试卷（文科） 一.选择题1（5分）已知ar，复数i2ai在复平面内对应的点在直线xy=0上，则实数a的值是（）a1b0c1d22（5分）已知集合a=x|1x4，集合b=x|xa，如图中阴影部分表示的集合是c=x|2x4，则a的值为（）a1b2c3d43（5分）在等差数列an中，a2=2，a3=4，则a10=（）a12b14c16d184（5分）设a0，4，则使方程x2+ax+1=0有解的概率为（）abcd5（5分）如果执行右边的程序框图，若输入x=11，那么其输出的结果是（）a0b1c2d36（5分）已知sin（）=2sin（），则等于（）ab3c

2、d7（5分）已知=（4，3），=（2，1），如果与垂直，则|的值为（）a1bc5d28（5分）已知双曲线=1的一个焦点在圆x2+y24x5=0上，则双曲线的渐近线方程为（）aby=xcd9（5分）某三棱锥的侧视图，俯视图如图所示，则该三棱锥正视图的面积是（）a2b3cd10（5分）下列四个命题中是假命题的是（）a在abc中，角a，b所对边分别为a，b则sinasinb成立的充要条件是abb若命题p：x（0，+），sinxx0，命题q：x0（0，+），e0，则pq为真命题c若，则存在唯一的实数，使=d在一个22列联表中，由计算得k2=6.721，则有99%的把握确认这两个变量间有关系；可以参考独

3、立性检验临界表 p（k2k）0.0100.0050.001k6.5357.87910.82811（5分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=ax+1有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）a（1，）b（1，c（，1），+）d（，1）（，+）12（5分）设m是一个非负整数，m的个位数记作g（m），如g=4，g（17）=7，g（0）=0，称这样的函数为尾数函数若a，b，cn，则给出的下列有关尾数函数的结论中：g（a+b）=g（a）+g（b）；若ab=10c，则g（a）=g（b）；g（abc）=g（g（a）g（b）g（c）；g（32015）=9以上正确的有（）a1个b2个c3个d4个二.填空题1

4、3（4分）若实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为14（4分）设某高校2015届高三女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法求得的回归直线方程为=0.85x85.71，若该校2015届高三某女生身高增加1cm，则其体重约增加kg15（4分）f（x）是以5为周期的奇函数，f（3）=4，且cos，则f（9cos2）=16（4分）我国齐梁时代的数学家祖恒（公元前56世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则买家不容异”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于平面的任何平面所截如果截得的两个截面的面积总是相等

5、，那么这两个几何体的体积相等，设由椭圆x所围成的平面图形绕y轴旋转一周得到的几何体（成为椭球体）体积为v1：由直线y=2x，x=1所围成的平面图形（如图阴影部分）绕y轴旋转一周所得到的几何体条件为v2：根据祖恒原理等知识，通过考察v2可得到v1的体积为三.解答题17（12分）已知等比数列an的前n项和为sn，且a2=，q=（1）求出数列an的通项公式an和前n项和sn（2）若bn=3n+log3（3sn），求数列的前n项和tn18（12分）某校2015届高三文，理各两个班在11月份进行了一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：已知用分层抽样方法在分数400，480）的考生中随机抽取27名考生进行

6、质量分析，其中文科考生抽取了7名（1）求a的值（2）如图是文科不低于550分的5名考生的语文成绩（其中语文满分为150分）的茎叶图，请计算这5名考生的语文成绩的方差；（3）在成绩不低于550分的所有考生中抽取2名进行治疗分析，求至少抽到一名理科生的概率 0，400400，480480，550550，750文科考生6735195理科考生53a41219（12分）如图，四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，pa=pd=4，底面abcd是边长为4的正方形，若m为pc的中点（1）求证：pa平面bdm；（2）求三棱锥pbcd的体积；（3）在ab上是否存在一个点n，使mn平面pcd，若存在，试确定n

7、的位置；若不存在请说明理由20（12分）已知=（3cosx，sinx），=（2cosx，2cosx），函数f（x）=（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间（2）在abc中，锐角b满足f（b）=0，b=2，求a+c的取值范围21（12分）如图，已知圆o：x2+y2=a2（a0）过抛物线c：y2=2px（p0）的焦点f，过点f且与圆o相切的直线被抛物线c截得的弦长为4（1）求圆o和抛物线c的标准方程；（2）若p为抛物线c在第一象限内的点，抛物线在点p处的切线y=kx+b（设为l1）被圆o截得的弦长为，直线l2过点p且垂直直线l1，设l2与抛物线的另一交点为m，求弦pm的长22（14分）已知函数f

