层次分析法建模2017

1、2021/3/10讲解：XX1 层次分析法层次分析法 (Analytic Hierarchy Process, AHP) 2021/3/10讲解：XX2 层次分析法（层次分析法（AHPAHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂）是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂 (T.L.Saaty)(T.L.Saaty)于上世纪于上世纪7070年代初，为美国国防部研究年代初，为美国国防部研究“根据各根据各 个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，课题时， 应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一

2、种层次权 重决策分析方法。重决策分析方法。 这种方法的特点是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其这种方法的特点是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其 内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决 策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的 复杂决策问题提供简便的决策方法。是一种定性与定量分析相复杂决策问题提供简便的决策方法。是一种定性与定量分析相 结合的系统分析方法，可以综合定性和定量分析、模拟人的决结合的系统分析方法，可以综合定性和定量分析、模拟人的决 策思维过程

3、，以解决多因素复杂系统，特别是难以定量描述的策思维过程，以解决多因素复杂系统，特别是难以定量描述的 社会系统。社会系统。 2021/3/10讲解：XX3 决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选 择某一种方案。择某一种方案。日常生活中有许多决策问题。举例日常生活中有许多决策问题。举例 1. 在在海尔、新飞、容声和雪花海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱四个牌号的电冰箱 中选购一种。要考虑中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价品牌的信誉、冰箱的功能、价 格和耗电量。格和耗电量。 2. 在在泰山、杭州和承德泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。

4、要三处选择一个旅游点。要 考虑考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通 便利和旅游的费用便利和旅游的费用。 3. 在在基础研究、应用研究和数学教育基础研究、应用研究和数学教育中选择一个中选择一个 领域申报科研课题。要考虑领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、成果的贡献（实用价值、 科学意义），可行性（难度、周期和经费）和人才科学意义），可行性（难度、周期和经费）和人才 培养。培养。 2021/3/10讲解：XX4 一、层次分析法概述一、层次分析法概述 二、层次分析法的基本原理二、层次分析法的基本原理 三、层次分析法的步骤和方法三、层次分析法的

5、步骤和方法 四、层次分析法的广泛应用四、层次分析法的广泛应用 五、应用层次分析法的注意事项五、应用层次分析法的注意事项 六、层次分析法应用实例六、层次分析法应用实例 层次分析法建模层次分析法建模 2021/3/10讲解：XX5 一、层次分析法概述一、层次分析法概述 人们在对社会、经济以及管理领域的问题进行系统人们在对社会、经济以及管理领域的问题进行系统 分析时，面临的经常是一个由相互关联、相互制约分析时，面临的经常是一个由相互关联、相互制约 的众多因素构成的复杂系统。层次分析法则为研究的众多因素构成的复杂系统。层次分析法则为研究 这类复杂的系统，提供了一种新的、简洁的、实用这类复杂的系统，提供

6、了一种新的、简洁的、实用 的决策方法。的决策方法。 层次分析法层次分析法(AHP法法) 是一种解决多目标复杂问题的是一种解决多目标复杂问题的 定性与定量相结合、系统化、层次化的决策分析方定性与定量相结合、系统化、层次化的决策分析方 法。法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决 策者的经验判断各标准（准则）之间的相对重要程策者的经验判断各标准（准则）之间的相对重要程 度，并合理地给出每个决策方案相对于每个标准的度，并合理地给出每个决策方案相对于每个标准的 权重，利用权重求出各方案的优劣次序，比较有效权重，利用权重求出各方案的优劣次序，比较有效 地应用于

7、那些难以用定量方法解决的课题。地应用于那些难以用定量方法解决的课题。 2021/3/10讲解：XX6 层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。 其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来，按其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来，按 照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 体现了体现了先分解后综合先分解后综合的系统思想，是系统科学中常的系统思想，是系统科学中常 用的一种系统分析方法。用的一种系统分析方法。 该方法自该方法自19821982年被介绍到我国以来，以其定性与定年被介绍到我国以来，以其定性

8、与定 量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统 灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域 内，如工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、内，如工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、 冲突问题、性能评价、能源系统分析、城市规划、冲突问题、性能评价、能源系统分析、城市规划、 经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。 2021/3/10讲解：XX7 二、层次分析法的基本原理 层次分析法根据问题的性质和要达到的层次分析法根据问题的性质和要达到的 总目标，

