质点的角动量课件——大连理工大学

1、2.6 质点的角动量质点的角动量一.力矩力矩力矩：矢量力矩：矢量方向用右手矢量法规定方向用右手矢量法规定frmsinrflfm 二.角动量角动量用叉积定义用叉积定义角动量角动量prl 矢量矢量sinmvrl 角动量大小角动量大小m0lrp角动量方向角动量方向右手螺旋法则确定右手螺旋法则确定mrfa aolp三三 . 质点的角动量定理质点的角动量定理bdtaddtbdabadtd )(* 微分公式微分公式prlpdtrddtpdrprdtddtld)(vmpvdtrd ,0pdtrdmfrdtpdrdtld)(prdtddtldfrm四四 . 质点系的角动量定理质点系的角动量定理 ijjiiii

2、ffrm)(内力矩内力矩ijiijifr00)(0)(jijijijiijjjiifrfrrfrfr iiiiildtdfrm)(i jfipi fi j fj iorjri四四.角动量守恒定律角动量守恒定律cldtldm, 0, 0jir例题：例题： 体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮绳子两端。忽略滑轮和绳子的质量。当他们由同一高度向上爬绳子两端。忽略滑轮和绳子的质量。当他们由同一高度向上爬时，相对绳子，甲的速率是乙的两倍，则到达顶点的情况是：时，相对绳子，甲的速率是乙的两倍，则到达顶点的情况是： a.甲先到达甲先到达 b. 乙先

3、到达乙先到达 c. 无法确定无法确定 d. 同时到达同时到达解：选甲乙两人，绳子和滑轮为系统解：选甲乙两人，绳子和滑轮为系统甲甲乙乙rvv0系统受到的外力：系统受到的外力：gmn因为外力对中心因为外力对中心0点的力矩为零，所以系统的点的力矩为零，所以系统的动量矩守恒动量矩守恒0乙乙甲甲rvmrvm乙甲乙甲，vvmm甲乙两人相对地面的速度任何时刻都相等，甲乙两人相对地面的速度任何时刻都相等，不论两人相对绳的速率如何，从地面上看，不论两人相对绳的速率如何，从地面上看，两人总是同时到达顶端。两人总是同时到达顶端。gm2.7 功功 和和 能能一一. 功功功的定义：沿位移方向作用在物体上的力与物体位移大

4、小功的定义：沿位移方向作用在物体上的力与物体位移大小 之乘积。之乘积。1. 恒力的功恒力的功rfrfrfrfatcos功是标量功是标量,200a,20a,20a2.变力的功变力的功（1）轨道为直线）轨道为直线力与位移同方向，但力与位移同方向，但)(xff 0 x1x2xixixf元功元功iiixxfa)(,21xx 总功总功iiiiinxxfaa)(若若,n即即,0ixiiixxxfai)(lim0这个极限值等于函数这个极限值等于函数 在区间在区间 上对自变量上对自变量 的线积分。的线积分。)(xf21,xxx21)(xxdxxfa(2) 轨道为曲线轨道为曲线力的大小和方向都变化，物体作曲线运

5、动。力的大小和方向都变化，物体作曲线运动。0ab1iririfiir在第在第 小段中，元功为小段中，元功为iiiiiiirfrfacos总功总功iiiiiinrfaacosiiiirrfaicoslim0数学上，这个极限值等于函数数学上，这个极限值等于函数 f 在区间在区间 上对自变量的线积分。上对自变量的线积分。ba,iiiriiiirrfrrfaiilimlim010)(rdfba例例 1 重力作的功重力作的功iiiirwrwarcosiiirh)180cos(0iiirhcosiiihmghwa“-” 物体升高，重力作负功。即物体升高，重力作负功。即0,0iiah物体下落时，物体下落时，

6、0,0iiah)()(12iiiihhmghmgaa12hhhii（末位置（末位置-初位置）初位置）iihirxy0abdiriihw1h2h如果质点由如果质点由a运动沿运动沿adb路线路线)(cos121hhmgadwadwa02cos2dbwdbwa)(1221hhmgaaa重力作功的特点：重力作功的特点： 只与质点的始末只与质点的始末位置有关，与质点经过的路径无关。位置有关，与质点经过的路径无关。 积分法：积分法：coswdrrdwdadrwdhdadrdhi)180cos(0)(212112hhhhhhmgmgdhdaa可见，物体上升时，重力作负功，可见，物体上升时，重力作负功，a0。

