初中数学中的折叠问题

1、初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。 本文试图通过对在初中数学中经常涉及到 的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。其实对于折叠问题，我们要明白：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换.2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称.对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后 图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形， 这样便于找到图形之间的数量关系和位置关

2、系.x,然后根据轴对称的性质4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形 5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为用含x的代数式表示其他线段的长度， 选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解.、矩形中的折叠1 .将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中bc, bd为折痕，折叠后bg和bh在同一条直线上，/ cbd=度.bc、bd 是折痕，所以有/ abc = /gbc, / ebd = / hbd 则/ cbd = 90 折叠前后的对应角相等2 .如图所示，一张矩形纸片沿 bc折叠，顶点a落在点a处，再过点a折叠使折痕de/bg 若 ab=4,

3、 ac=3则4 ade的面积是.沿bc折叠，顶点落在点 a处，根据对称的性质得到bc垂直平分aa,即af = aa 又de / bc,得到 abc s aade,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求 出三角形ade的面积=24对称轴垂直平分对应点的连线3 .如图，矩形纸片 abcd中，ab=4 , ad=3 ,折叠纸片使 ad边与对角线bd重合，得折 痕dg,求ag的长.由勾股定理可得 bd = 5,由对称的性质得 adg 叁 adg,由 ad = ad = 3 , ag = ag,则 ab = 5 3 = 2, 在rtaa,bg中根据勾股定理，列方程可以求出 ag的值根据对称的性质

4、得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即4 .把矩形纸片abcd沿be折叠，使得ba边与bc重合，然后再沿着bf折叠，使得折痕be也与bc边重合，展开后如图所示，则/ dfb等于（）根据对称的性质得到/ abe=/cbe, /ebf=/cbf,据 此即可求出/ fbc的度数，又知道/ c=90 ,根据三角形 外角的定义即可求出/ dfb = 112.5 注意折叠前后角的对应关系5 .如图，沿矩形 abcd勺对角线bd折叠，点c落在点e的位置，已知 bc=8cm ab=6cm求 折叠后重合部分的面积.点c与点e关于直线bd对称，1 = z21. ad / bc, .1

5、= / 3 / 2 = z3 .fb = fd设 fd = x,则 fb = x, fa = 8 x在 rtabaf 中，ba2 + af2 = bf262 + (8 - x)2 = x2 ,口25解得x =4所以，阴影部分的面积 safbd = 2 fd x ab = 2xx6 = cm2重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6.将一张矩形纸条 abcd如图所示折叠，若折叠角/ fec=64 ,则/ 1=度； efg 的形状 三角形.四边形cdfe与四边形cdfe关于直线ef对称 / 2 = z3 = 64 / 4 = 180 - 2 x 64 = 52 ad / bc1 = z4 = 522

6、= = z 5于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰gef7 .如图，将矩形纸片 abcd按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕 ef （如图）； 延cg折叠，使点b落在ef上的点b处，（如图）；展平，得折痕 gc （如图）；沿gh折叠，使点c落在dh上的点c处，（如图）；沿gc折叠（如图）；展平，得折痕gc , gh （如图）.（1）求图中/ bcb的大小;（2）图中的 gcc是正三角形吗？请说明理由.a e d a e 口 a5 f c国3 f c囹c图gd：crb c b cs 圄图i i（1）由对称的性质可知：bc=bc,然后在rtab fc中，求得cos/bcf=,利

7、用特殊角的三角函数值的知识即可求得/bcb = 60 ;（2）首先根据题意得：gc平分/ bcb,即可求得/ gcc = 60。，然后由对称的性质知： gh是线段cc的对称轴，可得 gc = gc,即可得 gcc是正三角形.理清在每一个折叠过程中的变与不变8 .如图，正方形纸片 abcd勺边长为8,将其沿ef折叠，则图中四个三角形的周长之和为四边形bcfe与四边形b c fe关于直线ef对称，则这四个三角形的周长之和等于正方形abc曲周长折叠前后对应边相等9 .如图，将边长为4的正方形abcd&着折痕ef折叠，使点b落在边ad的中点g处，求四l边形bcfe勺面积设 ae = x ,则 be =