9、将问题分解为不同的组成因素，总目标，将问题分解为不同的组成因素， 并按照因素间的相互关联影响以及隶属关并按照因素间的相互关联影响以及隶属关 系将因素按不同层次聚集组合，形成一个系将因素按不同层次聚集组合，形成一个 多层次的分析结构模型，从而最终使问题多层次的分析结构模型，从而最终使问题 归结为最低层归结为最低层( (供决策的方案、措施等供决策的方案、措施等) )相相 对于最高层对于最高层( (总目标总目标) )的的相对重要权值相对重要权值的确的确 定或相对优劣次序的排定。定或相对优劣次序的排定。 2021/3/10讲解：XX8 层次分析法的基本思路与人对复杂决策问题的思维和判断过层次分析法的基

10、本思路与人对复杂决策问题的思维和判断过 程大体是一致的例如，某工厂要从三名技术人员中选派一名程大体是一致的例如，某工厂要从三名技术人员中选派一名 骨干人员，主要根据技术能力、品德、资历、贡献等准则去反骨干人员，主要根据技术能力、品德、资历、贡献等准则去反 复比较这三个人首先，要确定这些准则对评价一个技术人员复比较这三个人首先，要确定这些准则对评价一个技术人员 的重要性有多大；其次，会就每一准则将三个人进行对比；最的重要性有多大；其次，会就每一准则将三个人进行对比；最 后，将这两个层次的比较判断进行综合，在中确定最佳人选后，将这两个层次的比较判断进行综合，在中确定最佳人选 2021/3/10讲解

11、：XX9 三、层次分析法的步骤和方法三、层次分析法的步骤和方法 运用层次分析法构造系统模型时，大体可 以分为以下四个步骤： 1. 建立层次结构模型 2. 构造判断(成对比较)矩阵 3. 层次单排序及其一致性检验 4. 层次总排序及其一致性检验 2021/3/10讲解：XX10 AHP分析法的步骤分析法的步骤 2021/3/10讲解：XX11 1. 建立层次结构模型 将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策 对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层 和最低层，绘出层次结构图。和最低层，绘出层次结构图。 最高层

12、最高层：决策的目的、要解决的问题。：决策的目的、要解决的问题。 最低层最低层：决策时的备选方案。：决策时的备选方案。 中间层中间层：考虑的因素、决策的准则。：考虑的因素、决策的准则。 对于相邻的两层，称高层为对于相邻的两层，称高层为目标层目标层，低层为，低层为因素因素 层层。 下面举例说明。下面举例说明。 2021/3/10讲解：XX12 技术技术 能力能力 贡贡 献献 资资 历历 品品 德德 准准 则则(C) 层层 为实现总目标而为实现总目标而 采取的各种措施采取的各种措施 和方案和方案 P1 P2P3 方方 案案(P) 层层 用于解决问题的用于解决问题的 各种措施和方案各种措施和方案 选择

13、骨干人员选择骨干人员 目目 标标(O) 层层 解决问题的目的解决问题的目的 (也叫总目标也叫总目标) 例例1 1 骨干人员的选择骨干人员的选择 2021/3/10讲解：XX13 例例2 2 大学毕业生就业选择问题大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生，在获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择双向选择” 时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。 就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的， 例如：例如： 能发挥自己才干作出较好能发挥自己才干作出较好贡献贡献（即工作岗位适（即工作岗位适 合发挥

14、自己的专长）；合发挥自己的专长）； 工作工作收入收入较好（待遇好）；较好（待遇好）； 生活环境生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；好（大城市、气候等工作条件等）； 单位单位名声名声好（声誉等）；好（声誉等）； 工作环境工作环境好（人际关系和谐等）好（人际关系和谐等） 发展发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。晋升机会多（如新单位或前景好）等。 2021/3/10讲解：XX14 工作选择工作选择 可供选择的单位可供选择的单位P P1 1 P P2 2 ， P Pn n 贡贡 献献 收收 入入 发发 展展 声声 誉誉 工工 作作 环环 境境 生生 活活 环环 境境 目标层目标层 准则层准则层

15、方案层方案层 2021/3/10讲解：XX15 目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地) P2 黄山黄山 P1 桂林桂林 P3 北戴河北戴河 准则层准则层 方案层方案层 C3 居住居住 C1 景色景色 C2 费用费用 C4 饮食饮食 C5 旅途旅途 例例3 3 选择旅游地选择旅游地 如何在如何在3 3个目的地中按照景色、个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择费用、居住条件等因素选择. . 2021/3/10讲解：XX16 例例4 4 科研课题的选择科研课题的选择 某研究所现有三个某研究所现有三个 科研课题，限于人力科研课题，限于人力 及物力，只能研究一及物力，只能研究一 个课题。有三个须

