几何难题中考压轴题带答案和详细解析精编WORD版

1、几何难题中考压轴题带答案和详细解析精编WORD 版IBM system office room A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ81几何难题精选解答题（共30小题）1. （2015?河南）如图 1,在 RtZABC 中，NB=90 , BC=2AB=8,点 D、E 分别是边 BC、 AC的中点，连接DE,将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.（1）问题发现当（1=0。时，送 ；当a=180。时，坐一BDBD（2）拓展探究试判断：当0 WaV3600时，里的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明. BD（3）问题解决当口（；旋转至A, D, E三点共线时，直接写出线

2、段BD的长.2. （2015?济南）如图 1,在ABC 中，NACB=90 , AOBC, ZEAC=90，点 M 为射线 AE上任意一点（不与A重合），连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到 线段CN,直线B分别交直线CM、射线AE于点F、D.（1）直接写出NNDE的度数；（2）如图2、图3,当NEAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生 变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由：（3）如图4,若NEAC=15 , NACM=60 ,直线CM与AB交于G, BD二迎丑，其他条件 2不变，求线段AM的长.3. （2015?岳阳）已知直线mn,点

3、C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直 线m、n不垂直，点P为线段CD的中点.（1）操作发现：直线l_Lm, ln,垂足分别为A、B,当点A与点C重合时（如图所 示），连接PB,请直接写出线段PA与PB的数量关系：.（2）猜想证明：在图的情况下，把直线1向上平移到如图的位置，试问（1）中的 PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（3）延伸探究：在图的情况下，把直线1绕点A旋转，使得NAPB=90 （如图所 示），若两平行线m、n之间的距离为2k.求证：PA?PB=k?AB.4. （2015?重庆）在aABC中，AB=AC, NA=60 ,点D是线段BC的

4、中点，ZEDF=120 , DE与线段AB相交于点E. DF与线段AC （或AC的延长线）相交于点F.（1）如图1,若DFJ_AC,垂足为F, AB=4,求BE的长；（2）如图2,将（1）中的NEDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.求证：BE+CF二1AB： 2（3）如图3,将（2）中的NEDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的 延长线相交于点F,作DNJ_AC于点X,若DN_LAC于点N,若DN=F,求证：BE+CF乃（BE-CF）.5. （2015?烟台）【问题提出】如图，已知aABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED二EC,将

5、 BCE绕点C顺时针旋转60至4ACF连接EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】（1）如图，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB, DB, AF之间乂 有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图的基础上将图形补充完 整，并写出AB, DB, AF之间的数量关系，不必说明理由.6. （2015?莆田）在 RtZXACB 和 RtZXAEF 中，NACB二NAEF=90 ,若点 P 是 BF 的中点， 连接PC, PE.特殊发现：如图1，若点E, F分别落在边AB, AC上，则结论：POPE成立（不要求证明）.问题探究：把图1中的aAEF

6、绕着点A顺时针旋转.（1）如图2,若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证 明；若不成立，请说明理由；（2）如图3,若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若 不成立，请说明理由；（3）记尾k,当k为何值时，4CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明 BC理由）7. （2015?襄城区模拟）如图，正方形ABC0的边0A、0C在坐标轴上，点B坐标为（3,3） .将正方形ABC0绕点A顺时针旋转角度。（0 V a 90。）,得到正方形ADEF, ED 交线段0C于点G, ED的延长线交线段BC于点P,连AP、AG.（1）求证：AOGgZAD

7、G；（2）求NPAG的度数;并判断线段0G、PG、BP之间的数量关系,说明理由;（3）当N1=N2时，求直线PE的解析式；（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M,使以M、A、G为顶点的三角形是等腰 三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.8. （2015?重庆校级一模）已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线 AD （P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD二PG, DFJ_PG于点H, DF交直线 AB于点F,将线段PG绕点P逆时针旋转90得到线段PE,连结EF.（1）如图1,当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时，若PO1,计算出DG的

