柯西不等式的证明推广及应用

1、柯西不等式的证明、推广及应用1柯西不等式的证明对柯西不等式本身的证明涉及有关不等式的一些基本方法和技巧。因此，熟练掌握此不 等式的证明对提髙我们解决一些不等式问题和证明其它不等式有很大帮助。本文所说的柯西不等式是指工也 0B2,得证。1-2向量法证明令 & = (cw) B = Qdb“ 、b) 则对向量 有 f _ =cos(7kl，由-一歼网dp = a+a2b2+- +anbn/=| /=|当且仅当cos()=l即平行时等号成立。13数学归纳法证明i)当n=l时，有()2 =|2/?22不等式成立。当 n=2时，(a# + a2b2 )2 = djb： + 仇 + 2alba2b2(ct

2、2 +(1 +叨=%】+“2 苛 +4遲 +0因为,方2? +。2迓 2afya2b2,故有（砧 + a2b2）2 0（a G R）可得柯四不等式成立。以上给岀了柯西不等式的几种证法。不难看出柯四不等式的重要性。它的对称和谐的结 构、广泛的应用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。所以，若将此泄理作进一步 剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。2柯西不等式的推广2.1命题1若级数与f k收敛，则有不等式1$也土Xi】i-1/-) I1 l-i证明：&,土分收敛，05工4&1-1f-l 1=1 、筲茲2 丫左讨.弓讪攵敛,且塑孕也S塑孕2半2/-1=17/=1/=1从而有不等式$心成立。

3、r-1 丿 J-12.2命题2【3】 、2若级数与f/才收敛，且对5已N有f 呐Sa：b；,则对定义在a,b.,】11/1i】 jl证明：因为函数/(Qg(x)在区间匕闰上连续，所以函数f(x)g(x f2(x g2(x)在“小上可积，将匕对区间n等分，取每个小区间的左端点为舟，由圧积分的肚义得：f f(x)djc = Jim 土冷, g(x)dx = lim g 冷 f f2 (x)dx = lim f2 G 曲 f g $ (xx = lini g2 ()心Z-lr-1令打=严(扪,叶=(扪,则与收敛，由柯四不等式得1-1j(f/G)gG)Ax严(為冷g备冷/=,丿 严人1=1丿从而有不等

4、式(塑步缺侥刚生爭2(加辄伞2(吕冷)( /G)g(讹) f /2(加 g2(讪。2.3赫尔德不等式设 a】0,勺0( = 12“),p0,g0, 满 足 丄+丄=1, 则p q1=1刃叮，等号成立的充分必要条件是q=W = 12小；兄0=1 证明：首先证明丄+丄=1时，对任何正数A及B,有丄Ap+-B(lAB.p qp q对凹函数/(x)=Inx,有:ln| 丄 Ap+-B(l 丄 In A + 丄 In Bq =n AB 03柯西不等式的应用我们知道，柯西不等式在数学的各个分支里都有着极英广泛的应用，它在不同的领域有 着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样。柯西不等式在初等数学和高等数学

5、中有着不 菲的价值，它的应用充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性。3.1在不等式的证明中，柯西不等式的作用柯西不等式可以直接运用到其他不等式的证明中，运用柯四不等式证明其他不等式的关 键是构造两组数，并按照柯西不等式的形式进行探索。例1：设定义在R上的函数/=lg !2 +_+( - 1 .若oSGjiN、且11心 2,求证：/(2x)2/(x).分析：要证明/(2x)n2/(x),即证:|2x + 2“ + + ( _ 1尸 + an2x 小.V + 2 + + (n-1) + anxgN 2 lgnn只需证:l2r + 22x + + (/? - 1)2a + an2x ? l

6、v + 2* + +(“ -1/ + anxnn证明：nl2x +2 +(n 一 1 )2n2 2n + an2x= (l2 +12+- + 12 )l2x 4- 22x + - + (” -l)2v + an2x rl +2“ + +(n-i)v+亦讨又因 0 a即尸 +肺,n21gll +2X + + (/?-l)v + anxn11证明：由柯西不等式得: +例2：已知,为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n,有不等式4an 1+ + + 55因普+尹+斧（嗨+f 1 11 + + + 2Hi 1 r+11 1 + + + 1 2n丿】+丨1.4.a a25所以有1+丄+丄v 2 n