8、 ge = 4 - x ,在rtaaeg中，根据勾股定理有：ae2 + ag2 = ge2即：x2 + 4 = (4 - x) 2解得 x = 1.5, be = eg = 4 -1.5 = 2.5, / 1 + /2 = 90 , / 2 + z3 = 901 = z3又. / a = / d = 90aeg s dgpaedgeggp皿1.5，贝u 2 =25 ,解得gp10gp = 3ph = gh10-gp = 4 -3/4,tan/ 3 = tan / 1 =3 .tan/4 =-4fhph34，fh =32x ph =4 x 3.cf = fh =s 梯形 bcfe =1(2 +5

9、2 )x4 = 6注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10.如图，将一个边长为 1的正方形纸片 abcd折叠，使点b落在边ad上 不与a、d 重合.mn为折痕，折叠后 bc与dn交于p.(1)连接bb 那么bb与mn的长度相等吗？为什么？(2)设bm=y , ab =x,求y与x的函数关系式；(3)猜想当b点落在什么位置上时，折叠起来的梯形mnc b面积最小？并验证你的猜想.(1)bb = mn过点n作nh / bc交ab于点h),证 abb (2)mb = mb = y , am = 1 - y, ab = x在 rtaabb 中 hnmbb = dab 2 +

10、 ab 2 =41 + x2 因为点b与点b关于mn对称, 贝u bq =如 + x2所以 bq = bq,由 bmqa bba 得bm x ba = bq x bb 1- y =和 + x2 x 5 + x22(1+x2)(3)梯形mnc b的面积与梯形 mncb的面积相等由(1)可知，hm = ab = xbh = bm - hm = y - x,贝u cn = y - xbc梯形mncb的面积为:112 (y - x + y) x 1 = 2 (2y - x)2 (2x1(1 + x2)x)1=2 (x -1 )2 + 32 )811当x = 1时，即b点落在ad的中点时，梯形 mncb

11、的面积有最小值，且最小值是 328、纸片中的折叠11 .如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则/ a的度数等于（）a z a = / 2 .2/ a +/abe=180 ,即 2/ a +30 =180 ,解得/ a =75 .题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意 eab是以折痕ab为底的等腰三角形12.如图，将一宽为 2cm的纸条，沿bc,使/ cab=45。，则后重合部分的面积为作 cdxab ,1. ce / ab , .1 = 7 2,根据翻折不变性，/ 1 = /bca, 故/ 2=/ bca . .ab=ac .又.

12、/ cab=45 ,在 rtaadc 中，ac = 2近,ab = 24r2saabc =1 ab x cd = 2版在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片） 折叠，折叠后会形成“平行线 +角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的 等腰三角形abc13.将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕pq的长是如图，作 qhl pa,垂足为 h,则qh=2cm 由平行线的性质，得/ dpa=/ paq=60 由折叠的性质，得/ dpa =/paq/ apq=60 ,又 / paqw apq=60 ,. apq为等边三角形，.hq在 rtapq

13、h, sin/hpq = pq 亚=则pq =睫2 pq，3注意掌握折叠前后图形的对应关系.在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形 apq14 .如图a是长方形纸带，/ def=20 ,将纸带沿 ef折叠成图b,再沿bf折叠成图c,则图c中的/ cfe的度数是（. ad / bc,def=z efb=20 ,在图 b 中，ge = gf, / gfc=180 -2/efg=140 在图 c 中 / cfe=/gfc-/efg=120 ,本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图

14、形的形状和大小不变.由题意知/ def=/efb=20 图 bzgfc=140 ,图 c 中的/ cfe= / gfc-/ efg15 .将一张长为70 cm的长方形纸片abcd ,沿对称轴ef折叠成如图的形状，若折叠后,ab与cd间的距离为60cm,则原纸片的宽 ab是（）设 ab=xcm .右图中，af = ce = 35 , ef = x根据轴对称图形的性质，得ae=cf=35-x (cm).则有 2 (35-x) +x=60 ,x=10 .ma的16. 一根30cm、宽3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点p的长度相