8、长；（2）如图1,当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时，证明：四边形DFEP为菱形；（3）如图2,当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，（2）的结论：四边 形DFEP为菱形是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.9. （2015?房山区二模）在aABC中，AB=BC=2, NABC=90 , BD为斜边AC上的中线，将 ABD绕点D顺时针旋转a （0 a 180 ）得到EFD,其中点A的对应点为点E,点 B的对应点为点F. BE与FC相交于点H.（1）如图1,直接写出BE与FC的数量关系：；（2）如图2, M、N分别为EF、BC的中点.求证：或；2（3）连接BF

9、, CE,如图3,直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关 系：.10. （2015?衢州校级模拟）图1是边长分别为46和2的两个等边三角形纸片ABC和0DE叠放在一起（C与。重合）.（1）操作:固定ABC,将aODE绕点C顺时针旋转30后得到AODE,连结AD、BE, CE 的延长线交AB于F （图2）；探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（2）在（1）的条件下将的4ODE,在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的4CDE设为PQR,当点P与点F重合时停止运动（图3）探究：设PQR移动的时间为x秒，APaR与aABC重叠部分的

10、面积为y,求y与x之间的 函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.（3）将图1中AODE固定，把ABC沿着0E方向平移，使顶点C落在0E的中点G处，设 为ABG,然后将aABG绕点G顺时针旋转，边BG交边DE于点M,边AG交边D0于点N, 设NBGE=a （30 a 90 ）；（图 4）探究：在图4中，线段ON?EM的值是否随a的变化而变化？如果没有变化，请你求出 O?EM的值，如果有变化，请你说明理由.11. （2015?武义县模拟）（1）将矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点0为原点，顶 点C、A分别在x轴和y轴上，0A=8, 0010,点E为0A边上一点，连结CE,将（）（：沿CE折

11、叠.如图1,当点0落在AB边上的点D处时，求点E的坐标;如图2,当点0落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EGx轴交CD于点H,交BC于点G,设H （m, n）,求m与n之间的关系式；（2）如图3,将矩形OABC变为边长为10的正方形，点E为y轴上一动点，将（）（：沿 CE折叠.点0落在点D处，延长CD交直线AB于点T,若以，求AT的12. （2015?石家庄校级模拟）如图1,在菱形ABCD中，AC=6, BD=66，AC, BD相交于 点0.（1）求边AB的长；（2）如图2,将一个足够大的直角三角板60角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点 A左右旋转，其中三角板60角的两边分别于边B

12、C, CD相交于E, F,连接EF与AC相交 于点G.判断AAEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；旋转过程中是否存在线段EF最短，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由.13. （2015春?泰安校级期中）如图，正方形0EFG绕着边长为30的正方形ABCD的对角 线的交点0旋转，边0E、0G分别交边AD、AB于点M、N.(1)求证：0M二ON；(2)设正方形OEFG的对角线OF与边AB相交于点P,连结PM.若PM=13,试求AM的 长；(3)连接MN,求AAMN周长的最小值，并指出此时线段MN与线段BD的关系.14. (2014?天津)在平面直角坐标系中，0为原点，点A ( -2, 0),点

13、B (0, 2),点E,点F分别为0A, 0B的中点.若正方形OEDF绕点0顺时针旋转，得正方形0E DF,记旋转角为a.(I )如图，当a=90时，求AE , BF的长；(II )如图，当 a =135 时，求证 AE=BF,且 AE J_BF；(III)若直线AE与直线BF相交于点P,求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即 可).15. (2014春?青山区期末)已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B,连AF, H为AF的 中点，连EH,正方形EBGF绕点B旋转.(1)如图1,当F点落在BC上时，求证：EH二土C2(2)如图2,当点E落在BC上时，连BH,若AB=5, BG=2,求BH

14、的长；(3)当正方形EBGF绕点B旋转到如图3的位置时，求世的值.CF16. (2013?盐城)阅读材料如图，ZABC与4DEF都是等腰直角三角形，NACB二NEDF=90 ,且点D在AB边上，AB、EF的中点均为0,连结BF、CD、CO,显然点C、F、0在同一条直线上，可以证明 BOFACOD,则 BFXD.解决问题（1）将图中的RtZDEF绕点0旋转得到图，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并 证明你的结论；（2）如图，若aABC与4DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为0,上述（1）中的 结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图，若A

