概率论与数理统计第一章 基本概念

1、广东工业大学广东工业大学绪言绪言第一章第一章 基本概念基本概念1.1 1.1 随机试验随机试验（ Random experiment）1.2 1.2 随机事件随机事件（ Random Events ）1.3 1.3 事件的概率事件的概率（ Probability ）小结小结课程要求课程要求习题选讲习题选讲本章测验本章测验广东工业大学广东工业大学本章主要讲述随机试验，样本空本章主要讲述随机试验，样本空间，随机事件，事件间的关系与运算，间，随机事件，事件间的关系与运算，频率，概率的统计定义，概率的性质，频率，概率的统计定义，概率的性质，古典概型。古典概型。第一章第一章 基本概念基本概念广东工业大学

2、广东工业大学确定性现象的特征：确定性现象的特征： 条件完全决定结果。条件完全决定结果。1、确定性的现象（必然现象）确定性的现象（必然现象）necessity, inevitability。例如：例如：广东工业大学广东工业大学1、确定性的现象（必然现象）确定性的现象（必然现象）necessity, inevitability。2、非确性的现象（偶然现象）非确性的现象（偶然现象） randomly, chance。非确定性现象的特征：非确定性现象的特征： 条件不能完全决定结果。条件不能完全决定结果。广东工业大学广东工业大学上抛一硬币上抛一硬币1000010000次，次，在一定条件下，进行大量在一定

3、条件下，进行大量观测会发现某种规律性。观测会发现某种规律性。出现正面向上的次数出现正面向上的次数总是总是5000次左右。次左右。 有部分非确定性现象在大量重复试验时，统计结果呈现有部分非确定性现象在大量重复试验时，统计结果呈现例如例如:现出一定的规律性。现出一定的规律性。广东工业大学广东工业大学随机事件的发生具有偶然性随机事件的发生具有偶然性, , 机遇性，在一次试验中，机遇性，在一次试验中，可能发生，也可能不发生。但在大量重复试验中，随机现象可能发生，也可能不发生。但在大量重复试验中，随机现象常常表现出这样或那样的统计规律，称为常常表现出这样或那样的统计规律，称为随机现象的统计规随机现象的统

4、计规律性律性。在相同条件下可以重复操作出现，并有一定的规律性的在相同条件下可以重复操作出现，并有一定的规律性的非确定性现象称为非确定性现象称为随机现象随机现象。广东工业大学广东工业大学1.1 1.1 随机试验随机试验( Random experiment) 鉴于我们要研究的对象和任务（即随机现象的统计规律鉴于我们要研究的对象和任务（即随机现象的统计规律性），必需对研究对象进行试验或观察。性），必需对研究对象进行试验或观察。例：例：广东工业大学广东工业大学这些试验都具有以下的这些试验都具有以下的特点特点： 可以在相同的条件下重复地进行；可以在相同的条件下重复地进行； 每次试验的可能结果不止一个，

5、并且能事先明确试验每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验 的所有可能结果；的所有可能结果； 进行试验之前不能确定哪一个结果会出现。进行试验之前不能确定哪一个结果会出现。在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机随机试验试验( (Random experiment) )。简称。简称试验试验，用，用E E表示。表示。随机试验随机试验广东工业大学广东工业大学1.2 1.2 随机事件随机事件( Random Events )常用常用 表示。表示。e , 样本点个数有限样本点个数有限样本点个数无限样本点个数无限广东工业大学广东工业大学解解: ,1

6、TH 广东工业大学广东工业大学解解: ,3 , 2 , 1 , 02 广东工业大学广东工业大学解解: ，3平平负负胜胜 , 3 , 2 , 1 , 04 0|5 tt广东工业大学广东工业大学更多例子更多例子: ,| ),(7Dyxyx （H H HH H H），（），（T H HT H H），（），（H T HH T H），（），（T T HT T H）（H H TH H T），（），（T H TT H T），（），（H T TH T T），（），（T T TT T T）6 第一次有第一次有6 6个可能的结果个可能的结果第二次也有第二次也有6 6个可能的结果个可能的结果6 , 5 , 4 ,

