微分几何习题解答曲线论

1、第一章曲线论向量函数5.向量函数r(t)具有固定向的充要条件是r(t) X r(t)= 0。分析：一个向量函数r(t) 一般可以写成r(t)= (t) e(t)的形式，其中e(t)为单位向 量函数，(t)为数量函数，那么r(t)具有固定向的充要条件是e(t)具有固定向，即e(t) 为常向量，(因为e(t)的长度固定)。证 对于向量函数r (t)，设e(t)为其单位向量，则r(t) = (t) e(t)，若r(t)具有固定向，贝U e(t)为常向量，那么r(t) = (t) e ，所以r xr= ( e xe) = 0。反之，若 r xr=0，对 r(t)= (t) e(t)求微商得 r= e

2、+ e，于是 r x r= 2 ( e xe) = 0，则有 =0 或e xe = 0。当(t) = 0 时，r(t)= 0可与任意向 平行；当 o 时，有 e xe = 0，而(e xej= e2e2-( e e )2 = e2，(因为 e 具 有固定长，e e= 0)，所以e = 0，即e为常向量。所以，r(t)具有固定向。6.向量函数r (t)平行于固定平面的充要条件是(r r r) =0。分析：向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量n(t)，使r(t) n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n及n与r，r的关系。证 若r(t)平行于一固定平面n,设n是平面n的一个单位

3、法向量，则n为常向量，且r(t) n = 0 两次求微商得rn = 0 ， r n = 0，即向量r， r， r垂直于 同一非零向量n，因而共面，即(r r r) =0。反之,若 (r r r) =0，贝U有 r x=0 或 r xr 0。若 r xr= 0，由上题知 r (t)具有固定向，自然平行于一固定平面，若r xr0，则存在数量函数(t)、(t)，Word资料使 r= r + r令n = ； Xr，则n 0，且r(t)丄n(t)。对n = r Xr求微商并将式代入得n = r Xr=(r Xr) = n，于是n Xn= 0，由上题知n有固定向，而r (t)丄n ,即r (t)平行于固定

4、平面。S曲线的概念1.求圆柱螺线 x = cost , y= si nt ,z =t 在( 1,0,0)的切线和法平面。解 令 cost=1, si nt =0, t =0 得 t=0, r (0)= - si nt ,cost ,1|t 0 =0,1,1,曲线在(0,1,1)的切线为 乞y z，法平面为y + z = 0。0 1 1求三次曲线r at, bt2,ct3在点t0的切线和法平面。2.2r 广 r、rXat 0r(t) a,2bt0,3ct。，切线为 - ay bt：2btTZ Ct；3ct0；，法平面为22a(x ato) 2bto(y bt) 3ct(z丄3Ct)0。角。3.证

5、明圆柱螺线r = a cos ,asin ,b)的切线和z轴作固定r = -a sin ,acos , b ,设切线与z轴夹角为，则cos 为常数，故 为定角(其中k为z轴的单位向量)。 b24.求悬链线r = t , a cosh 7 (- t )从t =0起计算的弧长。解 r =1 , si nh , | r |= .1 si nh2 ； = cosh-a , s =to cosh adt a sinh 占 。a9 .求曲线x3 3a2y,2xz a2在平面y 3 与y = 9a之间的弧长。x3 a2a解 曲线的向量表示为r = x，r，,曲面与两平面y乜 与y = 9a的交3a 2x点分

6、别为 x=a 与x=3a2,r = 1,务,2a .2 ， I r Ia 2x441 _L_ a4 4x_2 x2 a2a2 ，2x所求弧长为s3a x2a(722x9a 。10.将圆柱螺线r =acost ,asint , bt化为自然参数表示。解 r = - asint ,acost ,b.s =01 r |dt . a2 b2t，所以 tsa2 b2代入原程得 ：=a coss, asin , s , bs 荷 b2(a2 b211.求用极坐标程()给出的曲线的弧长表达式。解 由 x ( )cos , y()sin知 r =( ) cos -( ) sin ，()sin +( )cos