15、BC与ADEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0,且顶角NACB二N EDF二。，请直接写出世的值（用含a的式子表示出来）CD17. （2013?梅州）用如图，所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已 标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P.（1）当点P运动到NCFB的角平分线上时，连接AP,求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现PA二FC时、求NPAB的度数.探究二：如图，将4DEF的顶点D放在AABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心 旋转aDEF,使4DEF的两直角边与ABC的两直角边分别交于M、N两

16、点，连接MN.在旋 转4DEF的过程中，AAMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存 在，请说明理由.18. （2015?营口）如图，点P是。0外一点，PA切。0于点A, AB是。的直径，连接0P，过点B作BC0P交。0于点C,连接AC交0P于点D.（1）求证：PC是。的切线；（2）若PD=AO8,求图中阴影部分的面积； 3（3）在（2）的条件下，若点E是标的中点，连接CE,求CE的长.19. （2015?永州）问题探究：（-）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、

17、H都在同个圆上）.（二）问题解决：已知。的半径为2, AB, CD是。的直径.P是标上任意一点，过点P分别作AB, CD的垂线，垂足分别为N, M.（1）若直径AB_LCD,对于前上任意一点P （不与B、C重合）（如图一），证明四边形PM0内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB_LCD,在点P （不与B、C重合）从B运动到C的过程中，证明MN的长为 定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成1200角.当点P运动到BC的中点R时（如图二），求MN的长;当点P （不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值.（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最

18、大值，并写出其最大值.20. （2015?盘锦）如图1, AABC和aAED都是等腰直角三角形，/8人0/人口二90,点B在线段AE上，点C在线段AD上.（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：；（2）如图2,将图1中的ABC绕点A顺时针旋转角a （0a 360 ）,（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；当AC二1ED时，探究在ABC旋转的过程中，是否存在这样的角a,使以A、B、C、D四 2点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角。的度数；若不存在，请说明理由.21. （2015?朝阳）问题：如图（1）,在 RtZXACB 中，NACB=90 , A

19、OCB, ZDCE=45 ,试探究AD、DE、EB满足的等量关系.探究发现小聪同学利用图形变换，将ACAD绕点C逆时针旋转90得到CBH,连接EH,由已知条件易得NEBH=90 , NECH=NECB+NBCH=NECB+NACD=45 .根据“边角边”，可证CEH/,得EH=ED.在RtZHBE中，由 定理，可得BHEBEH二，由BH二AD,可得AD、DE、EB之间的等量关系是实践运用（1）如图（2）,在正方形ABCD中，AAEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正 方形的边长相等，求NEAF的度数；（2）在（1）条件下，连接BD,分别交AE、AF于点M、X,若BE=2, DF=3,

20、 BM=2，运 用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长.22. （2015?自贡）在aABC中，AB=AC二5, cosNABC二卫，将aABC绕点C顺时针旋转，得 5glJAAxBiC.（1）如图，当点氏在线段BA延长线上时.求证：BB】C&；求AB的面积；（2）如图，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在ABC绕点C顺时针旋 转过程中，点F的对应点是R,求线段ER长度的最大值与最小值的差.23. （2015?吉林）两个三角板ABC, DEF,按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边 AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）.其中，NON DEF=9

21、0 , NABC=NF=30 , AODE=6cm.现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方 向平移，当点C落在边EF上时停止运动.设三角板平移的距离为x （cm）,两个三角板 重叠部分的面积为y （cm2）.（1）当点C落在边EF上时，x=cm；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）设边BC的中点为点M,边DF的中点为点工 直接写出在三角板平移过程中，点M与 点N之间距离的最小值.24. （2015?汕尾）在 RtZABC 中，NA=90 , AOAB=4, D, E 分别是边 AB, AC 的中点， 若等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtADE,设旋转