16、考个课题。有三个须考 虑的因素：虑的因素：(1)(1)科研科研 成果贡献大小成果贡献大小( (包括包括 实用价值和科学意实用价值和科学意 义义) )；(2)(2)人材的培人材的培 养；养；(3)(3)课题的可行课题的可行 性性( (包括课题的难易包括课题的难易 程度、研究周期及资程度、研究周期及资 金金) )。在这些因素的。在这些因素的 影响下，如何选择课影响下，如何选择课 题题? ? 2021/3/10讲解：XX17 将决策问题分为将决策问题分为3 3个或多个层次：个或多个层次： 最高层：目标层。最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析表示解决问题的目的，即层次分析 要达到的总目标。通

17、常只有一个总目标。要达到的总目标。通常只有一个总目标。 中间层：准则层、指标层、中间层：准则层、指标层、。表示采取某种措施、表示采取某种措施、 政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节；政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节； 一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。 最低层：方案层。最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、表示将选用的解决问题的各种措施、 政策、方案等。通常有几个方案可选。政策、方案等。通常有几个方案可选。 每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。 层次分析法的思

18、维过程的归纳层次分析法的思维过程的归纳 层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相 对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、 措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择 方案的原则。方案的原则。 2021/3/10讲解：XX18 2. 构造判断构造判断(成对比较成对比较)矩阵矩阵 在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的 结果，则常常不容易被别人接受，因而结果，则常常不容易

19、被别人接受，因而SaatySaaty等人提出：等人提出： 一致矩阵法，即：一致矩阵法，即： 1. 1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较 2. 2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因 素相互比较的困难，以提高准确度。素相互比较的困难，以提高准确度。 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每层个，即每层 不要超过不要超过9个因素。个因素。 判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相 对重要性

20、的比较。判断矩阵的元素对重要性的比较。判断矩阵的元素a aij ij用 用SaatySaaty的的1 19 9标度标度 方法给出。方法给出。 2021/3/10讲解：XX19 判断矩阵元素判断矩阵元素a aij ij的标度方法 的标度方法 标度标度含义含义 1 1表示两个因素相比，具有同样重要性表示两个因素相比，具有同样重要性 3 3表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 5 5表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 7 7表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要表示两个因素相比，

21、一个因素比另一个因素强烈重要 9 9表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要 2，4，6，8上述两相邻判断的中值上述两相邻判断的中值 倒数倒数 因素因素i i与与j j比较的判断比较的判断a aij ij，则因素 ，则因素j j与与i i比较的判断比较的判断a aji ji=1/a =1/aij ij 2021/3/10讲解：XX20 11/ 2433 21755 1/ 41/ 711/ 21/ 3 1/ 31/ 5211 1/ 31/ 5311 A ij jiijnnij a aaaA 1 , 0,)( 设要比较各准则设要比较各准则C1,C

22、2, , Cn对目标对目标O的重要性的重要性 ijji aCC: A成对比较阵成对比较阵 A是正互反阵是正互反阵 要由要由A确定确定C1, , Cn对对O的权向量的权向量 选选 择择 旅旅 游游 地地 目标层目标层 O(选择旅游地选择旅游地) 准则层准则层 C3 居住居住 C1 景色景色 C2 费用费用 C4 饮食饮食 C5 旅途旅途 C1 C2 C3 C4 C5 C1 C2 C3 C4 C5 稍加分析就发 现上述成对比 较矩阵有问题 2021/3/10讲解：XX21 712 42/11 A 成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况 2121 2 (:)aC C ):(4 3113 CCa )

23、:(8 3223 CCa 一致比较一致比较 不一致不一致 允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围 2021/3/10讲解：XX22 n nnn n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 考察完全一致的情况考察完全一致的情况 T n wwwW),( 21 jiij wwa/令 可作为一个排序向量 成对比较 nkjiaaa ikjkij , 2 , 1,满足满足 的正互反的正互反矩阵矩阵A A称称一致性比较矩阵阵。一致性比较矩阵阵。 A的秩为的秩为1，A的唯一非零特征根为的唯一

