定积分的换元法和分部积分法

1、百度文库第五章定积分第四讲定积分的换元法和分部积分法教学目的1掌握定积分的换元公式和分部积分公式;122.了解有关奇偶函数在关于原点对称的区间上的积分的性质;3 了解三角函数积分的下列结果:教学难点教学重点02sinn xdx 02cosnxdxn 1n32n n23n 1n3】，n为正偶数.2 2 2利用换兀积分法和分部积分法计算定积分.利用递推法计算含有自然数参数n的定积分,教学时数2学时.教学过程上节我们学习了 Newton-Leibniz公式:n为大于1的奇数,In02sinbf (x)dx a上的定积分等于它的任一个原函数在a, b上的增量.gxdx.F(x) b .这个公式说明，一

2、个连续函数在从而我们只需找到 f x的一个原函数F xa, b,再求Newton-Leibniz公式，定积分的计算方法已、定积分的换元法定理假设函数fx在区间我们给出下面的定理:a, b上连续，函数x满足条件：a,b;)上具有连续导数，且值域R a, b，则有它在a, b上的增量即可.我们已经知道，可以利用换元积分法和分部积分法来求一些函数的原函数.此，在一定条件下，可以采取这两种方法来计算定积分.按照 经解决，但为了简化计算，特别是推导定积分公式，我们要介绍定积分的换元法和定积分的分部积分法.t dt.bf x dxa公式(1)称为定积分的换元公式.分析要想证明两个积分相等，只需证明它们的一

3、个原函数在积分区间上的增量相等.证 由假设可知，（1）式两边的被积函数均连续，因此两个定积分都存在，并且由上节的定理2知道两个被积函数的原函数也都存在设F x是f x的一个原函数，则bf xadx F b F a .又设t Ft，则tdF dx dx dtf x t f tt .这说明t是ftt的原函数，于是f tt dt.再由FF b ,FF a知F bF a，所以（1）式成立.证毕注(1)当 t的值域RA,Ba,b，但满足其它条件时,只要f x在A,B上连续，则（1）式仍然成立；(2)应用公式（1）时，将x换成t ,则dx成了 xt的微分dxt dt;换元公式也可以反过来用，即将X换成 t

4、时，积分限也要换成相应于新变量t的积分限;x dx=f t dt ,其中例1计算0 JaJ x2 dx(a 0).分析 从定理可以看出，将被积函数的自变量x换成哪一个函数t ,可以参考不定积分中的技巧.解设x a si nt,则a2 x2a cost,dx a costdt，且当t 0 时 x 0，当 t I 时 x a，而在 0,上，a cost2a cost，于是J a20x2dx02COS2 tdt021cos2t dtt 丄 sin22t注应用换元公式时，求出t t的一个原函数t后，直接将t的上、下限分别代入t中相减就行了，而不必像计算不定积分那样再把t换成x的函数.例 2 计算 0c

5、os5xsinxdx .分析在求解对应不定积分时，是采用“凑”微分的方法来进行的:故本题可考虑设t cosx .cos5 xsinxdxcos5 xd cosx .解设 t cosx，贝U sin xdxdt，且当x1，当x 2时t ，于是种记法的计算过程如下:2 cos50xsin xdx0 5t5dt076注 在例2中，我们可以不必明显地写出新变量t 但此时要注意,定积分的上、下限也不要变更.这0?cos5xsi nxdxcos5 xd cosx6cos x相应不定积分采用“凑”微分方法时，该定积分通常用上述方法解较为简单.分析首先应将被积函数化简:例 3 计算 .sin3 x sin5x

6、dx035sin x sinL.3sinx | cosx .由于在x0,时，cosx的符号有变化，故需将积分区间0,分成两个区间:0,.这样在每个小区间上 cosx就保号了.、sin3 x sin5 xdx03sin2 xcosxdx32 si n20xcosxdx3sin2 x cosx dx23sin2 xdsin x3sin2 xd22sinx -552sin252sin2 x注如果忽略cosx 在2上为负，而按 .sin3x sin5x3sin2 xcosx计算，将导致错误.解设,.2x 1 t ,则tdt，且当xx 4时t 3 .于是4 x 2 dx0 2x 1t213 2t2 -t