15、等，则最初折叠时，求长 将折叠这条展开如图，根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即 3cm,下底等于纸条宽的 2倍，即6cm,两个三角形都为等腰直角三角形，斜边为纸条宽的2倍，即6cm,故超出点p的长度为（30-15） +2=7.5,am=7.5+6=13.5ap mb三、三角形中的折叠17 .如图，把rtaab(c( / c=90 ),使a, b两点重合，得到折痕 ed,再沿be折叠，c点 恰好与d点重合，则 ce ae=18 .在 abc中，已知 ab=2a, / a=30 , cd是ab边的中线，若将 abc沿cd对折起来， 折叠后两个小 acm bcd1叠部分的面积恰女?等于

16、折叠前abc的面积的等.其中，结论正确(把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”). (1)cd = 2 ab/ acb = 90. ab = 2a , bc = a , . ac = j3a13 2saabc= 2 x acx bc = -a重叠部分的面积为：；xg3a2 = ga2(2)若ac = a ,如右图180 - 30 . ad = a , .2 = 2= 75 zbdc = 180 - 75 = 105 . bdc = 105 / 3 = 105 - 75 = 30 1 = /3.ac/ bd四边形abdc是平行四边形_ 1重叠部分 cde的面积等于aa bc的面积的

17、4若折叠前 abc的面积等于过点c作chlab于点h,13 2 .4(1)当中线cd等于a时，重叠部分的面积等于 ;jub(2)有如下结论(不在“ c*于a”的限制条件下)： ac边的长可以等于a;折叠前 的 abc的面积可以等于 事2 ；折叠后，以a b为端点的线段 ab与中线cd平行且相ch =ch 又 tan / 1 = 一ahah = 2a-bh = 2a则 tan/ b = ch ,得/ b = 60 bh . cbd等边三角形，/2= z4 / 3 = z4, ad / cb2又 cb2 = bc = bd = a ,cb2 = ad 四边形adcb2是平行四边形则重叠部分 cde

18、的面积是41abc面积的- 4(3)如右图，由对称的性质得，/1 = z2又.一/ 3 + z4 = z 1 +/21. z 4 = / 13 = z4, da = db 3 ab 3/ cdb3注意“角平分线+等腰三角形” 和对应边的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角19.在 abc中，已知/ a=80 , / c=30 ,现把 cde沿de进行不同的折叠得 cde,对折叠后产生的夹角进行探究：(1)如图(1)把 cde沿de折叠在四边形 adeb内，则求/ 1 + /2的和；(2)如图(2)把 cde沿de折叠覆盖/ a,则求/ 1 + /2的和；(1)根据折叠前后的图象全

19、等可知，/1=180 -2/cde, 72=180 -2zced,再根据三角形内角和定理比可求出答案；(2)连接dg,将/ adg+ /agd作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；15图（3）将/ 2看作180 -2/ced, / 1看作2/cde-180。，再根据三角形内角和定理来求.解：(1)如图(1)71+7 2=180 - 2/cde +180 - 2/ced =360 - 2( / cde+ / ced)=360 -2 (180 - /c)=2/ c =60(2)如图(2)连接dg,71+7 2=180 - /c - (/ adg + / agd ) =180 -30 - (180

20、 -80 ) =50 ;(3)如图(3)z2-z 1=180 - 2/ced - (2/cde - 180 )=360 - 2( / cde + /ced)=360 - 2 (180 - /c)=2/ c所以：/ 2 - z1=2zc.由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形 时常常会出现等腰三角形20.观察与发现：将三角形纸片 abc （ab ac）沿过点a的直线折叠，使得ac落在ab边上，折痕为ad , 展开纸片（如图）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点a和点d重合，折痕为ef,展平纸片后得到 aef （如图）.小明认为 aef是等腰三角形，你同意吗？ 请说明理由.实践

