04183概率论与数理统计_第2章课后答案

1、习题2.11. 设随机变量X的分布律为PX=k=,k=1,2,N求常数a.解:由分布律的性质=1得P(X=1) +P(X=2) + P+X=N) =1aN*N = 1,即 a=113 5 72. 设随机变量X只能取-1,0,1,2这4个值且取这4个值相应的概率依次为求常数 C.b5E2RGbCAP1 357373. 将一枚骰子连掷两次，以X表示两次所得的点数之和，以丫表示两次出现的最小点数，分别求 X,Y的分布律.注：可知X为从2到12的所有整数值.可以知道每次投完都会出现一种组合情况，其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/36 ，故P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36(第一次和第二

2、次都是 1)P(X=3)=2*(1/36 )= 1/18(两种组合(1,2)(2,1)P(X=4)=3*(1/36 )= 1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2)P(X=5)=4*(1/36 )= 1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2)P(X=6)=5*(1/36 = 5/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3)P(X=7)=6*(1/36) = 1/6(这里就不写了 ,应该明白吧)P(X=8)=5*(1/36) = 5/36P(X=9)=4*(1/36) = 1/9P(X=10)=3*(1/36) = 1/12P(X=11)=2*(1/36)

3、 = 1/18P(X=12)=1*(1/36) = 1/36以上是X的分布律投两次最小的点数可以是1到6里任意一个整数，即Y的取值了.P(Y=1)=(1/6)*1=1/6一个要是1,另一个可以是任何值P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36一个是2,另一个是大于等于2的5个值P(Y=3)=(1/6)*(4/6)=1/9一个是3,另一个是大于等于3的4个值P(Y=4)=(1/6)*(3/6)=1/12一个是4,另一个是大于等于4的3个值P(Y=5)=(1/6)*(2/6)=1/18一个是5,另一个是大于等于5的2个值P(Y=6)=(1/6)*(1/6)=1/36一个是6,另一个只能是6以上

4、是Y的分布律了 .4. 设在15个同类型的零件中有2个是次品，从中任取3次，每次取一个，取后不放回.以X表示取 出的次品的个数，求X的分布律.p1EanqFDPw解 ：X=0,1,2厂3c!322 = 35X=0 时,P=：r 2 rl13 * 512c3= 35X=1 时,P=r 0 厂213 * 21C3= 35X=2 时,P=5. 抛掷一枚质地不均匀的硬币，每次出现正面的概率为、,连续抛掷8次,以X表示出现正面的次 数，求X的分布律.DXDiTa9E3dk 2 k 1 k納C8(R(R解:PX=k= 门 ,k=1,2, 3, 86.设离散型随机变量X的分布律为X-123P11142|4|

5、r 1(25、求卩* -L P-X-, P2 X 3h P2 X3px41a sip!ix-2h113P2X3 = 2 + 4 = 41P2X 2 = 1 - PX = 0- P(X = 1=1-C1n(0.000l)0(0.9999)w0-Cln(0,000l)o.9999)9t?9dvzfvkwMI14的泊松分别，求:=1 - e_01 - O.le_01 = 1 - 0.9048 - 0,0905 = 0.004710. 一电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为(1) 每分钟恰有8次呼唤的概率；(2) 每分钟的呼唤次数大于10的概率.解： ir :. .: I - I ：ii.-. I

6、 ; ;:丨山 .: 1ii：宀习题2.21. 求0-1分布的分布函数.F(x) = 解：2. 设离散型随机变量X的分布律为:X | -123P 0.250.50.25求X的分布函数，以及概率-八 丄幕，：、解：卍 -D n：- 1 x 2 時 Mk) = PX x = PX =- 1 = 0.25;當 2 x 3 時,F(x) = PX 3時,F仗)=PX x - PX = 1 + PX = 2 + PX = 3 = 0.25 + 0.5 4- 0.25 = 1; 则X的分布函数F(x)为:甘、O.25P - 1 x 2F=0.屈2 x3rqyn14ZNXIP1.5 X 0.5 = 1- F

7、(0+5) = 1 - 0.25 = 0.753. 设Fi(x)丘(x)分别为随机变量Xi和X2的分布函数,且F(x)=a F(x)-bF2(x)也是某一随机变量的分 布函数,证明 a-b=1.EmxvxOtOco证：卜 I： ： - I .-:4. 如下4个函数，哪个是随机变量的分布函数 ； 6F(x) =-2 X 0(1)f6F (x)二 * sinx, 0 x TlKsinx, 0 x TT b 匕X-2aF4（x）二0xiX违5. 设随机变量X的分布函数为F(x) =a+larcta nx,严求(1)常数a,b;(2) 1 、 1解：(1)由分布函数的基本性质-“二 得：TTa + b