22、角为a （OVaW 180 ）,记直线BD,与CE1的交点为P.（1）如图1,当。二90时，线段BD】的长等于,线段CE1的长等于；（直接 填写结果）（2）如图2,当a =135时，求证：BDx=CEt,且BDCE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值.（直接写出结果）25. （2015?赤峰）如图，四边形ABCD是边长为2, 一个锐角等于60的菱形纸片，小芳 同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片， 使它的两边分别交CB、BA （或它们的延长线）于点E、F, NEDF=60 ,当CE=AF时，如 图1小芳同学得出的结论是DE=DF.（1）继续旋转三

23、角形纸片，当CEWAF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证 明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出 DE与DF的数量关系；（3）连EF,若4DEF的面积为y, CE=x,求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有 最小值，最小值是多少？26. （2015?海南）如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，NBCD=60 ,射线AP交BC 的延长线于点E,射线BP交DE于点K,点0是线段BK的中点.（2）若BP=n?PK,试求出n的值;（3）作BM_LAE于点M,作KN_LAE于点工连结MO、NO,如图2所示，请证明AMO

24、N是 等腰三角形，并直接写出NM0的度数.27. （2015?丹东）在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点0；在RtZkPMN中，Z MPN=90 .（1）如图1,若点P与点0重合且PMJ_AD、PXAB,分别交AD、AB于点E、F,请直接 写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的RtZPMN绕点0顺时针旋转角度。（0 V a V45 ）.如图2,在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说 明理由；如图2,在旋转过程中，当ND0M=15时，连接EF,若正方形的边长为2,请直接写出 线段EF的长;如图3,旋转后，若RtZPMN的顶点P在线段0B上移动（不与点0、B

25、重合），当 BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=m?BP时，请直接写出PE 与PF的数量关系.28. （2015?成都）已知AC, EC分别是四边形ABCD和EFDC的对角线，点E在ABC内， ZCAE+ZCBE=90 .（1）如图，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF.(i)求证：CAEs/CBF；(ii)若 BE=L AE=2,求 CE 的长;（2）如图，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且坡&:k时，若BE=1, AE=2, CE=3, BC FC求k的值;（3）如图，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且NDAB=NGEF=45时，设BE=m

26、, AE=n, CE=p,试探究m, n, p三者之间满足的等量关系.（直接写出结果，不必写出解答 过程）29. （2015?锦州）如图，NQP的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，ZQPN=。，将NQP绕点P旋转，旋转过程中NQPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F （点F与点C, D不重(1)如图,当a =90。时,DE, DF, AD之间满足的数量关系是(2)如图，将图中的正方形ABCD改为NADO120。的菱形，其他条件不变，当。=60时，（1）中的结论变为DE+DF=AD,请给出证明;2在（2）的条件下，若旋转过程中NQP的边PQ与射线AD交于点E,其他条件

27、不变，探究在整个运动变化过程中，DE, DF, AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明.30. （2014?绵阳）如图1,矩形ABCD中，AB=4, AD=3,把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F,连接DE.（1）求证：丝ZEDA；（2）求DF的值;（3）如图2,若P为线段EC上一动点，过点P作AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线 段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？ 并求出其最大值.几何难题精选（1）旋转圆四边形参考答案与试题解析一.解答题（共30小题）1. （2015?河南）如图 1,在 RtZABC 中，NB=

28、90 , BC=2AB=8,点 D、E 分别是边 BC、AC的中点，连接DE,将AEDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.（1）问题发现当a=0。时，AE-丑.当。二180。时，在.BD_2_ _BD - 2-（2）拓展探究试判断：当0 WaV360时，里的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明. BD（3）问题解决当AEDC旋转至A, D, E三点共线时，直接写出线段BD的长.【考点】几何变换综合题.【专题】压轴题.【分析】（1）当。=0时，在RtABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根 据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出丝的值是多少.BDa

29、=180。时，可得ABDE,然后根据星芈，求出典的值是多少即可.AE BD BD(2)首先判断出NECA=NDCB,再根据登喑g,判断出ECAs/DCB,即可求出彩的 值是多少，进而判断出堂的大小没有变化即可.BD(3)根据题意，分两种情况：点A, D, E所在的直线和BC平行时；点A, D, E所在 的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可.【解答】解：(1)当。二0时，；RtZABC 中，NB二90。，ac=VaB2-FBC2=V (8-2) 2+82=4V5， 点D、E分别是边BC、AC的中点, . AE=4而= 2=2对,BD=8- 2=4, AE 275 V5