24、非零特征根为n 非零特征根非零特征根n所对应的特征向量归一化后可作为权向量所对应的特征向量归一化后可作为权向量 一致阵一致阵 性质性质 2021/3/10讲解：XX23 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 A A T n aaa, 21 A A 2021/3/10讲解：XX24 对于不一致对于不一致(但在允许范围内但在允许范围内)的成对比较阵的成对比较阵A， Saaty等人建议用对应于最大特征根等人建议用对应于最大特征根 max的特征向的特征向 量作为权向量量作为权向量w ，即，即 一致阵性质一致阵性质 Aw nw 但允许范围是多大？如何界定？但允许范围是多

25、大？如何界定？ wAw max 2021/3/10讲解：XX25 3. 层次单排序及其一致性检验层次单排序及其一致性检验 对应于判断矩阵最大特征根对应于判断矩阵最大特征根maxmax的特征向量，经的特征向量，经 归一化归一化( (使向量中各元素之和等于使向量中各元素之和等于1)1)后记为后记为W W。 W W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素 相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。 能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓 一致性检验是指对一致

26、性检验是指对A A确定不一致的允许范围。确定不一致的允许范围。 定理：定理：n 阶一致性矩阵的唯一非零特征根为阶一致性矩阵的唯一非零特征根为n。 定理：定理：n 阶正互反阵阶正互反阵A的最大特征根的最大特征根 max n, 当且仅当当且仅当 max=n时时A为一致性矩阵阵。为一致性矩阵阵。 2021/3/10讲解：XX26 由于由于max 连续的依赖于连续的依赖于aij ，max 比比n 大的越多，大的越多，A 的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量 作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量， 其不

27、一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可 以用以用 max-n 数值的大小来衡量数值的大小来衡量 A 的不一致程度。的不一致程度。 1 max n n CI 定义一致性指标定义一致性指标: CI=0，有完全的一致性，有完全的一致性 CI接近于接近于0，有满意的一致性，有满意的一致性 CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重 2021/3/10讲解：XX27 RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 23456789 1110 为衡量为衡量CI 的大小，引入的大小，引入随机一致性指标随

28、机一致性指标 RI。方法为。方法为 Saaty的结果如下的结果如下 随机一致性指标随机一致性指标 RIRI 50021 ,AAA 50021 ,CICICI 1 500 500 50021 50021 n n CICICI RI 则可得一致性指标则可得一致性指标 随机构造随机构造500500个成对比较矩阵个成对比较矩阵 2021/3/10讲解：XX28 1 .0 RI CI CR A 一致性检验：利用一致性指标和一致性比率一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.10.1及随机及随机 一致性指标的数值表，对一致性指标的数值表，对 进行检验的过程。进行检验的过程。 一般，当一致性比率一般，当一致

29、性比率 的不一致程度在容许范围之内，的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过有满意的一致性，通过 一致性检验。一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则可用其归一化特征向量作为权向量，否则 要重新构造成对比较矩阵要重新构造成对比较矩阵A A，对，对 aij 加以调整。加以调整。 时，认为时，认为 A 定义一致性比率定义一致性比率 ： RI CI CR 2021/3/10讲解：XX29 “选择旅游地选择旅游地”中中 准则层对目标的权准则层对目标的权 向量及一致性检验向量及一致性检验 1135/13/1 1125/13/1 3/12/117/14/1 55712 3342/11 A

30、准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵 最大特征根最大特征根 max=5.073 权向量权向量(特征向量特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T 018.0 15 5073.5 CI 一致性指标一致性指标 随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12 (查表查表) 一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1 通过一致通过一致 性检验性检验 2021/3/10讲解：XX30 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算 精确计算比较复杂。精确计算比较复杂。 简化计算的思路简化计算的思路一致性比

31、较矩阵的任一列向量都是一致性比较矩阵的任一列向量都是 特征向量，一致性尚好的正互反矩阵的列向量都应近似特特征向量，一致性尚好的正互反矩阵的列向量都应近似特 征向量，可取其某种意义下的平均。征向量，可取其某种意义下的平均。 和法和法取列向量的算术平均取列向量的算术平均 14/ 16/ 1 412/ 1 621 A例 091. 0077. 01 . 0 364. 0308. 03 . 0 545. 0615. 06 . 0 w 089. 0 324. 0 587. 0 1.769 0.974 0.268 Aw 009. 3) 089. 0 268. 0 324. 0 974. 0 587. 0 7