7、, | r | =2( )2 ()，从o到的曲线的弧长是s=02( )2( ) d 。4空间曲线1. 求圆柱螺线x = acost , y =asint , z = bt在任意点的密切平面的程解 r= - as in t ,acost ,b, r=- acost，- asi nt ,0 所以曲线在任意点的密切平面的程为x a cost y a si nt z bta si nt a cost b = 0 ，即 卩(bsi nt )x-( b cost )y+az-abt=0 .a costa si nt02. 求曲线；= t sint,tcost,td 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、

8、 主法线、副法线。解 原点对应 t=0 , r(0)= sint +t cost ,cost - tsint ,et + tet t o=O,1,1,r(0) 2 cost + t cost, cost - t si nt ,2et + tet t o =2,0,2,所以切线程是 -，法面程是y + z = 0 ;0 1 1xyz密切平面程是011=0，即卩x+y-z=0，202主法线的程是x y z 0即、丄土 ；y z 0211从切面程是2x-y+z=0 ,副法线程式o1 1 13. 证明圆柱螺线x =acost , y = asint , z = bt的主法线和z轴垂直相交。证 r =

9、- asint ,acost ,b, r=- acost，- asint ,0 ,由 r丄 r知 r为主法线 的向向量，而r k 0所以主法线与z轴垂直；主法线程是x a cost y asi nt z btcostsi nt0与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。4. 在曲线x = cos cost ,y = cossint , z = tsin的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面解 r = -cos sint, cos cost, sin , r= -cos cost,- cos sint , 0 r rs in si nt ,-sin|r r

10、|新曲线的程为rr = coscost + sinsint对于新曲线 r= - cossi nt+ sincostcost , cos ,cossi nt- sincost ,tsi n+ cos,coscost+ sin si nt,sin=si n(-t),cos( -t), sin , r= -cos( -t), sin( -t),0,其密切平面的程是x cos a cost y cosa sin t z t sin asi n(a t) cos(a t) si nacos(a t) sin(a t)0即 sin sin(t- ) x sin cos(t- ) y + z tsin co

11、s = 0 .5. 证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。证法一：设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径r(t)具有固定长，所以r = 0,即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平 面通过这点的向径，也就通过其始点球心。若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则r r = 0，r(t)具有固定长，对应的曲线是球面曲线。法二：r r(t)是球面曲线存在定点仁(是球面中心的径矢)和常数R (是球面的半径)使(r r0)2 R22(r ) r 0，即(：仁)：0(*)r rr r r而过曲线r r(t)上任一点的法平面程为(r)r

12、 0。可知法平面过球面中 心 (*)成立。所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。6证明过原点平行于圆柱螺线r = acost，asint，bt的副法线的直线轨迹是 锥面 a2(x2 y2) bz2.证 r =-a sint ,a cost , ,r =-a cost，- a sint ,0 ， rr= a bsint,bcost, a为副法线的向向量，过原点平行于副法线的直线的程是- Z，消去参数 t 得 a2(x2 y2) bz2。bsi ntbcost a7. 求以下曲面的曲率和挠率 r a cosh t, asinht,at, r a(3t t3 ),3at2,a(

13、3t t3)( a 0)。2a2 cosht(i 2acosht)3122 a cosh t解 r as in h t, acosht,a，r a cosht,a s in h t,0，r asin h t,cosht,0a sinht,cosht, 1，所以 kr r3|r|3(r,r,r) a212422(r r) 2a cosh t 2acosh t2 2r 3a1 t ,2t,1 t , r 6ar 6a 1,0,1,2 2 2r xr= 18a t 1, 2t,t1，|r r|r|318a2 2(t21)27a22.2(t21)313a(t21)2(r,r,r)18 6a32122

14、42222(r r)2182a42(t21)2 3a(t21)28. 已知曲线r cos 3 t,sin3t,cos2t，求基本向量,;曲率和挠率; 验证伏雷公式。分析 这里给出的曲线的程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向 量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。解 r 3 cos21 si n t,3si n 21 cost, 2 si n 2t sin t cost 3 cost,3 si nt, 4，*|334cost, si nt,，555sin t,cost,0，ds| r (t) | 5sin t cost,(设 sintcost0 )， dtd 史 13si nt,3co

