相似三角形证明技巧整理

1、相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形（1）三角形相似的条件：:二、两个三角形相似的六种图形：AABC DX型图条件ABDE条件厶gZDB D毎子型图C条件AD是Rt ABU 斜边上的高B C 条件DEBC条件口 p葺型图只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；、斤 f找另一角两角对应

2、相等，两三角形相似a）已知一对等找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似L找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似b）己知两边对应成比 y 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似-找一个直角 f斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似人士丁找另一角 两角对应相等，两三角形相似C）己知个直VL找两边对应成比例判定定理2k找顶角对应相等判定定理1d）有等腰关v找底角对应相等 判定定理1-找底和腰对应成比例判定定理3e）相似形的传递性若l 2,3,则 3四、“三点定形法”， 即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例 式前项和后项所代表的

3、两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个 三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个 不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题 复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。例 1、已知：如图， AB（中 ,CE丄 AB,BF丄AC.求证:AE _ACr. -AF 一 BA（判断“横定”还是“竖定”？例2、如图，CD是Rt ABC的斜边 AB上的高，/ BAC的 平分线分别交 BC、C

4、D于点E、F, AC AE=AF AB吗？ 说明理由。分析方法：1）先将积式2） （ “横定”还是“竖定”？）例3、已知：如图， ABC中，/ ACB=90, AB的垂直平分线交 AB于D,交BC延长线于F。求证：cD=DEDF。分析方法：1）先将积式2） （ “横定”还是“竖定”？）五、过渡法（或叫代换法）1、等量过渡法（等线段代换法）例1 :如图3, ABC中，AD平分/ BAC , AD的垂直平分线 FE交BC的延长线于 E.求证：DE2 =be-ce.2、等比过渡法（等比代换法）例2 :如图4,在AABC中，/ BAC=90 , AD丄BC, E是AC的中点,AB的延长线于点F.求证:

5、ABACDFAF分析：3、等积过渡法（等积代换法）例3:如图5,在ABC中，/ ACB=90 , CD是斜边 AB上的高,G是DC延长线上一点，过BE丄AG，垂足为E,交CD于点F. 求证：CD2= DF-DG .小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；不相似，不用急：等线等比来代替。同类练习：1. 如图，点 D、E分别在边 AB、AC上，且/ ADEN C 求证：（1）A ADEA ACB;（2）AD- AB=AE- AC.（1题图）2. 如图，A ABC中，点 DE在边BC上，且A ADE是等边三角形，/ BAC=120 求证：(1 )A ADBA CEA;(2) DE

6、2=BD- CE;(3) AB - AC=AD BC.3. 如图， 平行四边形 ABCD中，E为BA延长线上一点，/ D=Z ECA.求证：AD- EC=AC EB .5. 如图，E是平行四边形的边 DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F, 求证：FC2=FG EF.06. 如图，E是正方形 ABCD边BC延长线上一点，连接 AE交CD于F,过F作FM/ BE交DE于M.求证：FM=CF.7. 如图， ABC中，AB=AC点D为BC边中点, 求证：(1) BF=CF.(2)BF2=FG- FE.CE/ AB,BE分别交AD AC于点F、G 连接FC.&如图，/ ABC=90 ,AD=

7、DB,DE!AB,9如图，四边形 ABCD中, AB/ CD,AB丄BC,AC丄 BD AD= BD 过 E 作 EF / AB交 AD于 F. 是说明：(1) AF=BE;(2)AF2=AE- EC.10.A ABC中,/ BAC=90 ,AD丄 BC,E 为 AC中点。 求证：AB:AC=DF:AF。11.已知，CE是RTA ABC斜边AB上的高，在 EC延长线上任取一点 P,连接AP,作BGL AP,垂足为G ，交CE于点D.DF丄AB于F，交AC的延长线于H ,(2)FD 是 FG 与 FH例2 如图6, CABCD中，E是BC上的一点,Safbe= 18,求：(1)BF: FD(2)

8、S AFdaAE 交 BD 于点 F，已知 BE： EC = 3： 1 ,六、证比例式和等积式的方法：可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系；三点定形用相似，三点共线取平截;平行线，转比例，等线等比来代替；两端各自找联系，可用射影和园幕.例1 如图5在ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高,例3 如图7在ABC中，AD是BC边上的中线, AB的值；M是AD的中点，CM的延长线交 AB于N.求：AN :A交 BE 于 G,求证：(1)FG / FA= FB / FH例4求证:例5求证:例6如图10过AABC的顶点C任作一直线与边 AB及中线AD分别交于点F和E .过点D作DM /FC交