32、69. 1 ( 3 1 列向量列向量 归一化归一化 求求 行行 和和 归归 一一 化化 wAw 精确结果精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010 2021/3/10讲解：XX31 14/ 16/ 1 412/ 1 621 A 091. 0077. 01 . 0 364. 0308. 03 . 0 545. 0615. 06 . 0 268. 0 972. 0 760. 1 w 089. 0 324. 0 587. 0 268. 0 974. 0 769. 1 Aw 009. 3) 089. 0 268. 0 324. 0 974. 0 587. 0 769. 1

33、( 3 1 max 010. 3max,)090. 0 ,322. 0 ,588. 0( T w 2021/3/10讲解：XX32 A 1521 5 1 1 3 1 4 1 2 1 31 2 1 1421 37. 038. 0375. 036. 0 07. 008. 00625. 009. 0 19. 023. 01875. 018. 0 37. 031. 0375. 036. 0 485. 1 3025. 0 7875. 0 415. 1 w 372. 0 076. 0 197. 0 355. 0 501. 1 3049. 0 7885. 0 425. 1 wA 016. 4 372. 0

34、501. 1 076. 0 3049. 0 197. 0 7885. 0 355. 0 425. 1 4 1 max 2021/3/10讲解：XX33 用方根法计算下述判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量。用方根法计算下述判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量。 B C1 C2 C3 C1 C2 C3 1 5 3 1/5 1 11/3 1/3 3 方根法方根法 解：（解：（1 1）将判断矩阵）将判断矩阵B B的元素按行相乘的元素按行相乘 本例有：本例有： n j iji bu 1 1 15 067. 0 15 1 3 2 1 u u u 2021/3/10讲解：XX34 （2 2）所得的乘积

35、分别开）所得的乘积分别开n n次方次方 本例有：本例有： n ii uu 11 466. 215 405. 0067. 0 3 3 3 2 3 1 u u u （3）将方根向量规一化，即得所求特征向量）将方根向量规一化，即得所求特征向量W 本例有：本例有： n i i i i u u W 1 2021/3/10讲解：XX35 258. 0 871. 3 1 637. 0 871. 3 466. 2 105. 0 871. 3 405. 0 1466. 2405. 0 405. 0 3 2 1 W W W W= 0.105，0.637，0.258 T （4）计算判断矩阵最大特征根）计算判断矩阵最

36、大特征根 本例有：本例有： max=3.037 i i n i nW BW )( 1 max 2021/3/10讲解：XX36 4. 层次总排序及其一致性检验层次总排序及其一致性检验 计算某一层次所有因素对于最高层计算某一层次所有因素对于最高层( (总目标总目标) )相对相对 重要性的权值，称为层次总排序。重要性的权值，称为层次总排序。 这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。 Z 1 A 2 Am A 1 B 2 B n B , 21m AAAmA个因素层 对总目标对总目标Z Z的排序为的排序为 m aaa, 21 j AAnB中因素为个因素对上层

37、层 的层次单排序为的层次单排序为 ), 2 , 1( , 21 mjbbb njjj 2021/3/10讲解：XX37 即即 B B 层第层第 i i 个因素对总目标个因素对总目标 的权值为：的权值为： B nmmnnn mm mm bababaB bababaB bababaB 2211 22222112 11221111 : : : m j ijjb a 1 层的层次总排序为：层的层次总排序为： B层的层次层的层次 总排序总排序 m AAA, 21 m aaa, 21 n B B B 2 1 1 21 11 n b b b 2 22 12 n b b b nm m m b b b 2 1

38、A B 1 1 1 bba m j jj 2 1 2 bba m j jj n m j njj bba 1 2021/3/10讲解：XX38 层次总排序的一致性检验层次总排序的一致性检验 设设 层层 对上层对上层( ( 层层) )中因素中因素 的层次单排序一致性指标为的层次单排序一致性指标为 ，随机一致性指为，随机一致性指为 ， 则层次总排序的一致性比率为：则层次总排序的一致性比率为： B n BBB, 21 A), 2 , 1(mjAj j CI j RI mm mm RIaRIaRIa CIaCIaCIa CR 2211 2211 1 . 0CR当当 时，认为层次总排序通过一致性检验。层次

