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文档简介

1、 点这里,看更多数学资料 2017考研已经拉开序幕,很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-特征值与特征向量知识点讲解和习题】,希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程,针对每一个科目要点进行深入的指导分析,欢迎各位考生了解咨询。模块八 特征值与特征向量 教学规划【教学目标】1、全面掌握特征值与特征向量的概念,性质2、熟练掌握数值型矩阵的特征值与特征向量的求解方法3、熟练掌握各类抽象型矩阵的特征值与特征向量的求解方法4、系统梳理“矩阵,向量,方程组”与特征值与特征向量之间的联系【主要内

2、容】1、特征值与特征向量的概念与性质2、数值型矩阵特征值与特征向量的计算方法3、抽象型矩阵特征值与特征向量的计算方法4、特征值重数与无关特征向量的关系【重难点】1、理解掌握矩阵乘法运算与特征向量的联系2、抽象矩阵行列式的计算3、特征值重数与无关特征向量的关系 知识点回顾一基本概念设为阶矩阵,是一个数,若存在一个维的非零列向量使得关系式成立,则称是矩阵的特征值,是属于特征值的特征向量.设为阶单位矩阵,则行列式称为矩阵的特征多项式.二公式定理定理1:设都是矩阵属于特征值的特征向量,则对任意常数,当时,也是矩阵属于特征值的特征向量.定理2:矩阵属于不同特征值的特征向量必线性无关.推论:假设分别为矩阵

3、属于两个不同特征值的特征向量,则不为矩阵的特征向量.定理3:设,则对任意的多项式,当矩阵可逆时,还有.定理4:设为任意多项式,如果矩阵满足,则的任一特征值都满足.定理5:设矩阵所有的特征值为(其中可以有一样的,也可以有虚数),则有,.定理6:矩阵的重特征值至多有个线性无关的特征向量. 考点精讲一数值型矩阵的特征值与特征向量【例1】求矩阵的特征值与特征向量.【答案】:特征值-2,1,1;-2的特征向量,其中;1的特征向量其中。小结:求特征值主要是求行列式;特征值的所有特征向量就是齐次线性方程组的所有非零解. 需要注意的是特征向量一定是非零的.【例2】求矩阵的特征值与特征向量.【答案】:特征值7(

4、二重) 其特征向量 ,其中不全为0 特征值-2 其特征向量,其中【例3】求矩阵的特征值与特征向量.【答案】:特征值0(二重),特征向量,其中不全为0 特征值16,特征向量,其中【例4】设阶矩阵的元素全为,则的个特征值是 【答案】: (n-1重根)【例5】设矩阵,试计算.【答案】: 【例6】设矩阵,其行列式,又A的伴随矩阵有一个特征值. 属于的一个特征向量为,求和的值.【答案】: 小结:当题目中出现了特征向量时,一般直接代入定义式.二抽象型矩阵的特征值与特征向量【例7】设是阶实对称矩阵,是阶可逆矩阵. 已知维列向量是的属于特征值的特征向量,则矩阵属于特征值的特征向量是( )(A) (B) (C)

5、 (D) 【答案】:B【例8】设为2阶矩阵,为线性无关的2维列向量. ,则的非零特征值为.【答案】:1【例9】设为阶可逆矩阵,那么下列矩阵中与具有相同特征值的是( )(A) (B) (C) (D)【答案】:A【例10】设为阶矩阵,为阶可逆矩阵,为矩阵属于特征值的特征向量,则下列矩阵中 肯定是其特征向量的有( )个.(A) (B) (C) (D)【答案】:B小结:要注意,公式中哪些特征值发生了变化,哪些特征向量发生了变化.【例11】 设为阶矩阵,已知,矩阵不可逆,线性方程组有非零解,试求.【答案】:42【例12】设阶矩阵满足,且,试求.【答案】:【例13】设阶矩阵的伴随矩阵为,的特征值为,则下列矩阵中可逆的是( )(A) (B) (C) (D)【答案】:D三综合讨论【例14】设的特征值,的对应于的特征向量,则( )(A)当时,对应分量必成比例(B)当时,对应分量不成比例(C)当时,对应分量必成比例(D)当时,对应分量必不成比例【答案】:D【例15】设阶矩阵满足,证明:矩阵可逆.【例16】设阶矩阵的秩,试讨论矩阵的可逆性.【例17】设均为阶矩阵,证明:如果为的特征值,则也必为的特征值. 测试成绩在紧张的复

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