15、st,0dt ds5sint cost 55/+4 + 3工 cost, si nt, ，5553 k | 25sintcost 4相反，所以| | 25sin t cost25s in tcostsint,cost,0，由于与向显然以上所得,k ,满足 k ,也满足伏雷公式。1cos t, sin t,05 sin t cost9. 证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，贝吐匕曲线是直线。证 法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的程设为r = r(t),则曲线在任意点的 切线程是r(t) r(t)，由条件切线都过坐标原点，所以r(t) r(t)，可见；/r，所以r具有固定向，故r = r (

16、t)是直线。法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的程设为r = r (t)，则曲线在任意点的切线程是 r (t) r (t)，由条件切线都过坐标原点，所以r(t) r(t)，于是r =r，从而r xr = o，所以由曲率的计算公式知曲率k=0，所以曲线为直线。法二：设定点为，曲线的程为? = f(s)，则曲线在任意点的切线程是 r r(s)r(s)，由条件切线都过定点ro，所以ro r(s) (s)，两端求导得：rrrrr rr r(s)(s),即(1) (s)0，而(s), (s)无关，所以 10，可知 0,(s)0，因此曲线是直线。10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线

17、是平面曲线。证 法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的程设为r = r(t)，则曲线在任意 点的密切平面的程是(r(t) (r(t) r(t)0 ,由条件 r(t) (r(t) r(t)0，即(r r r) =0，所以；平行于一固定平面，即；=r (t)是平面曲线。法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的程设为r = r (s)，贝U曲线在任意点的密切平面程是(r(s)0，由条件r(s) 0，两边微分并用伏雷公式得?r一r(s) 0。若 r (s)0,又由 r (s)0 可知 r (s) / r (s)，所以 r = r (s)平行于固定向，这时r = r (s)表示直线，结论成立。否则0，从而

18、知曲线是平面曲线。法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的程设为；=r (t)，则曲线在任意点的密切平面程是(r(t) (r(t) r(t)0，由条件 r(t) (r(t)r(t)0，即(r r r) =0,所以r , r, r共面，若r / r，则r = r(t)是直线，否则可设 r r r, r r r ，所以：,：共面，所以0，从而知曲线是平面曲线。11. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e，那么曲线是直线或平面曲线。?证 法一：根据已知e 0，若 是常向量，则k= | |=0，这时曲线是直线。?否则在 e 0两边微分得e= 0，即k e= o，所以 e= 0，又因 e 0，所?以/

19、 e，而 为单位向量，所以可知为常向量，于是| | | | 0,即卩0,此曲线为平面曲线。法二：曲线的程设为? = r(t)，由条件r e = 0，两边微分得r e = 0，r e = o，所以r， r，r共面，所以(r r r )=0。由挠率的计算公式可知0，故曲线为平面曲线。当r xr = 0时是直线。法三：曲线的程设为；=r(t)，由条件r e = 0，两边积分得 (p是常数)。 因；e p是平面的程，说明曲线? = r(t)在平面上，即曲线是平面曲线，当r有固 定向时为直线。12. 证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。证明 设曲线(C): r = r(s)的曲

20、率k为常数，其曲率中心的轨迹(C )的程为:1 r(s) - (s)，(为曲线(C)的主法向量)，对于曲线(C )两边微分得 k1 一(s) 1 ( k )，(，分别为曲线(C)的单位切向量，副法kkk为常数。,| |3，曲线(C)的曲率为k面程13. 证明曲线x=1+3t+2 t2,y=2-2t+5 t2,z=1-t2为平面曲线，并求出它所在的平证 r=3+4t, - 2 +10t,-2t ,r=4, 10, - 2 ,r =o, 0, 0曲线的挠率是(r,r,r)2(r r)0,所以曲线为平面曲线。曲线所在平面是曲线在任点的密切平面。对于t = 0 , r = 1,2 ,i, r =3,