8、（x）=lnx，g（x）=ax2x（a0）（1）a=0时，令h（x）=f（x）g（x），求h（x）的极值（2）当a=1时，求证：f（x）g（x）（3）若y=f（x）与y=g（x）的图象交于点m，n两点，过线段mn的中点作x轴的垂线分别与f（x）的图象和g（x）的图象交于s，t点，以s为切点作f（x）的切线l1，以t为切点作g（x）的切线l2是否存在实数a使得l1l2，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由福建省三明市b片区2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题1（5分）已知ar，复数i2ai在复平面内对应的点在直线xy=0上，则实数a的值是（）a1b0c1d

9、2考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：化简复数，求出对应点，代入直线方程求解即可解答：解：复数i2ai=1ai，复数在复平面内对应的点在直线xy=0上，可得1+a=0，解得a=1故选：a点评：本题考查复数的基本运算，基本知识的考查2（5分）已知集合a=x|1x4，集合b=x|xa，如图中阴影部分表示的集合是c=x|2x4，则a的值为（）a1b2c3d4考点：venn图表达集合的关系及运算 专题：集合分析：由venn图可知中阴影部分表示的集合为ab，然后利用集合的基本运算进行求解即可解答：解：根据题意，图中阴影部分表示集合a、b的公共部分，即ab=c，又由a=x|1x

10、4，集合b=x|xa，c=x|2x4，ca，且cb，a=2，故选：b点评：本题考查venn图表示集合，关键是分析阴影部分表示的集合，属基础题3（5分）在等差数列an中，a2=2，a3=4，则a10=（）a12b14c16d18考点：等差数列的通项公式 专题：计算题分析：根据所给的等差数列的两项做出等差数列的公差，写出等差数列的第十项的表示式，用第三项加上七倍的公差，代入数值，求出结果解答：解：等差数列an中，a2=2，a3=4，d=a3a2=42=2，a10=a3+7d=4+14=18故选d点评：本题考查等差数列的公差求法，考查等差数列的通项公式，这是一个等差数列基本量的运算，是一个数列中最常

11、出现的基础题4（5分）设a0，4，则使方程x2+ax+1=0有解的概率为（）abcd考点：几何概型 专题：概率与统计分析：利用方程的解，求出a的范围，然后利用几何概型求解即可解答：解：方程x2+ax+1=0有解，可得a240，解得a2，或a2，a0，4，使方程x2+ax+1=0有解的概率为：故选：c点评：本题考查几何概型的求法，方程的解的求法，考查计算能力5（5分）如果执行右边的程序框图，若输入x=11，那么其输出的结果是（）a0b1c2d3考点：程序框图 专题：计算题；算法和程序框图分析：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后是调整输入变量x的值，计算并输出对数值y解答：解：模拟程序框图的

12、运行过程，得；x=11，x0？，否；x=11+5=6，x0？，否；x=6+5=1，x0？，否；x=1+5=4，x0？，是；y=log24=2，输出y=2故选：c点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目6（5分）已知sin（）=2sin（），则等于（）ab3cd考点：运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：运用诱导公式化简已知等式可得sin=2cos，代入所求分式化简即可得解解答：解：sin（）=2sin（），可得sin=2cos，=，故选：a点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查7（5分）已知=（4，3），=（2，1），如果与

13、垂直，则|的值为（）a1bc5d2考点：平面向量数量积的运算；向量的模 专题：平面向量及应用分析：由垂直关系可得的值，进而由模长公式可得所求解答：解：=（4，3），=（2，1），=（4+2，31），又与垂直，（）=2（4+2）+（31）=0，解得=1，|=|+|=2故选：d点评：本题考查平面向量数量积的运算以及模长公式，涉及向量的垂直关系，属基础题8（5分）已知双曲线=1的一个焦点在圆x2+y24x5=0上，则双曲线的渐近线方程为（）aby=xcd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：确定双曲线=1的右焦点为（，0）在圆x2+y24x5=0上，求出m的值，即可求