9、AB于点 M .若Saaef : S四边形mdef = 2:图求证：AEXFB = 2AF XED例7己知如图11在正方形ABCD的边长为1, P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何DPC值时，AADP与AQCP相似?例8 己知如图12在梯形 ABCD中，AD / BC,/ A= 90, AB= 7, AD = 2, BC = 3.试在边 AB上确P、B、C为顶点的三角形相似.定点P的位置，使得以 P、A、D为顶点的三角形与以例9.如图，已知 ABC中，AB=AC , AD是BC边上的中线，CF /BA , BF交AD于P点，交AC于E点。求证：BP2=PE PF。例10 .如图，已知：

10、在 ABC中，/ BAC=900 , AD丄BC, E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。求证:AB DFACAF八、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段 或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以 下几种：（一）、作平行线例1.如图，:ABC的AB边和AC边上各取一点 D和E,且使AD = AE，DE延长线与BC延长线相交于F,求证:BF BDCF 一 CEAF例2.如图， ABC中，AB A, B C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于 AB ,分别交AN , CD于P, Q

11、 当点N 到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为 t秒.(1) 若a =4厘米，t=1秒，贝U PM =厘米；(2) 若a =5厘米，求时间t，使 PNBPAD，并求出它们的相似比；P、Q同时从A、B两点出发，分别沿 AB、3. 如图，已知 ABC是边长为6cm的等边三角形，动点BC匀速运动，其中点 P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点 都停止运动，设运动时间为t (s),解答下列问题：(1 )当t= 2时，判断 BPQ的形状，并说明理由；(2 )设厶BPQ的面积为S (cm2),求S与t的函数关系式；4. 如图(10)所示：等边 ABC中

12、，线段AD为其内角角平分线，过 D点的直线B1C1丄AC于G交AB的 延长线于B1.请你探究：虫-CD ,如二CD是否都成立？AB DB ABi DB1请你继续探究：若 ABC为任意三角形，线段 AD为其内角角平分线，请问AC CDAB DB定成立吗?并证明你的判断0( 1)图圈(11)A、C分别在x轴、y轴上，四边5. 如图12,在平面直角坐标系中，点C0ED *形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，AB:BC=4:3，点E、F分别是线段 AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且/ CEF = / ACB.（1）求AC的长和点D的坐标；（2）说明 AEF与厶DCE相似；

13、16. 如图，在 Rt ABC 中，/ B= 90, AB = 1 , BC =-,以点 C 为圆心，2图12CB为半径的弧交 CA于点D ;以点A为圆心，AD为半径的弧交 AB 于点E.（1 ）求AE的长度；（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F （ F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点 G,连接AG,试猜想/ EAG的大小， 并说明理由.7. 如图（， ABC与厶EFD为等腰直角三角形， AC与DE重合，AB=EF=9，/ BAC = Z DEF = 90 , 固定 ABC，将 EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋

14、转开始和结束时 重合的情况，设 DE、DF （或它们的延长线）分别交 BC （或它的延长线）于 G、H点，如图（2）.（1） 问：始终与 AGC相似的三角形有 及;（2） 设CG = x, BH = y,求y关于x的函数关系式（只要求根据 2的情况说明理由）；9.(1)如图1,在厶ABC中，点 D , E, Q分别在 AB, AC, BC上，且 DE / BC,AQ交DE于点P.求证:DPBQPEQCAG, AF分别交(2)如图，在 ABC中，/ BAC=90正方形DEFG的四个顶点在 ABC的边上，连接DE于M，N两点.如图2,若AB=AC= 1,直接写出 MN的长;10.如图，在厶ABC中

15、，D是BC边上一点，E是AC边上一点 满足 AD = AB,Z ADE = Z C.(1) 求证：/ AED = / ADC，/ DEC = / B;(2) 求证：AB2 = AE?AC.12. 如图，在 ABC中，/ C=90 , AC=8 , BC=6 . P是AB边上的一个动点(异于A、B两点)，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为 M、N .设AP=x .在厶ABC中，AB=;当x=时，矩形PMCN的周长是14;是否存在 x的值，使得 PAM的面积、 PBN的面积与矩形 PMCN的面积同时相等 ？请说出你的判断，并加以说明.14.如图1,在Rt ABC中，z BAC=90 AD丄BC