7、3 , 2 , 1,| ),(8 yxyx广东工业大学广东工业大学在实际问题中，面对一个随机试验，我们一般关心的是在实际问题中，面对一个随机试验，我们一般关心的是某些特定的事件是否发生。某些特定的事件是否发生。（）出租车公司可能关心的是：（）出租车公司可能关心的是：“电话订车中心一天中接到订车电话数不超过电话订车中心一天中接到订车电话数不超过”如：如：（）灯泡采购员可能关心的是：（）灯泡采购员可能关心的是：“灯泡的寿命大于小时灯泡的寿命大于小时”（）在掷骰子中，赌徒关心的是掷两题骰子：（）在掷骰子中，赌徒关心的是掷两题骰子：“出现的点数和大于出现的点数和大于”广东工业大学广东工业大学在随机试验

8、中在随机试验中, ,可能发生也可能不发生的事情称为可能发生也可能不发生的事情称为随机事件随机事件。常用大写字母常用大写字母 A,B,C,表示表示（样本空间的子集称为（样本空间的子集称为随机事件随机事件，简称为，简称为事件事件。）。）当一次试验结果出现在这个集合时，即当一次试验结果当一次试验结果出现在这个集合时，即当一次试验结果A 时，就称这次试验中时，就称这次试验中事件事件发生发生。否则称否则称未发生。未发生。即一次试验的结果为即一次试验的结果为 时时 A 事件事件发生发生A 事件事件未发生未发生广东工业大学广东工业大学其样本空间其样本空间6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 若掷骰子一

9、次，出现点数，则若掷骰子一次，出现点数，则事件事件表示出现的是偶数点，即表示出现的是偶数点，即6 , 4 , 2 A事件事件表示出现的是奇数点，即表示出现的是奇数点，即5 , 3 , 1 B由由 ，B 3故在这一次试验中，事件故在这一次试验中，事件发生了；发生了；由由 ，A 3故在这一次试验中，事件故在这一次试验中，事件没有发生。没有发生。若再掷骰子一次，出现点数，则在这一次试验中若再掷骰子一次，出现点数，则在这一次试验中事件事件发生了，而事件发生了，而事件未发生。未发生。A 事件事件发生发生A 事件事件未发生未发生广东工业大学广东工业大学每一次试验中必然会发生的事件。每一次试验中必然会发生的

10、事件。 每一次试验中必然不会发生的事件。每一次试验中必然不会发生的事件。 试验的每一个可能结果都称为基本事件。试验的每一个可能结果都称为基本事件。即只含有单个样本点的集合。即只含有单个样本点的集合。 A复合事件复合事件基本事件基本事件必然事件必然事件样本空间样本空间由基本事件由基本事件构成的事件构成的事件广东工业大学广东工业大学其样本空间其样本空间6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 事件事件表示出现的是偶数点，即表示出现的是偶数点，即6 , 4 , 2 A事件事件表示出现的是奇数点，即表示出现的是奇数点，即5 , 3 , 1 B复合事件复合事件复合事件复合事件事件事件表示出现点数，即表

11、示出现点数，即6 C基本事件基本事件事件事件D表示出现点数小于表示出现点数小于10，必然事件必然事件事件事件F表示出现点数大于表示出现点数大于10，不可能事件不可能事件广东工业大学广东工业大学“摸出的是白球摸出的是白球”“摸出的是红球摸出的是红球”号球号球取到第取到第ii “摸出的是黑球摸出的是黑球”“摸出的是摸出的是3 3号球号球” C B样本空间样本空间5 , 4 , 3 , 2 , 1 i,54321 ,321 ,54321 ,54 3 广东工业大学广东工业大学 (1) (1) 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; ;(2) (2) 每次试验的可能结果不止一个每次试

12、验的可能结果不止一个, , 并且能事先明确试验的所有可并且能事先明确试验的所有可能结果能结果; ;(3) (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. . 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间, ,随机事件是样随机事件是样本空间的子集本空间的子集. .随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件必然事件不可能事件是两个特殊的必然事件不可能事件是两个特殊的 随机事件随机事件复合事件复合事件 部份样本点的集部份样本点的集基本事件基本事件( (样本点样本点) ) 单点集单点集必然事件必然事件 全空间全空间不可能