30、-BD 42当 a =180。时, 可得ABDE, AC BC 二, AE BD AE ML 外际 75 - BD-BC 2 - 2故答案为甘、亨(2)如图2,当0 a 360时，里的大小没有变化, BDNECD 二 NACB, NECA = NDCB,乂 _ AC dc=bc=T，AAECAADCB, AE EC 遍 = BD DC 2VAC=4V5, CD=4, CD LAD,J如二痛一 CD气（4府 2二,。一16 二8.TAD二BC, AB=DC, ZB=90 ,四边形ABCD是矩形,如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC于点P,VAC=4V5，CD

31、=4, CD LAD,，ad=VaC2-CDV2-42=VS0-16 = 8，点D、E分别是边BC、AC的中点,DE=.(8+2)二乂4二2, 乙乙乙AAE=AD - DE=8 - 2=6,由（2）,可得AE巡，BD 2 IB噎喑2综上所述，BD的长为的用或空注. 5【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论 思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握.（2）此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握.（3）此题还考查了线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，要熟练掌握.2. （2015?济南）如图 1,在ABC 中，ZACB

32、=90 , AOBC, ZEAC=90，点 M 为射线 AE上任意一点（不与A重合），连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到 线段CN,直线B分别交直线CM、射线AE于点F、D.（1）直接写出NNDE的度数；（2）如图2、图3,当NEAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生 变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4,若NEAC=15 , NACM=60 ,直线CM与AB交于G, BD二.+证,其他条件 2不变，求线段AM的长.【考点】几何变换综合题.【专题】压轴题.【分析】（1）根据题意证明%小（；丝NBC即可；（2）与（1）的证

33、明方法相似，证明MACg/XNBC即可；（3）作GK_LBC于K,证明AM=AG,根据%小（；丝NBC,得到NBDA=90 ,根据直角三角 形的性质和已知条件求出AG的长，得到答案.【解答】解：（1） VZACB=90 , NMC=90 ,J ZACM=ZBCN,在和NBC 中，rAC=BC /ACM:/BCN，MC=NC.,.MACANBC,A ZNBC=ZMAC=90 ,乂TNACB=90 , ZEAC=90 ,A ZNDE=90 ；(2)不变，在%口，丝ZWBC中，飞。二 BC ZACM=ZBCN，肥二NCAANfACANBC,. ZN=ZAMC,乂 TNMFD 二 NNFC,ZMDF=

34、ZFCN=90 ,即NNDE=90 ；(3)作 GKJ_BC 于 K,VZEAC=15 ,A ZBAD=30 ,V ZACM=60 ,A ZGCB=30 ,A ZAGC=ZABC+ZGCB=75 ,ZAMG=75 ,JAM 二 AG,VANIACANBC,J NMAONNBC,ZBDA=ZBCA=90 ,.BD二胡+ 2血，AC=BC=V3+1,设 BK二a,则 GK=a, CK=&,/二 V+l,Aa=l,AKB=KG=b BGf/5，ag=Vg,【点评】本题考查的是矩形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质，正确作出辅助 线、利用方程的思想是解题的关键，注意旋转的性质的灵活运用.3. （2

35、015?岳阳）已知直线mn,点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直 线m、n不垂直，点P为线段CD的中点.（1）操作发现：直线l_Lm, ln,垂足分别为A、B,当点A与点C重合时（如图所 示），连接PB,请直接写出线段PA与PB的数量关系：PA二PB .（2）猜想证明：在图的情况下，把直线1向上平移到如图的位置，试问（1）中的 PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（3）延伸探究：在图的情况下，把直线1绕点A旋转，使得NAPB=90 （如图所 示），若两平行线m、n之间的距离为2k.求证：PA?PB=k?AB.【考点】几何变换综合题.【专题】压轴题.