14、得双曲线的渐近线方程解答：解：由题意，双曲线=1的右焦点为（，0）在圆x2+y24x5=0上，（）245=0=5m=16双曲线方程为=1双曲线的渐近线方程为故选b点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题9（5分）某三棱锥的侧视图，俯视图如图所示，则该三棱锥正视图的面积是（）a2b3cd考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据几何体三视图的特征，得出该几何体正视图三角形的底边长与底边上的高，即可求出它的面积解答：解：根据几何体三视图的特征，得；该几何体的正视图是三角形，且三角形的底边长为俯视图中的长，是=；底边上的高为侧视图中的高，是=；正视图

15、的面积为=故选：c点评：本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图之间的关系得出正视图的形状特征，是基础题10（5分）下列四个命题中是假命题的是（）a在abc中，角a，b所对边分别为a，b则sinasinb成立的充要条件是abb若命题p：x（0，+），sinxx0，命题q：x0（0，+），e0，则pq为真命题c若，则存在唯一的实数，使=d在一个22列联表中，由计算得k2=6.721，则有99%的把握确认这两个变量间有关系；可以参考独立性检验临界表 p（k2k）0.0100.0050.001k6.5357.87910.828考点：命题的真假判断与应用 专题：推理和证明分析：根据

16、正弦定理的推论（边角互化）可判断a；根据复合命题真假判断的真值表，可判断b；根据向量共线的充要条件，可判断c；根据独立性检验的方法可判断d解答：解：在abc中，abab2rsina2rsinbsinasinb，即“ab”是“sinasinb”成立的充要条件，a为真命题当x（0，+）时，令y=sinxx，则y=cosx10恒成立，故y=sinxx在（0，+）上为减函数，故y|x=0=0，故命题p：x（0，+），sinxx0，正确；当x0（0，+），e0恒成立，故命题q：x0（0，+），e0，错误；则pq为真命题，若=时，对实数，均使=，故c为假命题；在一个22列联表中，由计算得k2=6.7216

17、.535，则有99%的把握确认这两个变量间有关系；故d为真命题；故选：c点评：本题以命题的真假判断为载体考查了正弦定理，全称命题与特称命题，向量共线，独立性检验等知识点，难度中档11（5分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=ax+1有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）a（1，）b（1，c（，1），+）d（，1）（，+）考点：根的存在性及根的个数判断 专题：计算题；作图题；函数的性质及应用分析：可化为函数f（x）=与函数g（x）=ax+1有三个不同的交点，作图象求解解答：解：方程f（x）=ax+1有三个不同的实数根，函数f（x）=与函数g（x）=ax+1有三个不同的交点，作函数f（x）

18、=与函数g（x）=ax+1的图象如下，直线m的斜率k=，直线n的斜率k=1；结合图象可得，实数a的取值范围是（1，）；故选a点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题12（5分）设m是一个非负整数，m的个位数记作g（m），如g=4，g（17）=7，g（0）=0，称这样的函数为尾数函数若a，b，cn，则给出的下列有关尾数函数的结论中：g（a+b）=g（a）+g（b）；若ab=10c，则g（a）=g（b）；g（abc）=g（g（a）g（b）g（c）；g（32015）=9以上正确的有（）a1个b2个c3个d4个考点：命题的真假判断与应用 专题：推理和证明分析：根据

19、尾数函数的定义，分别对四个结论进行判断，即可得到答案解答：解：由题意得：当a=b=5时，g（a+b）=0，g（a）+g（b）=10，故错误，g（ab）=g（10c）=g（0）=0=g（a）g（b），g（a）=g（b），故正确，gg（a）g（b）g（c）=g（abc），故正确，g（32015）=g（101）10073=g（7）=7，故错误，故选：b点评：本题考查了新定义问题，考查了求函数值问题，是一道基础题二.填空题13（4分）若实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为3考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值解答：解：作

20、出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点b时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即b（1，1），代入目标函数z=2x+y得z=2+1=3即目标函数z=2x+y的最大值为3故答案为：3点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法14（4分）设某高校2015届高三女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法求得的回归直线方程为=0.85x85.71，若该校201

21、5届高三某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg考点：线性回归方程 专题：计算题；概率与统计分析：根据回归直线方程为=0.85x85.71，利用系数的意义，即可得出结论解答：解：因为回归直线方程为=0.85x85.71，所以该校2015届高三某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故答案为：0.85点评：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于基础题15（4分）f（x）是以5为周期的奇函数，f（3）=4，且cos，则f（9cos2）=4考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质 专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的求值分析：由二倍角公式可得cos2=2cos2