39、时，认为层次总排序通过一致性检验。层次 总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比 率高的判断矩阵的元素取值。率高的判断矩阵的元素取值。 到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。 2021/3/10讲解：XX39 记第记第2层（准则）对第层（准则）对第1层（目标）的权向量为层（目标）的权向量为 (2) (0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)Tw 同样求第同样求第3层层(方案方案)对第对第2层每一元素层每一元素(准则准则)的权向量的权向量 12/1

40、5/1 212/1 521 1 B 方案层对方案层对C1(景色景色)的的 成对比较阵成对比较阵 138 3/113 8/13/11 2 B 方案层对方案层对C2(费用费用)的的 成对比较阵成对比较阵 Cn Bn 最大特征根最大特征根 1 =3.005 2 =3.002 5 =3.0 权向量权向量 w1(3) w2(3) w5(3) =(0.595， ，0.277，0.129) =(0.082，0.236，0.682) =(0.166，0.166，0.668) 选择旅游地选择旅游地 2021/3/10讲解：XX40 第第3层对第层对第2层的计算结果层的计算结果 w w( (2 2) ) )3(

41、k w k k CI 0.2630.263 0.595 0.277 0.129 3.005 0.0030.00100.0050 3.002 0.682 0.236 0.082 0.4750.475 3 0.142 0.429 0.429 0.0550.055 3.009 0.175 0.193 0.633 0.0900.090 3 0.668 0.166 0.166 0.1100.110 组合权向量组合权向量 RI= =0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验均可通过一致性检验 方案方案P1对目标的组合权重为对目标的组合权重为0.595 0.263+ =0.300 方案层对目标的组合

42、权向量为方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T 2021/3/10讲解：XX41 1.1.建立层次结构模型建立层次结构模型 该结构图包括目标层，准则层，方案层。该结构图包括目标层，准则层，方案层。 层次分析法的基本步骤归纳如下层次分析法的基本步骤归纳如下 3.3.计算单排序权向量并做一致性检验计算单排序权向量并做一致性检验 2.2.构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵 从第二层开始用成对比较矩阵和从第二层开始用成对比较矩阵和1 19 9尺度。尺度。 对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量， 利用一致性

43、指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性 检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量； 若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。 2021/3/10讲解：XX42 计算最下层对最上层总排序的权向量。计算最下层对最上层总排序的权向量。 4.4.计算总排序权向量并做一致性检验计算总排序权向量并做一致性检验 1 . 0CR CR 进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进 行决策，否则需要重新考虑模型或重新

44、构造那些一致性比行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比 率率 较大的成对比较矩阵。较大的成对比较矩阵。 mm mm RIaRIaRIa CIaCIaCIa CR 2211 2211 利用总排序一致性比率利用总排序一致性比率 2021/3/10讲解：XX43 为了给出判断矩阵，需要进行为了给出判断矩阵，需要进行n(n-1)/2n(n-1)/2次两两比较。次两两比较。 有人会问，只要让其它所有元素与某一个元素进行比有人会问，只要让其它所有元素与某一个元素进行比 较，即总共进行较，即总共进行n-1n-1次比较就可以构造出判断矩阵了，次比较就可以构造出判断矩阵了， 两两比较必要吗？两两比较

45、必要吗？ 如仅用如仅用n-1n-1次比较来决定元素排序，则其中任何一次次比较来决定元素排序，则其中任何一次 判断失误必将导致不合理的排序。两两比较可以集中判断失误必将导致不合理的排序。两两比较可以集中 决策者提供的更多的信息，正好是对每一次比较是否决策者提供的更多的信息，正好是对每一次比较是否 合理进行检查的过程，通过不同角度的反复比较，降合理进行检查的过程，通过不同角度的反复比较，降 低个别失误所造成的影响，避免系统性的错误。低个别失误所造成的影响，避免系统性的错误。 两两比较非常必要，应保证每次比较能够独立进行。两两比较非常必要，应保证每次比较能够独立进行。 讨论：判断矩阵中两两比较的必要

46、性 2021/3/10讲解：XX44 四四. 层次分析法的广泛应用层次分析法的广泛应用 层次分析法在层次分析法在T.L.Saaty正式提出来之后，由于它在处理复正式提出来之后，由于它在处理复 杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到 普遍的重视和广泛的应用。二三十年来它的应用已遍及经济计普遍的重视和广泛的应用。二三十年来它的应用已遍及经济计 划和管理、能源政策和分配。从处理问题的类型看，主要是决划和管理、能源政策和分配。从处理问题的类型看，主要是决 策、评价、分析、预测等。这个方法在策、评价、分析、预测等。这个方法在20世纪世