21、与运用：将矩形纸片abcd沿过点b的直线折叠，使点a落在bc边上的点f处，折痕为be （如 图）；再沿过点e的直线折叠，使点 d落在be上的点d处，折痕为eg （如图）；再展 平纸片（如图）.求图中/ a的大小.在第一次折叠中可得到/ ead = / fad在第二次折叠中可得到 ef是ad的垂直平分线，则 ad efaef = z afe . aef是等腰三角形 (1)由折叠可知/ aeb = / feb, / deg = / beg 而/ beg = 45 + / a因为/ aeb + / beg + / deg = 180 所以 45 + 2 (45 +/ a) = 180 / a = 2

22、2.5 所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。要由于角平分线所在的直线是角的对称轴, 抓住折叠前后图形之间的对应关系(2)将矩形纸片abcd按如下步骤操作：将纸片对折得折痕 ef,折痕与ad边交于点巳与 bc边交于点f;将矩形abfe与矩形efcd分别沿折痕mn和pq折叠，使点a、点d都 与点f重合，展开纸片，此时恰好有 mp=mn=pq (如图)，求/ mnf的大小.由题意得出：znmf= / amn= / mnf , .mf=nf ,由对称性可知，mf=pf , .nf=pf , 而由题意得出：mp=mn , 又 mf=mf , . mnfa mpf , ./ pmf=/nmf ,而/

23、 pmf+/ nmf+ / mnf=180即 3/ mnf=180 ./ mnf=60在矩形中的折叠问题，通常会出现“角平分线+平行线”的基本结构，即以折痕为底边的等腰三角形21.直角三角形纸片 abc中，/acb=90 , ac_2 _ 92=2=811i i一，,33即当 n = 1 时，bo = 2 =2 = 22 - 33 332 - 1当 n = 2 时，bq =2 = 21 = 22x 2 - 39 3233 - 1当 n = 3 时，bq = 8 = 23 = 23x2 - 3则第n次折叠后，bo3n2n - 325问题中涉及到的折叠从有限到无限,要明白每一次折叠中的变与不变，充

24、分展示运算的详细过程。在找规律时要把最终的结果写成一样的形式，观察其中的变与不变， 特别是变化的数据与折叠次数之间的关系25 .如图，直角三角形纸片 abc中，ab=3 , ac=4 , d为斜边bc中点，第1次将纸片折 叠，使点a与点d重合，折痕与 ad交于点p1；设p1d的中点为d1,第2次将纸片折叠, 使点a与点d1重合，折痕与 ad交于点p2；设p2d1的中点为d2,第3次将纸片折叠，使 点a与点d2重合，折痕与ad交于点p3；设pn-1dn-2的中点为dn-1 ,第n次纸片折叠,使a与点dn-1重合，折痕与 ad交于点pn (n2),则ap6长(舞1次声叠黄2次折叠5ad =2第一次

25、折叠后,api = pidp1d1 = didad ap 1 = -2第二次折叠后,ap2= p2d1p2d2 = d2d1ap2 =殁ad - dd 12ap1ad - 221516第三次折叠后,ap3 = p3d2.ap3 =ad22ad 1- d1d2ap2ad1 - 2215 158 - 32 _ 452= 64即当时,ap1 = 430x 522时,15ap2 = 16时,g 45ap3 = 64则第n次折叠后，ap352432x5263n -1x 522n故ap6 =琮5此题考查了翻折变换的知识,解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式,从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总

26、结能力26 .阅读理解如图1, abc中，？皆/ bac的平分线ab折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿/b1a1c的平(1) abc中，/ b=2z c,经过两次，/ bac是不是 abc的好角？(填“是”或“不是”).(2)小丽经过三次折叠发现了/ bac是4abc的好角，t#探究/ b与/c (不妨设/b/ c) 之间的等量关系.根据以上内容猜想：若经过n次折叠/ bac是4abc的好角，则/ b与/ c(不妨设/ b/c)之间的等量关系为 . z b = n zc 应用提升(3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15。、60。、105。，发现60。和105。的两个角都是此三角形的好角.请你完