8、*(-)=0na 4- b * (-) = 11 1解之a= , b=TTTTn 1巩一1 VXS 1 = F(l) - F(- 1) = a + b (a + b * -) = b*- = -(2)TT TTH71?A(将 x=1 带入 F(x) =a+larctanx)注:arctan 为反正切函数，值域(),arctan仁 sixE2yxpq56. 设随机变量X的分布函数为0,F(x) = lnxf 1 xe求r/:;ir /.:解注：P0 X 3 = F(3) - F(O)= 1-0=1;2.5P2 X 2.5 = F(2.5) - F(2)= ln2.S - ln2 = In = I

9、nk 25习题2.31. 设随机变量X的概率密度为：10 / 30acosx,d恥;其他TT1求：(1)常数a;解：P 0X-L J；(3)X的分布函数F(x).(1)由概率密度的性质+ wf(x)dx = 1,-wKITasin + asin = a + a = 16ewMyirQFLITnacosxdx = asinxl_ 2TT2TTasin - asinn22142sin(O) = |*Y +一些常用特殊角的三角函数值(3) X的概率分布为:0,F(x)|(1 + 血Q1.TTTT7T- X 2 -2IT2kavU42VRUs2. 设随机变量X的概率密度为f(x) = ae -性-oa

10、 % 0x 0(指数分布)y6v3ALoS89dx + I ae-DO-CO丿 0Pox 1 = F(1) - F(o) = -(l-e_1)(3) X的分布函数x 03. 求下列分布函数所对应的概率密度1 1叫仗)=十arctanx - x +(1) 1fi(x) =Y解：门(柯西分布)F2(x) = _ caf?仗)=解：0,x 2M2ub6vSTnP11 / 30fjx)=解：cosx,an0 x - 其他（均匀分布）0YujCfmUCw4. 设随机变量X的概率密度为0 x 1Kx) = 2 x,eUts8ZQVRd.0,rl 31x,1例2 设 X/(jv)= 2-xT ix2a 其亡

11、山壬用d是分段 表达阪求Ffv）时 注意分段求.2-at,lx2F(x)=*x()0xllx2QIt它f(才)=/(曲*C3Ox()0x1x215 / 30l2(1)P罔” F2!-T=18_83232fl P33应*22丘2 .5. 设K在(0,5)上服从均匀分布，求方程 *入 11：(利用二次式的判别式)解：KU(0,5)f(K) =0 -x- 5sQsAEJkW5T.0， 其他方程式有实数根，则： 1|;飞2 K - 1故方程有实根的概率为：戸1PK 2= J 击dx = 0-63的概率.6. 设X U(2,5)现在对X进行3次独立观测，求至少有两次观测值大于3_22至少有两次观测值大于

12、3的概率为:7 2 2 1 1 . 2 3 1 20咏沁)+咏沁)J7. 设修理某机器所用的时间X服从参数为入=0.5(小时)指数分布，求在机器出现故障时，在一小 时内可以修好的概率.GMslasNXkA解：P；X 10= 1 - F(10) = 1-(1-未等到服务而离开的概率”为PY = M =(k = 0,1,235)丫的分布律:丫012345P0.4840.3780.1180.0180.0010.00004PYS1 = 1-PY=O = 1- 0.484 = 0.5169. 设 X N(3,),求：I i 、i.; ， 1：- ：P2 X S = (1)5-322-3I=0(1) -

13、1 -= 0.8413 -(1- 0.6915) = 0.5328P-4X-(03085 - 0.0062)= 0.69771(c - 3+ 中=1i j=力(3.5 - 1 - 0(3.5) = 0.9998 - 0.0002 = 0.99967EqZcWLZNXP|X| 2= 1 - P - 2 3= PX 3 = 1 - lI = 1 - G(0)= 1 - 0.5 = 0.5(2)文 -：二巧上门PX c=l - PfX cPX c + PlX c= 1c - 3经查表，即C=310. 设 X N(0,1)设 x满足EwdCiUH解：P|x| x 0421 - P(x) 0.119-c