22、1=；再由函数的奇偶性与周期性求函数值解答：解：cos，cos2=2cos21=；f（9cos2）=f（7），又f（x）是以5为周期的奇函数，f（3）=4；f（7）=f（3）=f（3）=4；故答案为：4点评：本题考查了三角恒等式的应用及函数的性质应用，属于基础题16（4分）我国齐梁时代的数学家祖恒（公元前56世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则买家不容异”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于平面的任何平面所截如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等，设由椭圆x所围成的平面图形绕y轴旋转一周得到的几何体（成为椭球体）体积为v1：由直线y=2x，x=1所围成

23、的平面图形（如图阴影部分）绕y轴旋转一周所得到的几何体条件为v2：根据祖恒原理等知识，通过考察v2可得到v1的体积为考点：曲线与方程 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：先求出v2，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，可得结论解答：解：由题意，v2=142=，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，所以v1=故答案为：点评：此题考查了圆柱的体积公式及圆锥的体积公式，还考查了学生空间的想象能力及计算技能三.解答题17（12分）已知等比数列an的前n项和为sn，且a2=，q=（1）求出数列an的通项公式an和前n项和sn（2）若bn=3n+log3（3

24、sn），求数列的前n项和tn考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）通过a2=，q=可得首项和公比，计算即得结论；（2）通过（1）可知bn=2n+1，通过对分离分母，并项相加即得结论解答：解：（1）设等比数列an的公比为q，由a2=，q=可得：a1=2，q=，an=，sn=3（1）；（2）由（1）可知sn=3（1），bn=3n+log3（3sn）=2n+1，=（），tn=（+）=（）=点评：本题考查求数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，分离分母、利用并项相加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题18（12分）某校2015届高三文，理各两个班在11月份进行了一次质量

25、考试，考生成绩情况如下表所示：已知用分层抽样方法在分数400，480）的考生中随机抽取27名考生进行质量分析，其中文科考生抽取了7名（1）求a的值（2）如图是文科不低于550分的5名考生的语文成绩（其中语文满分为150分）的茎叶图，请计算这5名考生的语文成绩的方差；（3）在成绩不低于550分的所有考生中抽取2名进行治疗分析，求至少抽到一名理科生的概率 0，400400，480480，550550，750文科考生6735195理科考生53a412考点：茎叶图 专题：概率与统计分析：（1）根据分层抽样即可得到结论；（2）根据茎叶图的知识得到这5名考生的语文成绩，根据方差的公式计算即可；（3）成绩不

26、低于550分的文科5名考生分别a，b，c，d，e，成绩不低于550分的理科2名考生分别a，b，一一列举出所有的基本事件，根据概率公式计算即可解答：解：（1）根据题意=，解得a=100，（2）根据茎叶图可知，这5名考生的语文成绩分别为115，120，125，128，132，=（115+120+125+128+132）=124，这5名考生的语文成绩的方差s2=（115124）2+（120124）2+（125124）2+（128124）2+（132124）2=35.6（3）成绩不低于550分的文科5名考生分别a，b，c，d，e，成绩不低于550分的理科2名考生分别a，b，则所有可能出现的结果有ab，

27、ac，ad，ae，aa，ab，bc，bd，be，ba，bb，cd，ce，ca，cb，de，da，db，ea，eb，ab，总计21种，设至少抽到一名理科生的事件为m，则事件m发生的结果共有aa，ab，ba，bb，ca，cb，da，db，ea，eb，ab，共11种，故p（m）=，即在成绩不低于550分的所有考生中抽取2名进行质量分析，求至少抽到一名理科生的概率为点评：本题考查的知识点是方差，茎叶图，分层抽样，古典概型的概率问题，难度不大，属于基础题型19（12分）如图，四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，pa=pd=4，底面abcd是边长为4的正方形，若m为pc的中点（1）求证：pa平面b

28、dm；（2）求三棱锥pbcd的体积；（3）在ab上是否存在一个点n，使mn平面pcd，若存在，试确定n的位置；若不存在请说明理由考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）在平面bdm内找与pa平行的直线即可；（2）取ad的中点q，证明pq平面abcd，利用体积公式，求三棱锥pbcd的体积；（3）n为ab中点时，mn平面pcd，利用线面垂直的评定定理，即可得出结论解答：（1）证明：ac与bd的交点o，连结mo，底面abcd为矩形，o为ac的中点，又m是ac的中点，mopa，又pa平面bdm，mo平面bdm，pa平面bdm