16、于点D,点O是AC边上一点，连接BO交AD图1图2于F , OE丄BO 交BC边于点E .(1)求证： ABF COE ;AC(3) 当O为AC边中点， 二n时，请直接写出ABBCC20.如图, ABC 中,（第 21 题）CE ADGEGD15.已知/ ABC=90 , AB=2 BC=3 AD/ BC, P 为线段 BD上的动点,（如图8所示）.点Q在射线AB上，且满足PQPCADAB16.如图，M为线段 AB的中点，AE与BD交于点C,/ DME =Z A =Z B= a, 且DM交AC于F, ME交BC于G.(1) 写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2) 连结 FG，如果 a

17、= 45, AB = 4 2 , AF = 3,求 FG 的长.19.正方形ABCD边长为4, M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM 和MN垂直，(1)证明：Rt ABM s Rt MCN ;(2) 设BM二x ,梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；(3) 当M点运动到什么位置时 RtA ABM s Rt AMN，求x的值.(1 )当AD=2且点Q与点B重合时(如图9所示)，求线段 PC的长;3(2)在图8中,联结AP .当 ad ,且点Q在线段AB上时,设点B Q之间的距离为x,SA APQSA PBC=y，其中Sa apq表示 APQ的面积,Sa

18、pbc表示 PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围;17.如图1,在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A的坐标为(_8,0)，直线BC经过点B(_8,6) , C(0,6), 将四边形OABC绕点0按顺时针方向旋转:-度得到四边形OABC，此时直线0A、直线B C分别与直 线BC相交于点P、Q.(1)四边形OABC的形状是当： =90时，匹 的值是；BQBP(2)如图2，当四边形OABC的顶点B落在y轴正半轴时，求 竺 的值;BQ如图3，当四边形OABC 的顶点B落在直线BC上时，求 AOPB，的面积.（图2）（第 10 题）iBCAOf X(备用图)18.如图，在矩形

19、ABCD中, AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点 D与点P重 合，得折痕EF (点E、F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原。(1)当X=0时，折痕EF的长为 # .; 当点E与点A重合时，折痕EF的长为 # .;(2)请写出使四边形 EPFD为菱形的x的取求出当x=2时菱形的边长；DCDH第（21龜圏第(3) Sffi相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形（1）三角形相似的条件：、两个三角形相似的六种图形:条件DEBC 条件nZi=Z，B 件ABDE条件乙条件AD 是 RtABC:斜边上的髙只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据

20、问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而 使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；尺 r找另一角两角对应相等，两三角形相似a）已知一对等丫找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等*两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似b）己知两边对应成比 找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似.找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角k两角对应相等，

21、两三角形相似找两边对应成比例判定定理2找顶角对应相等判定定理1d）有等腰关找底角对应相等判定定理1I找底和腰对应成比例判定定理3e）相似形的传递性若2, * 3,则 * 3四、“三点定形法”， 即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例 式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个 三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个 不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅

22、助线，这样反而使问题 复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。例1、已知：如图， AB（中 ,CE丄AB,BF丄AC.求证:AE ACAF 一 BA（判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD是Rt ABC的斜边 AB上的高，/ BAC的 平分线分别交 BC、CD于点E、F，AC AE=AF AB吗？ 说明理由。分析方法：1）先将积式2） （ “横定”还是“竖定”？）例3、已知：如图， ABC中，/ ACB=90，AB的垂直平分线交 AB于D,交BC延长线于F。求证：cD=DEDF。分析方法:1）先将积式2） （ “横定”还是“竖定”？）五、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造

23、不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明.3、等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上， 不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件 找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后 再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代 换的线段再代换回来。例1 :如图3, ABC中，AD平分/ BAC , AD的垂直平分线 FE交BC的延长线于 E.求证：D

24、E2 =BE-CE.分析：4、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第 三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个 比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。例2 :如图4,在AABC中，/ BAC=90 , AD丄BC, E是AC的中点,AB的延长线于点F.AB DFAC 一 AF3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三 点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换

25、，然后再用三点定形法 确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。例3:如图5,在ABC中，/ ACB=90 , CD是斜边 AB上的高，G是DC延长线上一点，过 B作BE丄AG，垂足为E,交CD于点F. 求证：CD如图， ABC中，点 DE在边BC上，且 ADE是等边三角形，/ BAC=120求证：（1 ） ADBA CEA;（2）DE2=BD- CE;（3）AB - AC=AD BC. 如图， 平行四边形 ABCD中，E为BA延长线上一点，/ D=Z ECA.求证：AD- EC=AC EB .（此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解