14、p(x) 204(x) 0+95经查表当工1.65时;八即 2 1.65 时 PlIXl x 0.111. X N(10/ ),求:丁； 了 .J.: I川(1)P7X(2,5) - 1 -中(1.5) = 0.9938 - 0.0668 = 0.927zvpgeqJIhkX Id ./i Pl Id d U) 川 n ?=rio + “ - it?L2 0.91.65，即 d=3.312. 某机器生产的螺栓长度X（单位:cm）服从正态分布N（10.05,八九）,规定长度在范围10.050.12内为合格，求一螺栓不合格的概率.NrpoJac3v1螺栓合格的概率为：P10.05 - 0.12 X

15、 10.05 4- 042=卩9,93 X 1017/10.17 - 10.0579.93 - 10.05=0.06 ) 0.0616 / 30=1- 0(2)=0,9772 * 2 -1=0.9544螺栓不合格的概率为1-0.9544=0.0456213. 测量距离时产生的随机误差 X(单位:m)服从正态分布N(20,).进行3次独立测量.求:(1) 至少有一次误差绝对值不超过 30m的概率；(2) 只有一次误差绝对值不超过30m的概率.解:(1)绝对值不超过30m的概率为：P - 30 X 30)=30-2040_)=0(0.25) - 1 - (1.25) = 0.4931至少有一次误差

16、绝对值不超过 30m的概率为：C(0.4931)(l - 0.4931)3 = 1 - 0.1302 = 0.8698 1-(2)只有一次误差绝对值不超过30m的概率为：；(0.49切1(1 - 0.4931)2 = 0.3801习题2.41.设X的分布律为X I -2023P 0.2_0.20.30.3求、八：的分布律.Y解: (1)：的可能取值为5,1,-3,-5.由于P(Yl = 5 = P( - 2X + 1 = 5 = PX =- 2 = 0.2 pY| = 1 = P- 2X +1 = 1 = PX = 2 = 0.2 pY =- 3 = P - 2X + 1 =- 3 = P(X

17、 = 2= 0.3 pY =- 5 = P - 2X + 1 =- 5 = P(X = 3 = 0.3 V从而的分布律为：X-5-315Y10.30.3 0.20.2Y的可能取值为0,2,3.由于pv2 = 0)= P|X| = 0 = px = 0= 0.2PY2 = 2 = P凶=0 = P(X =- 2 + PX = 2 = 0.2 + 03 = 0.5PY2 = 3 = P|X| = 3= PX = 3 = 0.3Y从而2的分布律为：X0230.20.5 0.32.设X的分布律为X-10 12P0.20.30.10.4求S=的分布律.解:丫的可能取值为0,1,4.由于PY = 0 =

18、PX - l)2=0 = PX= Jj = 0,1PY = 1 = P(X -1)3=1 = PX- 0+ PX = 2=0.7PY = 4 = P(X - l)2=4)= PX=- 1 = 0.2从而的分布律为：X | 014丫0.10.7 0.23. XU(0,1)求以下丫的概率密度：(1)、丨一 v - I: 解：YY2 1 2Y = g(x) =-2ln 值域為(0, += h(y) = e : h(y)=-e 2(1)1nowfTG4KIfY(y)=fx(h(yn| h(y)| = lYY_2 _ 2 e1 2 fY(y) = -2e 、 y0to, y0Y- 1.1V = g(x)

19、 = 3X + 1,價域為(8, + qo), X = h(y)二h (y)=- -11 1Vy） = fx（h（y）l h（y）| 二匕祚fY(y) n 3f即1 y4f6 其他rl注:由 XU(0,1), -,当 X=0 时，丫=3*0+1=1；，当 X=1 时，丫=3*1+1=4fjnFLDa5ZoKt1Y 二 g(x) = e h(y)二 lny7 h (y)=- 1 1fY(y) = fx(h(y)| h(y)| = 1 *- = -G(y)，OPS即1注：，当X=0时”;，当X=1时,八4.设随机变量X的概率密度为2tx（x）= 2x _10.其他.求以下Y的概率密度:(1) Y=

20、3X;(2) 丫=3-X; (3)Y f 1 加 /八、/、cxz X = h(y)二刁 h (y) = q解：(1) Y=g(x)=3X,心T y2 1 Y2 fY(y) =fx(h(y)| h(y)l =y *3 = 18(Y2 fY(y)= _3 y 即A(2) Y=g(x) =3-X, X=h(y) =3-Y-123 / 30fY(y) = fx(h(y)| h(y)fY(y)=r3(3 - Y)220,393(3 -Y)2= 2*(3-Y)+ 13 y4f 其他1(3) 耳，X=h(y)= 1,伐fY(y) = fx(h(y)|3 揮 13%/Yh虬丁*寿=即0 y 0, xoo,