47、纪80年代初引入我年代初引入我 国，也很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所国，也很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所 接受，在经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，接受，在经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价， 生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环 境，军事等领域境，军事等领域,得到了成功的应用。得到了成功的应用。 2021/3/10讲解：XX45 国家综合实力国家综合实力 国民国民 收入收入 军事军事 力量力量 科技科技 水平水平 社会社会 稳定稳定 对外对外 贸易贸易 美、俄

48、、中、日、德等大国美、俄、中、日、德等大国 工作选择工作选择 贡贡 献献 收收 入入 发发 展展 声声 誉誉 关关 系系 位位 置置 供选择的岗位供选择的岗位 例例1 国家国家 实力分析实力分析 例例2 工作选择工作选择 2021/3/10讲解：XX46 过河的效益过河的效益 A 经济效益经济效益 B1 社会效益社会效益 B2 环境效益环境效益 B3 节节 省省 时时 间间 C1 收收 入入 C2 岸岸 间间 商商 业业 C3 当当 地地 商商 业业 C4 建建 筑筑 就就 业业 C5 安安 全全 可可 靠靠 C6 交交 往往 沟沟 通通 C7 自豪自豪 感感C8 舒舒 适适 C9 进进 出出

49、 方方 便便 C10 美美 化化 C11 桥梁桥梁 D1 隧道隧道 D2 渡船渡船 D3 （1）过河效益层次结构）过河效益层次结构 例例3 横渡横渡 江河、海峡江河、海峡 方案的抉择方案的抉择 2021/3/10讲解：XX47 过河的代价过河的代价 A 经济代价经济代价 B1 环境代价环境代价 B3 社会代价社会代价 B2 投投 入入 资资 金金 C1 操操 作作 维维 护护 C2 冲冲 击击 渡渡 船船 业业 C3 冲冲 击击 生生 活活 方方 式式 C4 交交 通通 拥拥 挤挤 C5 居居 民民 搬搬 迁迁 C6 汽汽 车车 排排 放放 物物 C7 对对 水水 的的 污污 染染 C8 对对

50、 生生 态态 的的 破破 坏坏 C9 桥梁桥梁 D1 隧道隧道 D2 渡船渡船 D2 （2）过河代价层次结构）过河代价层次结构 例例3 横渡横渡 江河、海峡江河、海峡 方案的抉择方案的抉择 2021/3/10讲解：XX48待评价的科技成果待评价的科技成果 直接直接 经济经济 效益效益 C11 间接间接 经济经济 效益效益 C12 社会社会 效益效益 C13 学识学识 水平水平 C21 学术学术 创新创新 C22 技术技术 水平水平 C23 技术技术 创新创新 C24 效益效益C1水平水平C2 规模规模C3 科技成果评价科技成果评价 例例4 科技成果科技成果 的综合评价的综合评价 2021/3/

51、10讲解：XX49 层次分析法的优点层次分析法的优点 系统性系统性将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合 的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统 计分析之后发展起来的系统分析的重要工具；计分析之后发展起来的系统分析的重要工具； 实用性实用性定性与定量相结合，能处理许多用传统的最优定性与定量相结合，能处理许多用传统的最优 化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，化技术无法着手的实际问题，应用范围很广， 同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够 相互沟通，决策者甚至可

52、以直接应用它，这就相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就 增加了决策的有效性；增加了决策的有效性； 简洁性简洁性计算简便，结果明确，计算简便，结果明确，具有中等文化程度的人即具有中等文化程度的人即 可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的 基本步骤，容易被决策者了解和掌握。基本步骤，容易被决策者了解和掌握。便于决便于决 策者直接了解和掌握。策者直接了解和掌握。 五、应用层次分析法的注意事项五、应用层次分析法的注意事项 2021/3/10讲解：XX50 层次分析法的局限层次分析法的局限 囿旧囿旧只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出只能从原有的方案

53、中优选一个出来，没有办法得出 更好的新方案更好的新方案； 粗略粗略该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗 糙的，不适用于精度较高的问题。糙的，不适用于精度较高的问题。； 主观主观从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主 观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难 以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断 的办法是克服这个缺点的一种途径。的办法是克服这个缺点的一种途径。 2021/3/10讲解：XX51 六、层次分析法应用