26、决）= DF-DG .小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似； 不相似，不用急：等线等比来代替。 同类练习：-AB=AE AC.(2)AD（2题图）1. 如图，点 D、E分别在边 AB、AC上，且/ ADEN C 求证：（） AD0A ACB;4.如图，ADABC中/ BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线。求证：FD2=FC FB。（此题四点共线，应积极寻找条件，等线替代，转化为证三角形相似。）5. 如图，E是平行四边形的边 DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F, 求证：FC2=FG EF.（此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。）6. 如

27、图，E是正方形 ABCD边BC延长线上一点，连接 AE交CD于F,过F作FMI BE交DE于M. 求证：FM=CF.（注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也可应用于线段相等的证明。此题用等比替 代可以解决。）7. 如图， ABC中，AB=AC点D为BC边中点, 求证：(1) BF=CF.(2)BF2=FG- FE.CE/ AB,BE分别交AD AC于点F、G 连接FC.（练习题图）&如图，/ ABC=90 ,AD=DB,DEAB,9.如图， 是说明：ABCD为直角梯形， AB/ CD,ABL BC,AC丄 BD。AD= BD 过 E 作 EF/ AB交 AD于 F.(1) AF=B

28、E;(2)AF2=AE EC.10.A ABC中,/ BAC=90 ,AD丄 BC,E 为 AC中点。 求证：AB:AC=DF:AF。11.已知，CE是RTA ABC斜边AB上的高，在 EC延长线上任取一点 P,连接AP,作BGL AP,垂足为G ，交CE于点D.试证：CE2=ED- EP.（注：此题要用到等积替代，将CE2用射影定理替代，再化成比例式。）六、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明：常用三点定形法或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比 三角形来证明.可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系； 平行线，转比例，等线等比来代替；等线段替换法、中间比过渡法、面积

29、法等.若比例式转移”必要时需添辅助线），使其分别构成两个相似三点定形用相似，三点共线取平截；两端各自找联系，可用射影和园幕.例1 如图5在ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DF丄AB于F，交AC的延长线于 H ,交 BE 于 G,求证：(1)FG / FA= FB / FH（2）FD是FG与FH的比例中项.BA1说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似.找相似三角形用三点定形法（在比例式中, 或横着找三点，或竖着找三点），若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找 等比代换例2 如图6, CABCD中，E是BC上的一点,Safbe= 18,求：(1)

30、BF: FD(2)S afdaAE 交 BD 于点 F，已知 BE： EC = 3： 1 ,AD2说明：线段BF、FD三点共线应用平截比定理由平行四边形得出两线段平行且相等，再由平截比定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比的 平方，求出三角形的面积.例3 如图7在ABC中，AD是BC边上的中线,AB的值；M是AD的中点，CM的延长线交 AB于N.求：AN :3说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡当 已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡.例4 如图8在矩形ABCD中，E是CD

31、的中点, 证：AG 2 = AF FCBE丄AC交AC于F ,过F作FG / AB交AE于G.求4说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用三点定形法”确定要证明的两个三角形相似、例5 如图在 AABC中，D是BC边的中点，且AD = AC , DE丄BC,交AB于点E, EC交AD于点F . 求证：AABCFCD ; (2)若 Scd = 5, BC = 10,求 DE 的长.D ivi C5说明：要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似.再由相 似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长.例6如图10过AABC的顶

32、点C任作一直线与边 AB及中线AD分别交于点F和E .过点D作DM /FC交AB于点 M .若Ssef : S四边形mdef = 2： 3,图求证：AEXFB = 2AF XED6说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到两线段的比注意平截比定理的应用.例7值时,己知如图11在正方形ABCD的边长为1, P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何ADP与QCP相似？7说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系然后再确定顶点P所在的位置本题是开放性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解.例8 己知如图12在梯形 ABCD中，AD/ BC,/

33、 A= 90, AB= 7, AD = 2, BC = 3.试在边 AB上确 定点P的位置，使得以 P、A、D为顶点的三角形与以 P、B、C为顶点的三角形相似.8说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系然后再确定顶点P所在的位置本题有多个位置，应注意计算，严防漏解.例11.如图，已知 ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF / BA，BF交AD于P点，交 AC 于E点。求证：BP2=PE PF。B11分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC中点，由等腰三角形的性质知 AD是BC的垂直平分线，如果我们连结