21、其他fy(y) = 2即Y 二 g(x)二 / X 二 h(y)二 InY.h(y)二；h(y)| =e1111 Y_ Y Y_y?(1厂=2/ Yy 1k永远大于o.0,其他7V7l4jRB8HsefY(y)=即Y = g(x) = X：X = h(y)=事* h (y)= 1fY(y)= fx(h(y)I h(y) | = e _y0 其他6. XN(0,1)求以下Y的概率密度:丫 :.2、- I-co x 3= PX=4=， (二项分布)当X二-Y寸：2n72e = eyzV2nnr y/4 - 72 -ye7T26 / 30fY(y)=y 1y3= A .A. 0.0016 B. 0.

22、0272 C. 0.4096 D. 0.81923设随机变量X的分布函数为F(x)下列结论中不一定成立的是DD. F(x)为连续函数A F( + s) = lbF(-苗)=0c 0 F(x) 14下列各函数中是随机变量分布函数的为B0(x 0Fi (x) - oo x + 8F/x) - jA.B.2MiJTy0dTTF3(x) = e - co x + gq C.D.31Ftx) = v + arctanx, 一 oo V 兀 v+ oo 些4 Z7TF gliSpiue7Af(x) nfa2fx5设随机变量X的概率密度为x 10则常数 a=_ A 一uEh0U1Yfmh厂不晓得为何课后r答

23、案为DLJC. : D.10+f aaI dx =- - = 1J 2x解: F(x) = 八IAg9qLsgBXf(x) = *6如果函数WwghWvVhPEa x b儿他是某连续型随机变量X的概率密度，则区间a,b可以是_CA. 0,1 B. 0, 2C.D. 1,27设随机变量X的取值范围是-1,1,以下函数可以作为X的概率密度的是Aa2F-1 x1f 2t-1 x 1A.其他B.苴他asfpsfpi4krxp1 X 1代-1 X0 x 2&设连续型随机变量X的概率密度为则7 - ； = B .BkeGuInkxIA. 0 B. 0.25 C. 0.5 D. 1P-1 X1解：4-2|1

24、 149设随机变量XU（2,4）则 l：= A .（需在区间2,4内）A P2,25 疋 v 325B P 1.5 v 策 v 2.5C. P3.5 x 4.5D P4.5 x 5*510. 设随机变量X的概率密度为f i则X AA. N (-1,2) B. N (-1,4) C. N (-1, 8) D. N (-1, 16pgdoosRiM。11. 已知随机变量X的概率密度为fx（x），令Y=-2X则丫的概率密度fy（y）为_D 办（-为 二（9C.监“D.3cdXwckm15A 2fx（-纣）BI自己算的结果是二,填空题1已知随机变量XPX的分布律为23452a 0.10.3 a 0.3

25、则常数a= 0.1解:2a+0.1+0.3+a+0.3=1X123P2|6662 .设随机变量X的分布律为记X的分布函数为1 2F(x)则 F(2).解：313抛硬币5次，记其中正面向上的次数为 X则1 :=s 1 5 1 0PX0）的泊松分布，且，则入=_232 / 30PX = 0tP(X = 2帶入 PX = k = -e解:分别将 15 .设随机变量X的分布函数为0, x aF6c) = 04, a x d其中0ab则aPUX2J= 0.412a +刃Tfa 4- b0.4 - 0 = 0.46设X为连续型随机变量,c是一个常数,则二二 = 0.7.设连续型随机变量X的分布函数为 1 x尹 x0F(x) =1-(x + 1),0 x 2则X的概率密度为f(x),则当x 0x 0 其中概率密度为f(X),h8c52WOngM9.设连续型随机变量X的概率密度为f(x) =、2a*x0要使常数 a=v4bdyGious3 .1 -解：心_飞m厂玉3 2a10. 设随机变量XN(0,1),Z :为其分布函数，则八：十=-=1.211. 设XN“,其分布函数为为标准正态分布函数，则F(x)tH 之间的关系是J0bm4qMpJ912. 设 XN(2,4)则 W 2S=0.513. 设X