多面体与球的接切(1)精编版

1、学学情分析情分析 几何体外接球对于学生来说是一个难点，几何体外接球对于学生来说是一个难点，主要有主要有如下问题（如下问题（1 1）图形不会画，图形不会画， （2 2）在画出图形的情况下在画出图形的情况下，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。 半圆以它的直径为旋转轴，旋半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做转所成的曲面叫做球面球面.球面所球面所围成的几何体叫做围成的几何体叫做_,半圆的圆心叫做球的半圆的圆心叫做球的_，半圆的半径叫做球的半圆的半径叫做球的_ 。球球球心球心半径半径 性质性质2: 球心和截面圆心的连线球心和截面圆心的连线_于截

2、面于截面22dRr性质性质1：用一个平面去截用一个平面去截球球，截面是，截面是_ ； 用一个平面去截用一个平面去截球面球面， 截线是截线是 _。大圆大圆-截面过截面过_，半径等于球半径；，半径等于球半径；小圆小圆-截面不过截面不过_性质性质3: 球心到截面的距离球心到截面的距离d与球与球 的半径的半径R及截面的半径及截面的半径r 有下面的关系有下面的关系:圆面圆面圆圆球心球心球心球心垂直垂直二、二、 球与多面体的接、切球与多面体的接、切定义定义1：若一个多面体的：若一个多面体的各顶点各顶点都在一个球的球面上都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的内接多面体内接多面

3、体， 这个球是这个这个球是这个 。定义定义2：若一个多面体的：若一个多面体的各面各面都与一个球的球面相切都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的外切多面体外切多面体， 这个球是这个这个球是这个 。一、一、球体的体积与表面积球体的体积与表面积343VR 球球24SR 球球面面多面体的多面体的外接球外接球 多面体的多面体的内切球内切球问题探究一 球心在正方体的中心，随着球的半径逐渐增大，球与正方体有哪些特殊位置关系？正方体正方体的内切、外接、棱切球的内切、外接、棱切球.ra正方体的正方体的内切内切球球的半径是棱的半径是棱长的一半长的一半正方体的内切球正方体的内切球球

4、的直径等于正方体棱长。aR 2正方体的棱切球正方体的棱切球球与正方体的棱相切球与正方体的棱相切球的直径等于正方体一个面上的对角线长aR22切点：切点：各棱的中点各棱的中点。球心：球心：正方体的中心正方体的中心。直径：直径： “对棱对棱”中点连线中点连线正方体的外接球正方体的外接球球直径等于球直径等于正方体的（体）对角线aR32正方体的内切球直径正方体的内切球直径正方体的外接球直径正方体的外接球直径与正方体所有棱相切的球直径与正方体所有棱相切的球直径若正方体的棱长为若正方体的棱长为a，则，则aa3a2问题探究二 球与长方体又有哪些位置关系？长方体的外接球长方体的外接球长方体的（体）对角线等于球直

5、径Rcbalcba2222，则、分别为设长方体的长、宽、高核对变式1答案 问题探究三 随着球半径的逐渐减小，球与正四面体有哪些特殊位置关系？1、球与正四面体的外接问题、球与正四面体的外接问题设棱长为设棱长为a的正四面体的外接球的半径的正四面体的外接球的半径R. aR4622212ROOBO2.球与正四面体的棱切问题球与正四面体的棱切问题 设棱长为设棱长为a的正四面体的棱切球的半径的正四面体的棱切球的半径R. 122=4Ra正方体的棱长3.球与正四面体的内切问题球与正四面体的内切问题rShSV全面积底面积3131ar126 Sh Sr 底面积全面积14SrSh底面积全面积14rh？63haOPA

6、BCDKH16412rha内36=44arh外63haOPABCDKH122=4ra棱正方体的棱长：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？22212ROOBO：若正四面体变成正四棱锥，方法是否有变化？22212ROOBO：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.1 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等球心到多面体各顶点的距离均相等2 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合、正多面体的内切球和外接球的球心重合3 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线

7、上，但不一定重合不一定重合4 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理5 5、体积分割是求内切球半径的通用做法、体积分割是求内切球半径的通用做法28（2）正四面体的切接问题）正四面体的切接问题 例 3 、 一个四面体的所有棱长都为2， 四个顶点在同一球面上， 则此球的表面积为 （ ） A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6 C 解：设四面体为解：设四面体为ABCD， 为其外接球为其外接球心。心。1O 球半径为球半径为R，O为为A在平面在平面BCD上的上的射影，射影，M为为CD的中点。的中点。连结连结B1O222223() ,43 .323RRR

8、R球解得所以SOABS1OMR301t00RAR利用勾股定理解得D1C1B1A1DCBA234()3,2S球= 解法解法2 构造棱长为构造棱长为1的正方的正方体，如图。则体，如图。则A1、C1、B、D是是棱长为棱长为 的正四面体的顶点。的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径的外接球，此时球的直径为为 ，23选选A31CBA D A D 举一反三：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长分别为1、2、3，则其外接球的表面积是 .14S2563VCBAABCPP222222411=)()222abcSabacbcabc侧（CBDAACDB球球里里面面的的内内接接圆圆柱柱问问题题等边三等边三角形角形直角三直角三角形角形等腰三等腰三角形角形120度度AA1CB3462014届邯郸市摸底考届邯郸市摸底考（2012辽宁辽宁理理16） 已知正三棱锥已知正三棱锥 P-ABC，点，点P，A，B，C都在半径为都在半径为 的的球球面上，若面上，若PA，PB，PC两两互相垂两两互相垂直，则球心到截面直，则球心到截面ABC的距离为的距离为_. 3,.22261233333363323323333解法 ：PAaABa AHaPHaOHaRRaRaRad2322 312 323333解法 ：RRPHROHRPH1.已