54、实例六、层次分析法应用实例 某单位拟从某单位拟从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准名干部中选拔一名领导，选拔的标准 有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力 和健康状况。下面用和健康状况。下面用AHP方法对方法对3人综合评估、量化人综合评估、量化 排序。排序。 2021/3/10讲解：XX52 目标层目标层 选一领导干部选一领导干部 准则层准则层 1 P 2 P 3 P 方案层方案层 健康状况健康状况 业务知识业务知识 口才口才 写作能力写作能力 工作作风工作作风 政策水平政策水平 建立层次结构模型建立层次结构模型 2021/3/10讲解：X

55、X53 113222 1133/111 3/13/115/14/14/1 2/13512/11 2/114211 2/114111 A 健康情况健康情况 业务知识业务知识 写作能力写作能力 口才口才 政策水平政策水平 工作作风工作作风 健康情况健康情况 业务知识业务知识 写作能力写作能力 口才口才 政策水平政策水平 工作作风工作作风 A的最大特征值的最大特征值 ,35. 6 max 相应的特征向量为：相应的特征向量为： T W)30. 0 ,12. 0 ,05. 0 ,19. 0 ,19. 0 ,16. 0( )2( 构造成对比较矩阵及构造成对比较矩阵及 层次单排序层次单排序 07.0 16

56、635.6 CI 一致性指标一致性指标 随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.24 (查表查表) 一致性比率一致性比率CR=0.07/1.24=0.05650.1 通过一致性检验通过一致性检验 2021/3/10讲解：XX54 假设假设3人关于人关于6个标准的判断矩阵为：个标准的判断矩阵为： 13/12 314 2/14/11 )3( 1 B 健康情况健康情况 125 2/114 4/14/11 )3( 2 B 业务知识业务知识 113 113/1 3/131 )3( 3 B 写作能力写作能力 17/15/1 713 53/11 )3( 4 B 口才口才 17/17/1 711 711 )3

57、( 5 B 政策水平政策水平 15/19/1 517/1 971 )3( 6 B 工作作风工作作风 2021/3/10讲解：XX55 由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。 特征值特征值健康情况健康情况 业务知识业务知识 写作能力写作能力 口才口才 政策水平政策水平 工作作风工作作风 3.02 3.02 3.05 3.05 3.00 3.02 max 各属性的最大特征值各属性的最大特征值 05. 007. 007. 046. 057. 024. 0 17. 047. 065. 022. 033. 063. 0 77. 047. 028. 0

58、32. 010. 014. 0 )3( W 均通过一致性检验均通过一致性检验 2021/3/10讲解：XX56 从而有从而有 30. 0 12. 0 05. 0 19. 0 19. 0 16. 0 05. 007. 007. 046. 057. 024. 0 17. 047. 065. 022. 033. 063. 0 77. 047. 028. 032. 010. 014. 0 )2( )3( WWW 26. 0 34. 0 40. 0 W 即在即在3人中应选择人中应选择A担任领导职务。担任领导职务。 层次总排序及一致性检验层次总排序及一致性检验 2021/3/10讲解：XX57 Z 1 A

59、 2 A 3 A 4 A 5 A 1 B 2 B 3 B 54321 ,AAAAA 321 ,BBB 旅游问题旅游问题 (1)建模 分别分别表示景色、费用、 居住、饮食、旅途。 分别表示苏杭、北戴河、桂林。 2021/3/10讲解：XX58 （2）构造成对比较矩阵 113 5 1 3 1 112 5 1 3 1 3 1 2 1 1 7 1 4 1 55712 334 2 1 1 A 1 2 1 5 1 21 2 1 521 1 B 138 3 1 13 8 1 3 1 1 2 B 1 3 1 3 1 311 311 3 B 11 4 1 11 3 1 431 4 B 144 4 1 11 4

60、1 11 5 B 2021/3/10讲解：XX59 (3)计算层次单排序的权向量和一致性检验 A073. 5 max 110. 0 ,099. 0 ,055. 0 ,475. 0 ,263. 0W 018. 0 15 5073. 5 CI 12. 1RI 1 . 0016. 0 12. 1 018. 0 CR A 成对比较矩阵 的最大特征值 表明 通过了一致性验证。 故 则 该特征值对应的归一化特征向量 2021/3/10讲解：XX60 对成对比较矩阵 可以求层次 总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下： 54321 ,BBBBB k 1k w 2k w 3k w k k CI k RI 1