36、【分析】（1）根据三角形CBD是直角三角形，而且点P为线段CD的中点，应用直角三角 形的性质，可得PA二PB,据此解答即可.（2）首先过C作CE_Ln于点E,连接PE,然后分别判断出POPE、ZPCA=ZPEB.AOBE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出PACs/pbE,即可判断出PA二PB仍然 成立.（3）首先延长AP交直线n于点F,作AE_LBD于点E,然后根据相似三角形判定的方法, 判断出AEFs/BPF,即可判断出 AF?BP=AE?BF,再个 AF=2PA, AE=2k, BF=AB,可得2PA?PB=2k. AB,所以 PA?PB=k?AB,据此解答即可.【解答】解：（1） V

37、ln,ABC1BD,，三角形CBD是直角三角形，乂.点P为线段CD的中点，PA=PB.（2）把直线1向上平移到如图的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如图，过C作CE_Ln于点E,连接PE,.三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点,，PD=PE,乂.点P为线段CD的中点，PC=PD,，PC二PE；VPD=PE,，ZCDE=ZPEB,直线 mn,J ZCDE=ZPCA,J ZPCA=ZPEB,乂;直线 1_Lm, l_Ln, CE_m, CE_Ln,，1CE,.*.AC=BE,在aPAC和APBE中，.,.PACAPBE,，PA=PB.（3）如图，延长AP交直线n于点F,直线 mn,

38、AP PC 二二 i，PF PD，AP二PF,V ZAPB=90 ,ABP1AF,XVAP=PF,，BF二 AB；在4AEF和ARPF中，J AAEFABPF, AF AE ,BF BP.AF?BP=AE?BF,VAF=2PA, AE=2k, BF=AB,.*.2PA?PB=2k. AB,.,.PA?PB=k?AB.【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论 思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从图象中获取信息，并能利用获取的信 息解答相应的问题的能力.（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握.（3）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应

39、用，以及相似三角形的判定和性质的应 用，要熟练掌握.4. （2015?重庆）在aABC中，AB=AC, NA=60 ,点D是线段BC的中点，ZEDF=120 , DE与线段AB相交于点E. DF与线段AC （或AC的延长线）相交于点F.（1）如图1,若DFJ_AC,垂足为F, AB=4,求BE的长；（2）如图2,将（1）中的NEDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.求证：BE+CF二工钻：2（3）如图3,将（2）中的NEDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的 延长线相交于点F,作DNJ_AC于点工 若DN_LAC于点N,若DN=F,求证：BE+CF*（BE

40、-CF）.【考点】几何变换综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；锐角三 角函数的定义.【专题】压轴题.【分析】（1）如图1,易求得NB=60 , NBED=90 , BD=2,然后运用三角函数的定义 就可求出BE的值；（2）过点D作DM_LAB于M,作DYJ_AC于N,如图2,易证MBDgZiNCD,则有B仁CN,DM=DN,进而可证到EMDgZkFND,则有EM=FN,就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FX+CF=BM+C=2BM=2BDXcos60 二BDCAB；22（3）过点D作DM_LAB于M,如图3.同（1）可得：NB二NACD=60 ,同（2）可得：BM

41、=CN, DM=D, EM=F.由 DN二FN 可得 DM二DN二FN二EM,从而可得BE+CF=BM+EM+CF=CX+DM+CF=NF+DM=2DM, BE - CF=BM+EM - CF=BM+F CF=BM+XO2BM.然后 在RtZXBMD中，运用三角函数就可得到DM二寸品M,即BE+CF=近（BECF）.【解答】解：（1）如图1,VAB=AC, NA=60 ,ABC是等边三角形，AZB=ZC=60 , BC=AOAB=4.点D是线段BC的中点，JBD二DoiBC=2. 2VDF1AC, 即NAFD=90 ,JNAED=360 - 60 - 90 - 120 二90 ,A ZBED=

42、90 ,A BE=BD X cos ZB=2 X cos60 =2x1=1； 2（2）过点D作DM_LAB于M,作DN_LAC于如图2,则有NAMD二NBMD=/AND二NCND=90 .V ZA=60 , A ZMDN=360 - 60 - 90 - 90 =120 .VZEDF=120 , J NMDE二NNDF.在MBD和ANCD中,仙二/CND ZB=ZC ,BD 二 CD.,.MBDANCD,Z.BM=CN, DM=DN.在aEMD和FND中，ZEND=ZFND DM=DN ，Zmde=ZndfAAEMDAFND,，EM=FN,A BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM

43、+CN=2BM=2BDXcos60 二BDCAB： 22(3)过点D作DM_LAB于M,如图3.同(1)可得：ZB=ZACD=60 .同(2)可得：BM=CN, DM=DN, EM=FN.VDN=FX,，DM=D=FN=EM, BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM,BE - CF=BM+EM - CF=BM+NF - CF=BM+XO2BM.在 RtABN 中，DM=BM?tanB=M,BE+CFW （BE-CF）.【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的 判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全

44、等得到 BM=CN, DM=DN, EM=F是解决本题的关键.5. （2015?烟台）【问题提出】如图，已知aABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED二EC,将BCE绕点C顺时针旋转60至4ACF连接EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】（1）如图，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB, DB, AF之间乂 有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图的基础上将图形补充完 整，并写出AB, DB, AF之间的数量关系，不必说明理由.【考点】几何变换综合题.【专题】压轴题.【分析】首先判断出4CEF是等边三角形，即可

45、判断出EF二EC,再根据ED二EC,可得 ED二EF, NCAF二NBAO60。，所以NEAF=NBAC+NCAF=120。，ZDBE=120 , NEAF二N DBE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出EDBgZXFEA,即可判断出BD二AE,AB=AE+BF,所以 AB=DB+AF.(1)首先判断出4CEF是等边三角形，即可判断出EF二EC,再根据ED二EC,可得ED二EF, ZCAF=ZBAC=60 ,所以NEFONFGC+NFCG, NBAONFGC+NFEA, NFCG=NFEA,再根 据NFCG=NEAD, ND=NEAD,可得ND二NFEA；然后根据全等三角形判定的方法，判断出

46、 EDBAFEA,即可判断出BD二AE, EB=AF,进而判断出AB二BD - AF即可.(2)首先根据点E在线段BA的延长线上，在图的基础上将图形补充完整，然后判断出 CEF是等边三角形，即可判断出EF二EC,再根据ED二EC,可得ED二EF, NCAF二NBAC=60 ,再判断出NDBE=NEAF, NBDE二NAEF；最后根据全等三角形判定的方法，判断 出EDBgZFEA,即可判断出BD二AE, EB=AF,进而判断出AF=AB+BD即可.【解答】证明：ED=EC=CF,ABCE绕点C顺时针旋转60至ACF,JNECF=60 , NBCA=60 , BE=AF, EOCF,CEF是等边三

47、角形，JEF二EC, NCEF=60 ,又 TED=EC,.e.ED=EF,ABC是等腰三角形，NBCA=60 ,ABC是等边三角形，A ZCAF=ZCBA=60 ，A ZEAF=ZBAC+ZCAF=120 , NDBE= 120 ， NEAF=NDBE,V ZCAF=ZCEF=60 ,A、E、C、F四点共圆，J ZAEF=ZACF,乂 TED 二 EC,，ND二NBCE, NBCE=NACF,J ZD=ZAEF,在AEDB和AFEA中，/DBE 二/EAF ZD=ZAEF (AAS)ED=EFAAEDBAFEA,ADB=AE, BE=AF,VAB=AE+BE,AAB=DB+AF.(1) AB

48、=BD+AF；延长EF、CA交于点G, ,/ ABCE绕点C顺时针旋转60至ACF,JNECF=60 , BE=AF, EOCF,ACEF是等边三角形，JEF二EC,乂 TED 二 EC,ED=EF, ZEFC=ZBAC=60 ,ZEFC=ZFGC+ZFCG, ZBAC=ZFGC+ZFEA,J ZFCG=ZFEA,XVZFCG=ZECD, ND=NECD,J ZD=ZFEA,由旋转的性质，可得ZCBE=ZCAF=120 ,ZDBE=ZFAE=60 ,在AEDB和4FEA中，/DBE：/EAF, /D= NAEF （AAS）ED=EFAAEDBAFEA,BD=AE, EB=AF,/.BD=FA+