7、I11“11 1+ +12n1 + + + 2 H i +aa2所以有屮务+斧1+”+n / n A例3：设q no(j = i,2曲),则证明：工J工-a, n厶-1仏+ “2 +勺)证明：由柯西不等式，对于任意的】个实数有（衬+才+1?+卩+12)丄+吃+ )22?- (X + X. + + Xn )2即册+%+ + N =n于是口-q 心-1）I”飞肓（-1）号=如弘+勺+%）。3.2利用柯西不等式求最值例已知实数abc,d满足a+b+c+d=3, a1+ Ur +3c2 +6J2 =5试求a的最值解：由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2即 2b2+3c2+6cl2(b + c +

8、 ciy 由条件可得，5-a2(3-)2解得，1S&S2当且仅当血-辰一血时等号成立,代入b = c= d=时，6/max = 23 o21h = i c=_ J=_ 时，mln = 13.3求函数的极值柯西不等式也可以广泛的应用于求函数的极值或最值。事实上，由”1勺4- a2b2 + anb, +亦+ 4：加 + bj ),如将上式左边当作一个函数，而右边值确定时，则可知5勺+6$+5乞的最大值与最小值分别是 +a2+b2 + + bn)与+Ct2 +b2 + + bn且取最大值与最小值的充要条件是 =学=4 2 bn反过来，如果把柯四不等式右边的一个因式或两个的积当作函数，而苴他的因式已知

9、时, 则可求出此函数的最小值。例1：求函数y=4VT + j9-3x的最大值。解：函数y = 4VT + j9_3x的泄义域为：2,3y = 4A/r2 + V9-3x=45/x-2+V3-A/3xA/42-(V3)2当且仅当4 匸=V3匸即x = e 2,3时等号成立。所以 ymax = 例2：求函数y = asmx + bcosx的极值，英中a.b是常数。解：由柯四不等式：y2 =(dsinx + /?cosx)，(6/2 +Z?2)(sin2 x + cos2 x)=/ +b2故有 _ +歹 y yla1 +b2 o当且仅当兰上=时,即x = arc tan+ (/: wZ)时， a b

10、b函数 y = sin x + bcosx 有极小值 一la2 +b ,极大值 y/a2 +b2。例 3：已知 a.b,c,R 为常数，当 a-2 +y2 + z2 = R2 时，求函数 f (x, y, Z)= cix + by + cz 的最大值与最小值。解：由柯四不等式：f2(x, y,z) = (ax + by + cz)2 (2 +b2 + c2)(x2 + y2 +?)=(/ +b2 +c2)R2故 |/(x, y, z y = bt,z = ct 代入 x2+y2+z2 =疋得(g2 +b2+c22 = R2则 t = ； 、 、即当(X, y,z) = , , = (d,b,c

11、)时, 、lc广 +b +cy/cr +Zr +rfyyz) = Ra2+h2+c2分别为所求的最大值与最小值。3.4求参数范围例：已知对于满足等式x2+3y2=3的任意实数，对(x,y)恒ax+y2,求实数a的取值解： . ax+ y =ax + =-4= y3y J/ +* J/ +3y2 = J3a，+1/.要使对(兀y)恒有|ax+ y 2|ov+儿 ,2 即V32 + l -lt/z-2+b2+c2 证明：由柯西不等式得看+ =+ 厉亠 + 何丄 S Jor+by + cz J丄+ 丄 + 丄ylbJcV a b c 记SABC的而积，则2曙二等y/x + yfy +4z 43S中a

12、, b, c为三角形的三边长，S为三角形的而积。证明：由海伦一一秦九韶而积公式：S2=5(5-4-y-4其中S=“ + + .2于是16S2 = (a + b + cb + c-ac + a -ba + b-c)= 2(lrc2 +c2a2 +a2b2)-a4 -b4 -c4由柯西不等式：(b2c2 + c2a2 + crb4(/?2c2 +c2a2 +a2b2)o变形得：a4 +b4 +c4 + 2b2c2 4-2c2a2 +2a2b2 3(2b2c2 + 2c2a2 + 2ct2b2 -a4 -b4 -c4)即(,+沪+可 3x165故有“2 +b2 +c2 4y/3S,当且仅当a=b=c