13、事件不可能事件 空集空集统称统称随机随机事件事件样本空间子集样本空间子集广东工业大学广东工业大学有时候我们感兴趣的是一个较为复杂的事件，而直接有时候我们感兴趣的是一个较为复杂的事件，而直接研某些复杂事件，有时候比较复杂。此时，我们可以利用研某些复杂事件，有时候比较复杂。此时，我们可以利用复杂事件与简单事件之间的联系，把较为复杂的事件分解复杂事件与简单事件之间的联系，把较为复杂的事件分解为一些较简单的事件来研究。为此，我们先定义事件间的为一些较简单的事件来研究。为此，我们先定义事件间的一些关系与运算。一些关系与运算。如果事件如果事件A发生时，事件发生时，事件B一定发生。一定发生。,A 则。）则。

14、）B 则称事件则称事件B包含事件包含事件A, ,记作记作.BAAB 或或即即为为的子集。的子集。BA广东工业大学广东工业大学若事件若事件A包含事件包含事件B, ,而且事件而且事件B包含事件包含事件A, , 则称事件则称事件A与事件与事件B相等相等, ,记作记作 A=B. .其样本空间其样本空间6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 事件事件表示出现的是偶数点，即表示出现的是偶数点，即6 , 4 , 2 A事件事件表示出现的是奇数点，即表示出现的是奇数点，即5 , 3 , 1 B事件事件表示出现点数，即表示出现点数，即6 C显然事件显然事件发生，则事件发生，则事件一定发生，一定发生，.AC

15、即即广东工业大学广东工业大学AD 同理有同理有BD DC 广东工业大学广东工业大学“二事件二事件，同时发生同时发生”也是一个事件，称为事件也是一个事件，称为事件与事件与事件的积事件（交事件）。记为的积事件（交事件）。记为.BA BA发生且发生且发生发生,|BA 且且ABBA显然有显然有DBA 简记为简记为AB广东工业大学广东工业大学则则AB为不可能事件，为不可能事件，. AB即即若事件若事件与与互斥，互斥， ABBA互斥互斥与与两两互斥：两两互斥：若一些事件中任意两个都互斥，则称这些事件是若一些事件中任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的。两两互斥的。AB互不相容事互不相容事件的关系件的关系

16、广东工业大学广东工业大学“二事件二事件，至少发生一个至少发生一个”也是一个事件，称为也是一个事件，称为事件事件与事件与事件的并事件（和事件）。记为的并事件（和事件）。记为.BA BA发生或发生或发生发生,|BA 或或ABBA显然有显然有DBA 若若与与互斥，常将互斥，常将BA简记为简记为.BA 广东工业大学广东工业大学事件的交与并的推广事件的交与并的推广niinAAAA121 ,21同同时时发发生生nAAA niiA1 1321iiAAAA,321同时发生同时发生AAA 1iiAniinAAAA121 ,21至至少少有有一一个个发发生生nAAA 1321iiAAAA,321至至少少有有一一个个

17、发发生生AAA 区别区别区区别别广东工业大学广东工业大学.BA 记为记为不不发发生生发发生生且且BABA |BA 且且AB BA 广东工业大学广东工业大学“事件事件不发生不发生”是一个事件，称为是一个事件，称为的的对立事件对立事件（或（或逆事件逆事件），），.A记为记为不不发发生生AA |A 且且A AA为为的对立事件，当且仅当的对立事件，当且仅当 AB)1( BA)2(广东工业大学广东工业大学 ABAB BA A、B 对立对立A、B 互斥互斥 . ABBA且, AB互互 斥斥对对 立立广东工业大学广东工业大学(1) ABC(2);ABC(6);ABC(4);ABBCAC ;or A B CA

18、 B CA B CA B Cor ABC(3)ABCABCABC(5);ABBCAC orABCABCABCABC广东工业大学广东工业大学123BA A A123123123123CAA AAA AAA AAA A321321321AAAAAAAAA321AAA321AAA321321321AAAAAAAAA321AAAA1A3A2121312AA AA A AA3A2A1广东工业大学广东工业大学(1),.ABBA ABBA交换律(2)()(),ABCABC结合律(3)()()(),()ABCABACABACABCABAC分配律(4):,.ABABABAB对偶律律, A B C设为事件 则有