49、AB,即 AB二BD - AF.(2)如图，图，ED=EC=CF,ABCE绕点C顺时针旋转60至ACF,A ZECF=60 , BE=AF, EOCF, BC=AC,ACEF是等边三角形，AEF=EC,乂ED二EC,AED=EF,VAB=AC, BC=AC,ABC是等边三角形，A ZABC=60 ,乂 INCBE = NCAF,A ZCAF=60 ,J ZEAF=180 - ZCAF - ZBAC=180 - 60 - 60二 60 J NDBENEAF；ED =EC,AZECD=ZEDC,J Z BDE= Z ECD+ Z DEC= Z EDC+ Z DEC,乂 TNEDONEBC+NBED

50、,J NBDE=NEBC+NBED+NDEC=60 +ZBEC,V ZAEF=ZCEF+ZBEC=60 +ZBEC,J NBDENAEF,在AEDB和AFEA中，/DBE：/EAF ZBDE=ZAEF（AAS）ED=EFAAEDBAFEA,/.BD=AE, EB=AF,VBE=AB+AE,.*.AF=AB+BD,即AB, DB, AF之间的数量关系是：AF=AB+BD.【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象 能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握.（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握.6. （2015?莆田）在 RtZXACB

51、和 RtAEF 中，NACB二NAEF二90 ,若点 P 是 BF 的中点， 连接PC, PE.特殊发现：如图1,若点E, F分别落在边AB, AC上，则结论：POPE成立（不要求证明）.问题探究：把图1中的aAEF绕着点A顺时针旋转.（1）如图2,若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证 明；若不成立，请说明理由；（2）如图3,若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若 不成立，请说明理由;（3）记里:二k,当k为何值时，4CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明 BC理由）【考点】几何变换综合题.【专题】压轴题.【分析】（1）首先过

52、点P作PM_LCE于点M,然后根据EF_LAE, BCAC,可得EFMP CB,推得理，再根据点P是BF的中点，可得EM二MC,据此推得POPE即可.MC PB（2）首先过点F作FD_LAC于点D,过点P作PMJ_AC于点M,连接PD,然后根据全等三 角形判定的方法，判断出DAFgZEAF,即可判断出AD二AE：再判断出DAPgaEAP,即 可判断出PD二PE：最后根据FDJ_AC, BCAC, PMAC,可得FDBCPM,再根据点P是 BF的中点,推得PC=PD,再根据PD=PE,即可推得POPE.（3）首先根据4CPE总是等边三角形，可得将AAEF绕着点A顺时针旋转180 , ACPE 仍

53、是等边三角形；然后根据NBCF二NBEF=90 ,点P是BF的中点，可得点C、E在以点P 为圆心，BF为直径的圆上；最后根据圆周角定理，求出NCBE的度数，即可求出当4CPE 总是等边三角形时，k的值是多少.【解答】解：（1）如图2,过点P作PM_LCE于点M,图2POPE成立，理由如下:VEFAE, BCAC,，EFMPCB, EM FP 1 MCPB 点P是BF的中点,AEM=MC,又.PM_LCE,POPE.（2）如图3,过点F作FDJ_AC于点D,过点P作PM_LAC于点M,连接PD,PC二PE成立,理由如下:V ZDAF=ZEAF, ZFDA=ZFEA=90 ,在4DAF和AEAF中,ZDx=ZEAF /FDA:/FEA, AF=AFAADAFAEAF (AAS),，AD=AE,在aDAP和AEAP中，瓦二杷 /DAP:/EAP，AP=APAADAPAEAP (SAS),，PD 二 PE,VFD1AC, BCAC, PMAC,，FDBCPM, DM FP , , MC-PB 点P是BF的中点，ADM=MC,又.PMJ_AC, PC=PD,XVPD=PE,APC=PE.:CPE总是等边三角形， 将4AEF绕着点A顺时针旋转180 , ZkCPE仍是等边三角形, ZBCF=ZBEF=90，点 P 是 BF 的中点，点C、E在以点P为圆心，BF为直径的圆上， AC