13、时等号成立。例 3：在三角形 ABC 中，证明一 sin nA + srn nB + sin nC 2 2证明：由柯西不等式：(sin nA + sin nB + sin nCf = (1 - sin nA +1 sin ”3 +1 sin nC)2 (l2 +12 + l2)(sin2 nA + sin2 nB + shv nC)即(sin nA + sin nB + sin nC)2 3(sin2 nA + sin2 nB + sin2 nC) (1)因为2 sin nA + sin /?B + sin nC = 1-cos nA +l-cos2/?B2l-cos2nC2=2-cos2 M

14、-*(cos2“B + cos2”C)=2-cos2 nAconB + nCjcoriB - nC) 2-cos2 nA + |cos(7iB + nC)cos(nB-nC 2-cos2 nA + |coS(nB + nC)|故 sin ziA + sin2 z/B + sin2 7?C2-cos2 M + |cos(/z3 + C)|(2)又因为2 一 cos2 /?A + |cos(/?B + Cj = 2 + |cos /zA|(l - |cos 内)S 2 +|cos /z/l| + (1 - |cos /zA|)-,19因而 2-cos- nA + |c osnA 2 + - = -

15、(3)将(3)代入(2)得sin2 nA +sin2 nB + sin2 nC -(4)4将(4)代入(1)得(sinnA + sinnB + sinnC)2 (-8x + 6y-24 z)2(1)(x2 + y2 + z2)(- 8)2 + 6, + (- 24)2 = 2 x(64 + 36 + 576)= 39?4又(-8x+6y-24)2=392 即( + 尸 + 盘(_8+62+(_24)2=(_8% + 6丁-24“2 即（1）式取等号。由柯西不等式取等号的条件有 （2） -86-24（2）式与一8x + 6y-24z = 39联立，则有x = - = ,z = 1326133.7

16、用柯西不等式解释样本线性相关系数在槪率论与数理统计一书中，在线性回归中，有样本相关系数-13- （兀-秋兀-刃J,并指出且I越接近于1,相关程度越大；I越接近于 r-1r-10,则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。记4=兀一工，勺=x_y,则厂= j =,由柯四不等式有|r| 1“nnv _ 卞 b当im=i时，工鬧:此时，-j-=-L=k. k为常数。（.1/./-1齐一x q点（齐，x） j = l,2,均在直线y-y = k（x-x）.,当|t1 时，Mab即乞（柿右质 * r-1/-Ir-1j-Ir-1r-1而f （也-ixi?;=- z（呐-幻勺fr-l/-I/-

17、i15/S j0= atb： - a ,/, P 为常数。= = k, k 为常ai兀一壬 a,数点（兀.,切均在直线y-亍=乩丫一壬）附近，所以|M越接近于1,相关程度越大；当|M 0 时，仏0）不具备上述特征，从而找不到合适的常数k使点（心片）都在直线y-y = -J） 附近。所以I越接近于0,则相关程度越小。4中学数学中柯西不等式的应用技巧在上文柯西不等式的应用中可以看出，柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的 不等式，而且它对初等数学也有很好的指导作用，利用它能方便地解决一些中学数学中的有关 问题。下而我们特别以柯西不等式证明不等式为例，谈谈此类问题的解题技巧。4.1巧拆常数222 Q例：设a、b、c为正数且各不相等。求证：二一+ 二+ 二一a + b b + c c + a a + h + c分析：因为a、b、c均为正 所以为证结论正确只需证2(G + b + dj 丄 + 丄+ ! 9 a + b b + c c + a J而2G + + c) = (d + )+(b + c)+(c + d)又9 = (1 + 1 + 1)24.2重新安排某些项得次序例：a b 为非负数，a+b=l x.x2 e /?+ 求证：(6/x)+ bx2