27、成，如果一个三角形的最小角是4的三个角均是此三角形的好角.,试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形设另外两个角是4x, 4y,则4x + 4y + 4 = 1804x = 4y x a（a是正整数）所以y =44a + 1因为x, v, a,都是正整数，则 a的值应为:当 a = 1 时，x = y = 22, 4x = 4y = 88当 a = 3 时，y = 11,x =33 ,4x =132当 a = 10时，y = 4,x =40 ,4x =160当 a = 21时，y = 2,x =42 ,4x =168 当 a = 43时，y = 1,x =43 ,4x =1721、3、10、2

28、1、434y = 444y = 164y = 84y = 4注意折叠过程中的对应角和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和的运用，理解三角形中如果有一个角是好角之后，另两个角之间的关系， 通过这样的问题培养归纳总结能力27 .我们知道：任意的三角形纸片可通过如图所示的方法折叠得到一个矩形. (1)实践：将图中的正方形纸片通过适当的方法折叠成一个矩形(在图中画图说明)(2)探究：任意的四边形纸片是否都能通过适当的方法折叠成一个矩形？若能，直接在图中画图说明；若不能，则四边形至少应具备什么条件才行？并画图说明.(要求：画图应体现折叠过程，用虚线表示折痕，用箭头表示方向，后图形中既无缝隙又无重

29、叠部分)解：(1)折叠方法如图所示.7*黑1* *(2)不能.四边形至少应具备的条件是：“对角线互相垂直.折叠方法如图所示.折叠即对称1 m 12=2x(2 + m)xm6 x mx28 .如图，双曲线 y =6 (x0)经过四边形 oabc勺顶点a、c, / abc=90 , oc平分oa x与x轴正半轴的夹角，ab/ x轴，将 abc沿ac翻折后得到 abc , b点落在oa上，则四 边形oabc勺面积是多少？ 设m)根据对称的性质有：cd = cb = cbi i一 i l12 m 12所以 b(m，肃)，a(- , m ), d(m, 0)m126ab = 2 , bd = m , c

30、d = m , od = m则四边形oabc的面积为:1 12 x (ab + od) x bd - 2 x od x cd _ i i i i i l ii -明白折叠中的对应边就行n329.已知一个直角三角形纸片 oab ,其中/ aob=90 , oa=2 , ob=4.如图，将该纸片放 置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边 ob交于点c,与边ab交于点d.(1)若折叠后使点 b与点a重合，求点c的坐标；(2)若折叠后点b落在边oa上的点为b,设ob =x, oc=y,试写出y关于x的函数 解析式，并确定y的取值范围；(3)若折叠后点b落在边oa上的点为b，且使b d/ob,求此时

31、点c的坐标.(1)ab =弋4 + 16 = 2 邓. bcd bad 1 bcx bo = bdx ball5 .bcx 4 = 55 x2#,bc = 2 :i i ez53.oc = ob - bc = 4 -2 = 2 ,贝u c(0,(2)如右图，bc= bcbc = bc = ob - oc = 4 - y在 rtobc 中根据勾股定理有：y2 + x 2 = (4 - y) 2所以 y = -1 x 2 + 28当0 w x w 2时，抛物线的值随x的增大而减小当 x = 0 时，y = 23当x = 2 时，y = 2如右图由 db” / ob得，/ 2 =73由对称性质得，/ 1 = /2 / 2 = z3,贝u c b / ba. o bc s* oab.oc = 2ob设 o b = m ，则 oc = 2mi ij1所以 2m = - m2 + 28 , 解得 m = -8 45 , m 0 , m = -8 + 4-/s则点c的坐标为(0, 8y5 - 16 )折痕是对应点连线的垂直平分线四、圆中的折叠30.如图，正方形 abc曲边长为2,。的直径为ad,将正方形的bc边沿ec折叠，点b 落在圆上的f点，求be的长连接 oc or 则 oc四 ocd(sss) ./ ofc =