19、()().AB CA BC()()()()().ABCACBCACBCniiniiniiniiAAAA1111, 广东工业大学广东工业大学()ABABA 例： 运用事件运算关系证明等式,ABAB证明 由于则ABAAB)(ABAAB)(ABBA)(AA广东工业大学广东工业大学AB ABABAA B，BA AB AB广东工业大学广东工业大学广东工业大学广东工业大学随机事件在一次试验中有可能发生也可能不发生，但多随机事件在一次试验中有可能发生也可能不发生，但多次重复时，会发现有的事件发生多些，有的少些，这数量上次重复时，会发现有的事件发生多些，有的少些，这数量上的区别反映了随机事件的内在的一种规律。

20、的区别反映了随机事件的内在的一种规律。一、一、 频率的定义频率的定义(Frequency)(Frequency) 、定义、定义设设E为任一随机试验，为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条为其中任一事件，在相同条件下，把件下，把E独立的重复做独立的重复做n次，次，表示事件表示事件A在这在这n次试验次试验中出现的次数中出现的次数(称为称为频数频数)。比值。比值 称为事件称为事件A在这在这n次次试验中出现的试验中出现的频率频率(Frequency).nvA/Av记为记为nvAfAn )(广东工业大学广东工业大学、频率的性质（证明见：第、频率的性质（证明见：第9页下方）页下方）（）非负性：（）非负

21、性：0)( Afn（）规范性：（）规范性：1)( nf（）有限可加性（）有限可加性:若事件若事件A和和B互不相容，则有互不相容，则有)()()(BfAfBAfnnn 、频率的稳定性、频率的稳定性实践证明：实践证明：当试验次数当试验次数n增大时增大时,随机事件的频率随机事件的频率逐渐趋向稳定逐渐趋向稳定。)(AfnnvAfAn )(样本空间样本空间 也是事件，由于每次试验的结果必是也是事件，由于每次试验的结果必是某个样本点，即某个样本点，即 是在每次试验中必然要发生的是在每次试验中必然要发生的 广东工业大学广东工业大学数据波动较大试验试验序号序号5 nAvf1 2 3 4 5 6 7231 5

22、1 2 4Avf50 n22252125241827Av500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波动最小波动最小 0.5n=50n=500f5(A)f50(A)f500(A)n=5广东工业大学广东工业大学试验者抛掷次数n正面出现次数m正面出现频率m/n德.摩尔根204810610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼3000014994

23、0.4998的的增增大大n.21)(Afn广东工业大学广东工业大学新生儿性别统计表新生儿性别统计表出生年份新生儿总数n新生儿分类数频率(%)男孩数m1女孩数m2男孩女孩197736701883178751.3148.69197842502177207351.2248.78197940552138191752.7347.27198058442955288950.5649.44198163443271307351.5648.44198272313722350951.4748.536年总计31394161461524851.4848.52广东工业大学广东工业大学设有随机试验，若当试验的次数充分大时，

24、事件设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事件A发生发生的频率稳定在某数的频率稳定在某数p附近摆动，则称数附近摆动，则称数p为事件为事件A发生的概率发生的概率(Probability) (Probability) ，记为：，记为：pAP)(1) (1) 频率的稳定性是概率的经验基础，但并不是说概率决频率的稳定性是概率的经验基础，但并不是说概率决定于经验定于经验. . 一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结构构, , 指试验条件指试验条件, , 是先于试验而客观存在的是先于试验而客观存在的. .(2) (2) 概率的统计定义只是描述性的。概率的统计定义只

25、是描述性的。二、二、 概率的统计定义概率的统计定义 、定义、定义、几点说明、几点说明(3) 通常只能在充分大时，事件出现的频率才作为事件概率通常只能在充分大时，事件出现的频率才作为事件概率的近似值。的近似值。广东工业大学广东工业大学3、概率的性质、概率的性质(概率统计定义的性质概率统计定义的性质)性质性质1 1 非负性非负性：对任一事件：对任一事件A , ,有有性质性质2 2 规范性规范性：对必然事件：对必然事件 , ,有有0)( AP1)( P性质性质3 有限可加性有限可加性: 若事件若事件A和和B互不相容，则有互不相容，则有)()()(BPAPBAP 则有则有两两不相容两两不相容若若,21