7、dt3 dt1 2 252233例5证明：（1）若f X在a, a上连续且为偶函数，则x dxa20 f XdX ；若f x在 a,a上连续且为奇函数，则f x dx解 仅证（1）,的证明留给同学练习.a因为 f xdxa0f xdxaaf xdx0，对积分0f x dx作代换xat，则得0f xdxat dttdt又f X在 a,a上为偶函数，故 f t(ta, a ），于是aa f x dx0aa0a0-adxf xf t dtf x dx2 0 f x dx.a0af0 Ia0dxf xx dx f x dxt dta0 f x dx例6若f X在0,1注（1）这里用到了“定积分与积分变

8、量的记法无关”这一结论 利用例5的结论，常可简化计算奇函数、偶函数在以原点为对称的区间上的定积分.上连续，证明：（1）2 f sinxdx2 f cosx dx ；00（2）xf sinxdxf sinxdx，并由此计算XSinX dx.02 00 1 cos2 x分析 在定积分中经常遇到正、 余弦间的互化问题，同名函数间往往采用代换 xt（或x 2 t等等），异名函数间往往采用代换 x t（或x t等等）来解决这类问题.2 2证（1）设xt，则dx2 dt，于F是2 f sinxdx0f cost dt2 f cost dt2 f cosx dx0200设Xt,则 dxdt ,于是0 xf

9、sin x dx0t f si ntdt 0tf si nt dt0fsint dt 0tf sint dt0fsinx dx0 xf sin x dx.所以0Xf sinxdxsinx dx.利用上述结论,xsi nx l2 dx0 1 cos2 xsin x , 厂dx 2 0 1 cos2 xd cosx2 0 1 cos2 x这里需注意到f x设函数分析积分区间x1, 2进行分段.在 0,1xx2 xe1cosx解设x 2 t，则dxdt ,14 f x 2 dxarcta n cosx2上连续.0,0,计算12dx2dxt dtdt02cos2 -2f t dt1由于f是分段函数,故

10、需根据t 0及t012 10dt01dt0te dtt2、定积分的分部积分法et2tan1回顾：不定积分的分部积分公式为dxx dx由 Newton-Leibniz 公式,我们有简记作x dxbx v x dxau x v x dxbuv dxabuv ax v x dxvu dx 或ab uvaba称为定积分的分部积分公式公式表明原函数已经“积”出的部分可以先代上、18 计算 2 arcs in xdx .01arcs in xdxxarcs in x 0x2dx 1 6129计算e xdx 01-1 t1texdx 2 te dt 2 td e 0 0 03 n n23 n n nn2 n

11、 nn为大于1的奇数,n为正偶数.由于被积函数与自然数（参数）n有关，我们采用递推的方法.分析证In2sinn 1 xd cosx0sinn 1xcosx 2022. n 202 n 1 cos xsin xdx02 1 sin2xnsin2 xdx02sinn 2 xdx1 02 sinn xdx于是有In称为积分I n关于下标的递推公式.我们可以得到或写为2m 12mI 2m 1I 2m 22m 1 2m 3 II 2m2m 2m 22m 2m 22m 12rnJm31I2m 2川422m0,2m1 2m筹11, 2,),而因此2 dx0I102sinxdx1,2m又由例6（1）可知2m1 2m2m 2m42 22mInn n 23,n 1n 3n n 22 22m 2m-4- ( m 1, 2,2m 1 2m 15 3n为大于1的奇数,n为正偶数.),02sinnxdx02 cosn xdx -证毕.分析 若直接应用分部积分公式，则积分化得更复杂所以需要先用换元法.解令x t ,则x t2,dx 2tdt，于是t 1 .XX1 tt 12tet 0 2 etdt 2e 2 et 0 2e 2 e 12 例10 证明定积分公式（积分表（147）:In （sinn xdx02cosnxdx注 关于该结果要熟悉，在很多积分运算