34、PC,由线段垂直平分线的性质知 PB=PC，只需证明 PECs PCF,问题就能解决了。例12 .如图，已知：在ABC中，/ BAC=900 , AD丄BC, E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。求证：丄:12分析：比例式左边 AB , AC在厶ABC中，右边DF、AF在厶ADF中，这两个三角形不相似，因此本 题需经过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。七、 确定证明的切入点 。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一，从“已知”入手，通过推理论证,得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知”； 第三，从“已知”及“求证”两方面

35、入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。八、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段 或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以 下几种：（一）、作平行线例1.如图， ABC的AB边和AC边上各取一点 D和E，且使AD = AE，DE延长线与BC延长线相交于BF BDF，求证：CF CE,证明:例2.如图， ABC中，AB A, B C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于 AB ,分别交AN , CD于P, Q 当点N 到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为 t

36、秒.(1) 若a =4厘米，t=1秒，贝y PM =厘米；(2) 若a =5厘米，求时间t，使 PNBPAD，并求出它们的相似比；(3) 若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求t(用表示)NBNB3.如图，已知BC匀速运动，其中点 都停止运动，设运动时间为(1 )当t= 2时，判断(2)设厶BPQ的面积为ABC是边长为6cm的等边三角形，动点 P、P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是t (s),解答下列问题：BPQ的形状，并说明理由；S (cm2),求S与t的函数关系式；Q同时从A、B两点出发，分别沿 AB、2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点4. 如图

37、(10)所示：等边 ABC中，线段AD为其内角角平分线，过 D点的直线B1C1丄AC于G交AB的 延长线于B1.请你探究：乞-CD ,如二CD是否都成立？AB DB ABi DB1AC =CDAB - DB定成立吗?请你继续探究：若 ABC为任意三角形，线段 AD为其内角角平分线，请问 并证明你的判断图(11)BAB=16,点 D 与A、D重合)，且5. 如图12,在平面直角坐标系中，点 A、C分别在x轴、y轴上，四边形 ABCO为矩形, 点A关于y轴对称，AB:BC=4:3，点E、F分别是线段 AD、AC上的动点(点 E不与点 / CEF= / ACB.(1) 求AC的长和点D的坐标；(2)

38、 说明 AEF与厶DCE相似；图1216. 如图，在Rt ABC中，/ B = 90, AB = 1 , BC =，以点C为圆心，CB为半径的弧交 CA于点D ;2以点A为圆心，AD为半径的弧交 AB于点E.(1 )求AE的长度；(2)分别以点 A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F( F与C在AB两侧)，连接 AF、EF ,设EF交弧DE所在的圆于点 G,连接AG,试猜想/ EAG的大小，并说明理由.7. （2011广东汕头，21, 9分）如图（1） , ABC与厶EFD为等腰直角三角形， AC与DE重合，AB=EF=9, / BAC =Z DEF = 90固定 ABC，将 EFD绕点

39、A顺时针旋转，当 DF边与AB边重合时，旋转中止. 不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE、DF （或它们的延长线）分别交 BC （或它的延长线）于 G、 H点，如图（2）.（1） 问：始终与 AGC相似的三角形有 及;（2） 设CG = x, BH = y,求y关于x的函数关系式（只要求根据 2的情况说明理由）；A （D）FA（V）團图8. 如图8,A ABC,是一张锐角三角形的硬纸片， AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片 上剪下一个长 HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边 EF在BC上，顶点G、H分别在AC , AB 上, AD与HG的交点为M.H

40、GBC求这个矩形/?CEFGH的周长.9. (1)如图1,在厶ABC中，点D , E, Q分别在AB, AC, BC上，且DE / BC, AQ交DE于点P.求证：DP PEBQ QC(2)如图，在 ABC中，/ BAC=90正方形DEFG的四个顶点在 ABC的边上，连接 AG, AF分别交DE于M , N两点.如图2,若AB=AC= 1,直接写出 MN的长;卑24矽黒210. 如图，在 ABC中，D是BC边上一点,(1) 求证：/ AED = / ADC，/ DEC = / B;(2) 求证：AB2 = AE?AC.E是AC边上一点.且满足 AD = AB,Z ADE =Z C .AD11 学习图形的相似后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直 角三角形相似的条件。（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。类似地，你可以等到：“满足 ，或，两个直角三角形相似”。（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足 的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。已知：如图， 。试说明 Rt ABC s Rt A C.12. 如图，在 ABC中，/ C=90 , AC=8 , BC=6 P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P 分