26、nAAA)()()()(2121nnAPAPAPAAAP 特别地，若特别地，若则有则有两两不相容两两不相容,21kAAA )()()()(2121kkAPAPAPAAAP即即 11)()(kkkkAPAP和的概率等和的概率等于概率的和于概率的和完全可加性完全可加性 广东工业大学广东工业大学4、概率性质的一些推论、概率性质的一些推论 （1） 0)( P（2） )()()(,APBPABPBA 则则有有若若)()(APBP 且且有有（3）对任意事件）对任意事件A，有，有1)(0 AP（4）对任意事件）对任意事件A和和B，有，有 )(ABP)()()(BAPBPBABP 广东工业大学广东工业大学 注

27、意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义概率的公理化定义: :设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为 ,若对每一事件若对每一事件 ,有且只有有且只有 A一个实数一个实数 写之对应写之对应,满足如下公理满足如下公理:)(AP公理公理1(非负性非负性)公理公理2(规范性规范性)公理公理3(完全可加性完全可加性)1)(0 AP1)( P对任意一列两两互斥事件对任意

28、一列两两互斥事件 ,有有,21AA 11)()(nnnnAPAP则称则称 为事件为事件 的概率的概率.)(APA5、概率的公理化定义、概率的公理化定义:广东工业大学广东工业大学基本计数原理基本计数原理 这里我们先简要复习计算古典概率所用到的这里我们先简要复习计算古典概率所用到的1. 1. 加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m m种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n n1 1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n n2 2种方法种方法, ,； 第第m m 种方式有种方式有n nm m种方法种方法, ,无论通过哪种方法都可以完成这件事，无论通过哪种方法都可以完成这件事，n n1

29、 1 n n2 2 n nm m:则完成这件事总共有则完成这件事总共有n n1 1+ +n n2 2+ + +n nm m 种方法种方法 . .例如，某人要从甲地到乙地去例如，某人要从甲地到乙地去, ,甲地甲地乙地乙地可以乘火车可以乘火车, ,也可以乘轮船也可以乘轮船. .火车有两班火车有两班轮船有三班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法? ?3 3 + 2+ 2 种方法种方法广东工业大学广东工业大学基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法 . .mnnn212. 2. 乘法原理乘法原理设完成一件事有设完

30、成一件事有m m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n n1 1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n n2 2种方法种方法, ,； 第第m m个步骤有个步骤有n nm m种方法种方法, ,必须通过每一步骤必须通过每一步骤, ,才算完成这件事，才算完成这件事，12mnnn种 种种例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有多少种打扮？可以有可以有3 32 2 种打扮种打扮广东工业大学广东工业大学三、排列、组合的几个简单公式三、排列、组合的几个简单公式排列和组合的区别：排列和组合的区别：顺序不同是顺序不同是不同的排列不同的排

31、列3 3把不同的钥匙的排列把不同的钥匙的排列6 6种种而组合不管顺序而组合不管顺序,只要包含的元素一样就是同一种组合只要包含的元素一样就是同一种组合从从3 3个元素取出个元素取出2 2个个的排列总数有的排列总数有6 6种种从从3 3个元素取出个元素取出2 2个个组合总数有组合总数有3 3种种236A 323C广东工业大学广东工业大学1 1、排列、排列: : 从从n个不同元素取个不同元素取 k个的不同排列总数为：个的不同排列总数为：(1)knk = n时称全排列时称全排列122 1()()!nnnpAn nnn 121!()()()()!knnAn nnnknk123k.n(n-1) (n-2)

32、 (n-k+1)广东工业大学广东工业大学2.重复排列：重复排列：从从n个不同元素有放回地取个不同元素有放回地取 k个个（允许重复）（允许重复）的不同排列总数为：的不同排列总数为：kn nnn（种种）例如：从装有例如：从装有4 4张卡片的盒中有放回地摸取张卡片的盒中有放回地摸取3 3张张3241n=4,k =3123第第1 1张张4123第第2 2张张4123第第3 3张张4共有共有4 4. .4 4. .4=44=43 3种可能取法种可能取法123k.n n nn广东工业大学广东工业大学!()! !kknnAnCknkk3 3、组合、组合: : 从从n个不同元素取个不同元素取 k个（个（1 k