21、- 2 , 0 , r =4, 10, - 2 ,x 1r = o, 0, 0。所以曲线的密切平面，即曲线所在平面是34y 2 z 12 0 010 2即 2x+3y+19z 27=0.14设在两条曲线r、一的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行证 设曲线r： r = r (s)与：r r (可点s与s 一一对应，且对应点的切线平行，则(s)=(s),两端对s求微商得史，即 k (s) k G)ds ,(这里 k 0, dsds若k=| |=0，贝U无定义)，所以/，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平行。15.设在两条曲线r、一的点

22、之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主 法线平行，证明它们在对应点的切线作固定角分别为曲线r、一的切向量，分别为曲线r、的主法向量，则由已知 (s)(s)ds-kk (s)将式代入kds曲线的切线作固定角。而：(_)dsds( 严0。所以ds-dsds=常数，故量16.若曲线r的主法线是曲线的副法线r的曲率、挠率分别为。求证k= o( 2+ 2)，其中为常数证 设r的向量表示为r = r(s)，贝U可表示为 =r(s) + (s) (s),的切向量+(- k +)与垂直，即 = = 0,所以为常数，设为 ,则=(10 k)+ 0。冉求微商有=0k + (1 0k)k + 0-0 2 , =

23、(1 0 k) k 0 2 =0,所以有 k= 0 ( 2 + 2)。rt17.曲线r =a(t-sint),a(1-cost),4acos在那点的曲率半径最大。解r=ttta1-cost,sint,-2sin , r= asint,cost,-cos , |r| 2 2 |sin |,2 2 2r xr=a22si n3l, 2s in2-cos-,4acos-2a2 si n2 丄si n 丄,cos,1,2 2 2 2 2 2 2| r x r |=22 t | r r|1t2a sin 2, k 3, R 8a|si n| ,所以在2|r |3a i t |28a|sin |2t=(2

24、k+1),k为整数处曲率半径最大。18.已知曲线(C) C3 : r r (s)上一点r(s0)的邻近一点r (s0s),求r(s。s)点到r(s。)点的密切平面、法平面、从切平面的距离(设点r(s。)的曲率、挠率分别为0, 0)上式中的三个系数的绝对值分别是点r (Sos)到r(So)的法平面、从切平面、解r(ss)r (s。)r (s0 )s : r(s。)22 sJrG。) s3 =3!10 S 0230 s+ 6( k00 k00 0 0 0)s3，设10203 0 ，其中lims 00。则 r (ss)- r(s。)1=s 6(203 ,1) s 02 0s 6( 02) s30)3

25、003 ) s 0密切平面的距离。5 一般螺线5.证明如果所有密切平面垂直于固定直线，那么它是平面直线证法一：当曲线的密切平面垂直于某固定直线时，曲线的副法向量是常向量.即=0。曲线的挠率的绝对值等于| |为零，所以曲线为平面曲线证法二：设n是固定直线一向量，则r n=0，积分得；n= p，说明曲线在以n 为法向量的一个平面上，因而为平面直线。证法三：设n是固定直线一向量，则r n=0 ,再微分得r n=0 , r n=0 。 所以r、r、r三向量共面，于是(r rr) = 0，由挠率的计算公式知 =0， 因此曲线为平面曲线。7.如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线证设一曲线为r

26、： r = r (s)，贝U另一曲线 的表达式为：r (s)(s) (s),(s)为曲线r在点s的主法向量，也应为在对应点的副法线的向向量。=+- 与正交，即 =0，于是 =0, 为常数。=-,=k -(- k +)也与正交，即 = -2=0,而0，所以有 =0，曲线r为平面曲线。同理曲线为平面曲线。8. 如果曲线r： r = r(s)为一般螺线,r、为r的切向量和主法向量，r为r的曲率半径。证明一 ：=Rr ds也是一般螺线。r证 因为r为一般螺线，所以存在一非零常向量e使 与e成固定角，对于曲线，其切向量 =R RR与r共线,因此也与非零常向量e成固定角，所以也为一般螺线9. 证明曲线= r(s)为一般螺线的充要条件为(r,r,r )