29、；（2）解：取ad的中点q，pa=pd，pqad，平面pad平面abcd，平面pad平面abcd=ad，pq平面abcd，pa=pd=ad=4，pq=2，底面abcd是边长为4的正方形，sbcd=8，vpbcd=；（3）解：n为ab中点时，mn平面pcd，n为ab中点时，取pd的中点r，连接mn，mr，ar，rmdc，an，rman且rm=an，四边形anmr是平行四边形，arnm，由（2）pq平面abcd，pqcd，cdad，pqad=q，cd平面pad，ar平面pad，cdar，pa=pd=ad=4，r为pd的中点，arpd，ar平面pcd，arnm，mn平面pcd，n为ab中点时，mn平

30、面pcd点评：本题主要考查线面垂直的判定与性质，线面平行的判定与性质，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（12分）已知=（3cosx，sinx），=（2cosx，2cosx），函数f（x）=（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间（2）在abc中，锐角b满足f（b）=0，b=2，求a+c的取值范围考点：平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法 专题：平面向量及应用分析：（1）由数量积的定义和三角函数公式化简可得f（x）=2cos（2x+）+3，易得周期和单调区间；（2）由题意和f（b）=0可得b=，由余弦定理和基本不等式可得a+c的范围，再由三角形两边之和大

31、于第三边可得a+c的另一个范围，综合可得解答：解：（1）由题意可得f（x）=6cos2x2sinxcosx=6sin2x=3cos2xsin2x+3=2cos（2x+）+3f（x）的最小正周期t=，由2k2x+2k+可得kxk+，函数的单调减区间为（k，k+）kz；（2）由题意由f（b）=0可得cos（2b+）=，b为锐角，2b+，2b+=，b=，又b=2，22=a2+c22accosb=a2+c2ac=（a+c）23ac（a+c）23（）2=（）2，a+c4，当且仅当a=c=4时取等号，再由三角形两边之和大于第三边可得a+cb=2，a+c的取值范围为（2，4点评：本题考查平面向量的数量积，涉

32、及解三角形和不等式的性质，属中档题21（12分）如图，已知圆o：x2+y2=a2（a0）过抛物线c：y2=2px（p0）的焦点f，过点f且与圆o相切的直线被抛物线c截得的弦长为4（1）求圆o和抛物线c的标准方程；（2）若p为抛物线c在第一象限内的点，抛物线在点p处的切线y=kx+b（设为l1）被圆o截得的弦长为，直线l2过点p且垂直直线l1，设l2与抛物线的另一交点为m，求弦pm的长考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆的标准方程；抛物线的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）通过抛物线c的方程可得焦点f（，0），利用圆o：x2+y2=a2（a0）过点f可知a=，利用过点f且与圆o

33、相切的直线被抛物线c截得的弦长为4可得p=2，进而可得a=1，从而可得结论；（2）通过直线l1与抛物线方程，利用=0可得kb=1，利用点o到直线的距离d=与l1被圆o截得的弦长为2=，计算可得k=2、b=，代入ky24y+4b=0得y=1，将y=1代入抛物线方程y2=4x得p（，1），联立l2与抛物线的方程可得m（，9），进而可得结论解答：解：（1）由抛物线c：y2=2px（p0）的方程可得焦点f（，0），又圆o：x2+y2=a2（a0）过点f，a=，又过点f且与圆o相切的直线被抛物线c截得的弦长为4，2p=4，p=2，a=1，圆o的标准方程为：x2+y2=1，抛物线c的标准方程为：y2=4x；（2）依题意可知直线l1的斜率k0，联立，消去x整理得：ky24y+4b=0，由=1616kb=0，可得kb=1，点o到直线的距离d=，l1被圆o截得的弦长为2=2=2=，化简得：k4+k220=0，解得k=2（k=2舍去），又kb=1，b=，将k=2、b=代入ky24y+4b=0，得y=1，将y=1代入抛物线方程y2=4x，得p（，1），l2的斜率为，故l2的方程为：y1=（x），即y=x+，联立，消去x整理得：y2+8y9=0，由韦达定理可知：yp