33、 n) )的不同组合的不同组合总数为：总数为：knC常记作常记作kn，称为组合系数。，称为组合系数。!kknnACk又常称为二项式系数，因为它是二项式展开公式中的系数：又常称为二项式系数，因为它是二项式展开公式中的系数：knknknbaknba0)(组合和排列的关系组合和排列的关系广东工业大学广东工业大学令令 x=-1得得01210nnnnnn)(nnnnnn2210可得到许多有用的组合公式：可得到许多有用的组合公式：以以 x=1代入代入01 ()nnn rknxxr 2.由展开式由展开式二项式系数的有关性质（见课本二项式系数的有关性质（见课本16页）页）1. 由公式直接得到由公式直接得到nn

34、rnr 广东工业大学广东工业大学111()() ()a babxxx3.由由000ababnijnijababxxxnij有有比较两边比较两边 xn 次幂的系数，可得次幂的系数，可得 0110.a babababnnnn 运用二项式展开运用二项式展开特别地，有特别地，有20110.nnnnnnnnnnn 广东工业大学广东工业大学 在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的，并在此基础上事件的概率可以直基本事件是等可能的，并在此基础上事件的概率可以直接算出接算出. .古典概型古典概型(Classical Probability)1.

35、3.2 1.3.2 概率的直接计算概率的直接计算如果一个随机试验如果一个随机试验E E具有以下特征具有以下特征 1 1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点，、试验的样本空间中仅含有有限个样本点，2 2、每个样本点出现的可能性相同、每个样本点出现的可能性相同则称则称具有上述特性的概型为具有上述特性的概型为古典概型古典概型。讨论相应的概率问题称为古典概型问题讨论相应的概率问题称为古典概型问题 )()()(21nPPP ,21n 广东工业大学广东工业大学古典概型中事件概率的计算：古典概型中事件概率的计算：,21n 设设)()()(21nPPP 于是于是 )()(121nPP )()()(21nPPP

36、 )(inP 从而对于每一个基本事件，有从而对于每一个基本事件，有 nPi1)( 设事件设事件A包含有包含有k个基本事件：个基本事件：,21kiiiA 有有 )()(21kiiiPAP )()()(21kiiiPPP nk 中中的的样样本本点点数数中中所所含含的的样样本本点点数数 A广东工业大学广东工业大学古典概型中事件概率的计算：古典概型中事件概率的计算：中中的的样样本本点点数数中中所所含含的的样样本本点点数数 AnkAP)(1、在应用古典概型时必须注意、在应用古典概型时必须注意“等可能性等可能性”的条件的条件. 2、“等可能性等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们是一种假设，在实际应用中

37、，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的样本点是等可能的.广东工业大学广东工业大学 例例 将一枚硬币上抛三次，设事件将一枚硬币上抛三次，设事件A =“恰有一次出现正面恰有一次出现正面”，B=“至少有一次出现正面至少有一次出现正面”， 求求A，B的概率。的概率。(HHH),(HHT),(HTH),(THH),(HTT),(THT),(TTH),(TTT)(HHH),(HHT),(HTH),(THH),(HTT),(THT),(TTH),(TTT)解：解： 样本空间为样本空间为 38( )P A于是于是78( )P B注：上

38、例中，将一枚硬币上抛三次，观察正面向上的次数，注：上例中，将一枚硬币上抛三次，观察正面向上的次数， 3 0, 1, 2 , 3 , 记记Ai“正面出现正面出现 i 次次”则则P(A0)1/8 ，P(A1)3/8 ，P(A2)3/8， P(A3)1/8所以以所以以Ai作为基本事件，则非等可能概型。作为基本事件，则非等可能概型。广东工业大学广东工业大学例例1(9)1(9)一部四卷文集，按任意次序排列在一级书架上，问一部四卷文集，按任意次序排列在一级书架上，问各册自右至左或自左至右恰成各册自右至左或自左至右恰成1,21,2，3,43,4顺序的概率是多少？顺序的概率是多少？解：解：样本点为四卷书书号的

