二次曲面习题课PPT学习教案

1、会计学1二次曲面习题课二次曲面习题课Chap. 4 二次曲面二次曲面(quadric surfaces)(quadric surfaces)空间解析几何的两个基本问题： 一、给定曲面，建立方程； 二、给定方程,研究它的图形及其几何性质。第1页/共54页1 1、柱面、柱面 ( (cylinder) )定义定义：一直线L沿一已知曲线C平行移动而得的曲面称为 柱面柱面。 C 准线 (directrix ) ， L 母线(ruling )( , )0( , )0,0 . F x zF x zyy方程表示为准线母线平行于 轴的柱面直柱面：第2页/共54页射影柱面射影柱面0),(0),( zyxGzyxF

2、空间曲线依次消去一个变元0),(0),(0),(321zyFzxFyxF射影柱面柱面的参数方程柱面的参数方程(parametric equation)（P147 ex4）( ) ( ), ( ), ( ), , ( , )( )r ux uy u z usX Y Zr u vr uvs准线为母线平行于的柱面为第3页/共54页圆锥面圆锥面 直线l1绕另一条与l1相交于O的直线l2旋转一周 所得旋转曲面称为圆锥面. O 顶点 (vertex) 两直线的夹角 半顶角 锥面锥面 一直线通过定点O，且沿空间中一条定曲线C 移动所产生的曲面称为锥面. O 顶点 C 准线（不唯一 ） 动直线 母线（不唯一

3、）2 2、锥、锥 面面 (conical (conical surface)surface)第4页/共54页锥面的参数方程（锥面的参数方程（P152 ex6）00000( ) ( ), ( ), ( ), ( , )( )(1)r ux uy u z urxyzr u vvr uv r准线为，顶点向径为的锥面为第5页/共54页3、旋转曲面 (surface of revolution)定义定义：曲线C绕定直线l旋转一周所生成的曲面称为旋转旋转 曲面曲面。 l 旋转轴 ， C 母线( , )0:0f y zCzx曲线绕 轴旋转一周而得的旋转曲面方程为22( ,) 0fxyz旋转曲面的参数方程（旋

4、转曲面的参数方程（P158 ex3）2222( ) ( ), ( ), ( ) ( , )( )( )cos ,( )( )sin , ( ) .r ux uy u z uzr u vx uy uvx uy uv z u曲线 ： 绕 轴旋转一周得到第6页/共54页4 4、椭、椭 球球 面面 (ellipsoid)(ellipsoid) （1 1）椭球面的方程）椭球面的方程 )0,(1222222cbaczbyax（2 2）椭球面的性质）椭球面的性质 （1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。 （2）czbyax| ,| ,|并有六个顶点 ),0,0( ,)0,0(,)0,0,(cba第7页/共

5、54页（3 3）形状（与三个坐标面的交线）：）形状（与三个坐标面的交线）： 012222zbyax(1) 是一个椭圆 (ellipse)012222yczax(2) 是一个椭圆 012222xczby(3) 是一个椭圆 xyzobca第8页/共54页（4 4）椭球面的参数方程椭球面的参数方程sinsincoscoscosczbyax（广义球坐标系）, 0222第9页/共54页5 5、双曲面、双曲面 (hyperboloid)(hyperboloid) I I 单叶双曲面单叶双曲面 (hyperboloid of one sheet)(hyperboloid of one sheet) 方程：方

6、程： )0,(1222222cbaczbyax性质：性质： （1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。 （2）有四个顶点 )0,0(,)0,0,(ba（3）形状： 012222zbyax（1） 是一个椭圆 （腰椭圆） xyzo第10页/共54页012222yczax（2） 是双曲线 (hyperbola) 012222xczby（3） 是双曲线 （4） 是一个椭圆 hzchbyax2222221xyzo第11页/共54页IIII双叶双曲面双叶双曲面 (hyperboloid of two sheets) 方程： 性质： （1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。 （2）有两个顶点 （3）形状：

7、 )0,(1222222cbaczbyax),0,0(c012222yczax012222xczby（6） 是双曲线 （7） 是双曲线 第12页/共54页)0,(1222222cbaczbyax 参数方程参数方程 (P168 ex.7)(1) 单叶双曲面(2) 双叶双曲面)0,(1222222cbaczbyaxsec cossec sintanxauvybuvzcutan costan sinsecxauvybuvzcu第13页/共54页6 6、抛、抛 物物 面面 (paraboloid)(paraboloid) I I椭圆抛物面椭圆抛物面(elliptic paraboloid)(ellip

8、tic paraboloid) 方程方程： )0,(22222bazbyax性质性质： （1）椭圆抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面， 对称于z轴，无对称中心。 （2）与对称轴交于原点（0，0，0）， 叫做椭圆抛物面的顶点。 xyzo第14页/共54页（3）形状： 0222yzax0222xzby（1） 是抛物线 (parabola) （2） 是抛物线 主抛物线主抛物线 （3） 是一个椭圆 容易知道图形（3）的两对顶点分别在主抛物线（1）与（2）上。 hzhbyhax2222122xyzo第15页/共54页 （4） 是抛物线 tybtzax)2(22222xyzo第16页/共54页IIII双曲抛

9、物面双曲抛物面 (hyperbolic paraboloid)(hyperbolic paraboloid) 方程方程： 性质性质： )0,(22222bazbyax（1）椭圆抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面， 对称于z轴，无对称中心。 （2）形状： 002222zbyax（5）是一对相交于原点的直线第17页/共54页0222yzax0222xzby（6）是抛物线 （7）是抛物线 主抛物线主抛物线 （8）是双曲线(hyperbola) hzhbyhax2222122tybtzax)2(22222（9） 是抛物线第18页/共54页、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线定