39、任一可能的排列，样本点为四卷书书号的任一可能的排列，总数总数n=4321A的有利场合数（的有利场合数（A包含的样本点数）为包含的样本点数）为2 21234，4321121! 42)( AP广东工业大学广东工业大学n1010= =3 3 4 4有有种种取取法法; ;1 1例例2(10)2(10)有有1010个外观相同的电阻，其电阻分别是个外观相同的电阻，其电阻分别是1 1欧、欧、2 2欧、欧、1010欧欧. .现从中任意取出现从中任意取出3 3个，希望一个电阻值小于个，希望一个电阻值小于5 5欧，一个等于欧，一个等于5 5欧欧, ,一个大于一个大于5 5欧，问一次抽取就能达到要求的概率欧，问一次

40、抽取就能达到要求的概率. .解：样本点为从解：样本点为从1010个不同电阻中任取三个的组合个不同电阻中任取三个的组合样本空间总数为样本空间总数为计算有利场合数：计算有利场合数：有利场合数为有利场合数为构成一个有利场合可分三个步骤：构成一个有利场合可分三个步骤：第一步，从小于第一步，从小于5欧的电阻值中任取出一个，欧的电阻值中任取出一个， 5 5有有种种取取法法; ;1 1有有1 1种种取取法法; ; 4154151111111( )6P A 41541511111110103 3第二步，从等于第二步，从等于5 5欧的电阻值中任取出一个欧的电阻值中任取出一个; ;第三步，从大于第三步，从大于5

41、5欧的电阻值中任取出一个欧的电阻值中任取出一个; ;广东工业大学广东工业大学 11().()rn nnrn( )!()()!rrrnnP Ann nr16r2345123n-1n例例3(11)3(11)将将r r个球置于个球置于n n个箱中（每个球以个箱中（每个球以1/n1/n的概率被置入某的概率被置入某一特定箱中）一特定箱中）, ,若若n nr,r,试求任一箱内的球数均不超过试求任一箱内的球数均不超过1 1的概率。的概率。解：先计算样本空间总数解：先计算样本空间总数第一个球置于一箱中，第一个球置于一箱中，共有共有n n种放法种放法; ;相继将每一个球置于一箱中都有相继将每一个球置于一箱中都有

42、n n种放法；种放法；11111111nnn n=这样放完这样放完r r个球构成一个可能的结果（样本点），个球构成一个可能的结果（样本点），nr再计算有利场合数：再计算有利场合数：第一个球置于一箱中，共有第一个球置于一箱中，共有n n种放法种放法; ;第二个球由于不能放到第一个球所在箱，所以只有第二个球由于不能放到第一个球所在箱，所以只有n-1n-1种放法种放法第第r r个球不能放到前个球不能放到前r-1r-1个球所在箱，所以只有个球所在箱，所以只有n-r+1n-r+1种放法种放法有利场合数有利场合数!()!nnr由乘法原理，由乘法原理，r r个球的不同的放法有个球的不同的放法有广东工业大学广

43、东工业大学 许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型： 有有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365. 1/365. 求这求这n ( (n 365) 365)个人没有两个人的生日相同（个人没有两个人的生日相同（n n人生日互人生日互不相同）的概率不相同）的概率. .人人任一天任一天365365365365 365()!()!nnnPn根据上公式得可计算当可计算当n=40=40时，时，P0.1090.109( )!( )()!rrrnnP Ann nr我敢打睹，我我敢打睹，我们班至少有两们班至少有两人生日在

44、同一人生日在同一天！天！广东工业大学广东工业大学许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型： 有有n个旅客，乘火车途经个旅客，乘火车途经N N个车个车站，设每个人在每站下车站，设每个人在每站下车的概率为的概率为1/ N(N n) ，求指定的，求指定的n个站各有一人下车的概率个站各有一人下车的概率. .旅客旅客车站车站()!( )()!nnnNNP ANNNn 某城市每周发生某城市每周发生7 7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同次车祸，假设每天发生车祸的概率相同. . 求每天恰好发生一次车祸的概率求每天恰好发生一次车祸的概率. .车祸车祸天天77777

45、77( )!( )P A 广东工业大学广东工业大学123k.a+b 例例4 4 袋中有大小相同的袋中有大小相同的 a 个黄球，个黄球，b 个白球现将球从袋中个白球现将球从袋中一一随机摸出来，试求第一一随机摸出来，试求第 k 次摸出的球是黄球的概率次摸出的球是黄球的概率113a234b2解法一解法一: : 认为球是不相同的（可辩的），认为球是不相同的（可辩的），黄球编号为黄球编号为1 1 a, ,白球编号为白球编号为1 1 b设样本点为：依次取出的设样本点为：依次取出的a+b个球的排列个球的排列样本空间总数为样本空间总数为 (a+b)!事件事件A构成构成A A的有利场合分两步：的有利场合分两步：

46、从从a a个黄球中任取出一个放到第个黄球中任取出一个放到第k k个位置，个位置， 有有a种方式种方式113a234b2第第k个位置个位置其余其余a ab-1b-1个位置是个位置是( (a+b-1)-1)个球的任意排列，个球的任意排列，有有( (a+b-1)!)!种方式种方式13a234b2有利场合数为有利场合数为 a( (a+b-1)!)!1()!()!a abaPabab广东工业大学广东工业大学 例例4 4 袋中有大小相同的袋中有大小相同的 a 个黄球，个黄球，b 个白球现将球从袋中个白球现将球从袋中一一随机摸出来，试求第一一随机摸出来，试求第 k 次摸出的球是黄球的概率次摸出的球是黄球的概

47、率事件事件A123k.a+ba ba113a234b2解法二：解法二：认为黄球及白球分别是没有区别的（不可辩的）认为黄球及白球分别是没有区别的（不可辩的）总数：总数：构成构成A的有利场合分两步：的有利场合分两步：从从a个黄球中任取出一个放到第个黄球中任取出一个放到第k个位置，个位置，有有1种方式种方式113a234b2第第k个位置个位置其余其余ab-1个位置是（个位置是（a-1）个黄球和）个黄球和b个白球的两类排列，个白球的两类排列，把依次取出的把依次取出的a+b个球成一列个球成一列样本点为：两类元素样本点为：两类元素( (a 个黄球和个黄球和b 个白球个白球) ) 的排列的排列11abaaP

48、ababa有有 种方式种方式11aba广东工业大学广东工业大学例例5 5 设设100100件产品中有件产品中有5 5件次品件次品, ,现从中任意抽出现从中任意抽出3 3件，求件，求恰有恰有2 2件是次品被抽出的概率件是次品被抽出的概率. .解法一：设样本点为从解法一：设样本点为从100件产品抽出件产品抽出3件的组合件的组合( )MNMknkP ANn正品正品 95100100件产品件产品A1003总数：总数：构成构成A的有利场合分两步：的有利场合分两步：从从5件次品中抽出件次品中抽出2件，件，从从95件正品中抽出件正品中抽出3件件25 种种方方式式95 1种种方方式式59521()1003P

49、A N N件产品件产品次品次品 5件件次品次品 M件件正品正品 N-M广东工业大学广东工业大学 把把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，求排一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，求排列结果恰好拼成一个英文单词的概率：列结果恰好拼成一个英文单词的概率：拼成英文单词拼成英文单词SCIENCESCIENCE 的情况数的情况数( (有利场合数）为有利场合数）为故该结果出现的概率为：故该结果出现的概率为： 这个概率

50、很小，这里算出的概率有如下的实际意义：这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在12601260次试验中大约出现次试验中大约出现1 1次次 . .224解：七个字母的排列总数为解：七个字母的排列总数为7 7！更多的例子更多的例子41=0 0007971260.!p 广东工业大学广东工业大学 这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术有比较大的把握怀疑这是魔术. . 具体地说，可以具体地说，可以99.921%99.921%

51、的把握怀疑这是魔术的把握怀疑这是魔术. .（错误（错误的概率是的概率是0.000790.00079） 小概率事件通常可以构成一个假设检验的依据，通小概率事件通常可以构成一个假设检验的依据，通常假定某常假定某“假设假设H H”为真，在该前提下建立一小概率事为真，在该前提下建立一小概率事件，如果在一次试验中该小概率事件发生，则判断该件，如果在一次试验中该小概率事件发生，则判断该“假设假设H H”不真。这是概率统计中假设检验的基本原理。不真。这是概率统计中假设检验的基本原理。实际推断原理：小概率事件在一实际推断原理：小概率事件在一次试验不会出现，从而可将次试验不会出现，从而可将A A看成看成一（实际上）不可能