10、义：由一族直线生成的曲面称为直纹面直纹面(ruled surface)这族直线称为曲面的一族直母线一族直母线。第19页/共54页、单叶双曲面、单叶双曲面)0,(1222222cbaczbyax不同时为零wubywczaxubyuczaxw, 11u 族直母线不同时为零tvbytczaxvbyvczaxt, 11v 族直母线&对于单叶双曲面上的每个点，两族直母线中各有一条 直母线经过该点第20页/共54页)0,(22222bazbyax、双曲抛物面、双曲抛物面 2 2zbyaxvvbyaxorzbyaxuubyax&对于双曲抛物面上的每个点，两族直母线中各有一条直母线经过该点直母线：第21页/共

11、54页定理定理单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面，而双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交。定理定理单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面上同族的全体直母线平行于同一平面。第22页/共54页例例 题题第23页/共54页042222yxzyx解解: : 配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:说明说明: : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面. . 表示怎样半径为的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心为 一个球面球面, 或点点 , 或虚轨迹虚轨迹.5)2() 1(222zyx第24页/共54页的圆锥面方

12、程. 解解: 在yoz面上直线L 的方程为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方L), 0(zyM第25页/共54页xy22221xzac分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: :绕 x 轴旋转222221xyzac绕 z 轴旋转222221xyzac这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为z第26页/共54页例 4、求准线是 ，母线方向为 的柱面方程。 22250 xyz(5,3,2)s 解：准线可改写为( )(5cos ,5sin ,0), 0,2 r uuuu所求柱面方程为(

13、, )(5cos ,5sin ,0)(5,3,2) (5cos5 ,5sin3 ,2 ).r u vuuvuvuvv消去参数 u, v 得2253()()25.22zzxy第27页/共54页例 5、求半径为2，对称轴为 的圆柱面方程。 234xyz解：在所求圆柱面上任取一点 ，( , , )M x y z由|(2,3,4)|2.|(2,3,4)|OM 得222(43 )(24 )(32 )116.yzzxxy第28页/共54页例 6、求准线是 ，顶点为原点的锥面方程。 22xpyzk解：准线方程为2( )( , ), (,)2ur uukup 所求锥面方程为22( , )( , )(,).22

14、uu vr u vv ukuvkvpp消去参数 u, v 得22.kxpyz第29页/共54页例7、由椭球面 的中心，引三条两两 互相垂直的射线，分别交曲面于 ，设 ，试证： 2222221xyzabc123,P P P112233,OPr OPr OPr222222123111111.rrrabc（课本P162, ex4）解：设 的单位向量分别为312,OP OP OP 123123123( ,),( ,),( ,)a a ab b bc c cP1的坐标为 ，代入椭球面方程，得 1 11213(,)ra ra ra222312222211.aaarabc第30页/共54页同理可得 2223

15、12222222223122222311.bbbrabccccrabc由于 两两垂直，知 是正交的矩阵，312,OP OP OP 123123123aaabbbccc于是有222111222222222333111abcabcabc所以222222123111111.rrrabc第31页/共54页例 8、试求单叶双曲面 上互相垂直的两 直母线交点的轨迹方程。 2222221xyzabc（课本P182, ex8）11: 1xzyuvacbLxzyvuacb 解：过单叶双曲面上所求轨迹上一点 的两条直母线分别为L1和L2000(,)xyz当 时， 010yb000, 1;xzyuvacb 当 时，

16、 010yb0001, .yxzuvbac 第32页/共54页L1和L2的方向向量分别为2222122221121(),(),121(),()uvsuvuvbcacabststsstbcacab21: 1xzystacbLxzytsacb 当 时， 010yb0001, ;yxzstbac 当 时， 010yb000, 1.xzystacb 第33页/共54页由 垂直，得 12,s s 222222222222221()()()()0.uvsta uvtsuvsta ca b010yb010yb分别在 和 的情况下，计算上式各项，再整理得所求轨迹均为 2220002222222220001,.

17、xyzabcxyzabc第34页/共54页6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根据第一方程引入参数 , txcostysin)cos26(31tz(2) 将第二方程变形为,)(42222aayx故所求为得所求为txaacos22tyasin2tazcos2121)20( t)20( t第35页/共54页1xty tz2绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 cos12txsin12tytz220t消去 t 和 , 得旋转曲面方程为4)(4222zyx第36页/共54页r1101:zyxL绕 z 轴旋转一周, 求此旋转转曲面的方程. 解解:在 L 上任取一点

18、), 1 (000zyM轴绕为设zMzyxM0),(旋转轨迹上任一点,Lxozy0MM则有00zy z22yx 201y得旋转曲面方程1222zyxr，代入第二方程将zy 0第37页/共54页222201xyyyz1) 1() 1(1:222222zyxzyxC002222zyyx第38页/共54页zxyo1C所围的立体在 xoy 面上的投影区域。上半球面和锥面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲线)(34:2222yxzyxzC二者交线.0, 122zyx所围圆域:第39页/共54页22yxz221zxyxyz 221xyxy2210 xyxyz 求曲线绕 z

19、轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 1zyx解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 2yz 0 x,它与所给平面的第40页/共54页作作 图图 练练 习习第41页/共54页 (2)ozyxo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo21、画图:第42页/共54页(3)zxyo oaoa222azx222ayx第43页/共54页(4)ozy15 xy3 xy15 xy3 xy第44页/共54页yz2x3思考思考: :by 对平面交线情况如何?,3时当b交线情况如何?,3时当b19422yx3y第45页/共54页,2) 1 (2xy抛物柱面0z平面