7、y0abdiriihw1h2h重力作功特点的另一种表述：重力作功特点的另一种表述：质点沿任一闭合路径质点沿任一闭合路径acbda运动一周，把路径分为运动一周，把路径分为acb和和bda 两段考虑：两段考虑：acbd0yxacb重力作负功重力作负功bda重力作正功重力作正功0bdaacbaaa或写成闭合曲线积分或写成闭合曲线积分0lrdwa保守力与非保守力保守力与非保守力保守力保守力0lrdf非保守力非保守力0rdfl例例 2 万有引力作的功万有引力作的功0mm1b2brr mrdmrdrmrmr1a2ardrmfmfrrmmgfrrmmgfmm33,mmrrrmmmmrdfrdfdardfrr

8、dfrdrdfmmmmmmm)()(从位形从位形1到位形到位形2，万有引力总功，万有引力总功rdrrmmgrdfam21321rrr2微分得微分得rdrrdr)11()1(21rrgmmrdgmmrdrgmmarr 例例 3 弹性力的功弹性力的功0 xxbxaxcxxdf弹簧带动物体从弹簧带动物体从 回到回到 位置位置axbxxkfkxdxxdfdaxdbaxx 222121baxxkxkxkxdxaba; 0, axxab0, axxab如果使物体由如果使物体由,caxx 再由再由acxx 则则; 0, 0caacaa总功总功0 a弹性力作功的特点：只与弹簧的始末伸长量有关，与中间伸长过弹性

9、力作功的特点：只与弹簧的始末伸长量有关，与中间伸长过程无关。程无关。前面得到前面得到重力的功重力的功 21mghmgha万有引力的功万有引力的功)11(rrgmma 弹性力的功弹性力的功222121bakxkxa3 . 功率功率（1）平均功率）平均功率tap（2） 瞬时功率瞬时功率dtdataptlim0vfvfvftrfttcoslim0功率单位：瓦特（功率单位：瓦特（w）功单位：焦耳（功单位：焦耳（j）sjw112.8 动能定理动能定理1.质点的动能定理质点的动能定理vdtvdmvf又又vdtvdvdtvddtvdvvvdtd2)()(21)21(2vdtdvvdtdvdtvd)21(2m

10、vdtdvf动能定理的微分形式动能定理的微分形式由上式由上式)21(2mvddtvf2121)21(2vvttmvddtvf212221212121mvmvrdfdtvfapptt积分形式积分形式2 . 质点系的动能定理质点系的动能定理n个质点受外力和内力个质点受外力和内力ijiff ,)(1212221112rdrdfrdfrdf12f21f1m2m2rd1rdkeaa内外习题习题 一个半径为一个半径为r的水平圆盘以恒定角速度的水平圆盘以恒定角速度w作匀速转动，一质量作匀速转动，一质量为为m的人要从圆盘边缘走到圆盘中心处，圆盘对他做的功为的人要从圆盘边缘走到圆盘中心处，圆盘对他做的功为。解：

11、选地面参考系解：选地面参考系人在圆盘上行走，所谓圆盘对人在圆盘上行走，所谓圆盘对人作的功，即摩擦力对人作功。人作的功，即摩擦力对人作功。运用动能定理运用动能定理21222121mvmva圆盘起点处，人相对圆盘的速度起点处，人相对圆盘的速度0 v起点处的牵连速度起点处的牵连速度rv 0rvv01终点的速度终点的速度02v222121210mrmva圆盘习题习题 一链条总长为一链条总长为l,质量为质量为m,放在桌面上靠边处，并使其一端下垂放在桌面上靠边处，并使其一端下垂的长度的长度 为为a，设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为，设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为 ，链条，链条由静止开始运动。求：（由静止

12、开始运动。求：（1）到链条离开桌边的过程中，摩擦力）到链条离开桌边的过程中，摩擦力对链条作了多少功？（对链条作了多少功？（2）链条离开桌边的速率是多少？）链条离开桌边的速率是多少？x0aal解：解：下落距离下落距离la 设在某一时刻，链条下垂的长度为设在某一时刻，链条下垂的长度为x,桌面上链条长为桌面上链条长为 l-x ,线密度线密度lm桌面上链条的重量桌面上链条的重量gxl)( 链条受到桌面的摩擦力链条受到桌面的摩擦力lxlmggxlf/ )()(2)(2allmgfdxalaf对链条应用动能定理对链条应用动能定理2022121mvmvaapflapxgdxa222)()(alallgv例：

13、有一面为例：有一面为1/4凹圆柱面（半径凹圆柱面（半径r）的物体（质量）的物体（质量m）放置在）放置在 光滑水平面，一小球（质量光滑水平面，一小球（质量m），从静止开始沿圆面从），从静止开始沿圆面从 顶端无摩擦下落（如图），小球从水平方向飞离大物体顶端无摩擦下落（如图），小球从水平方向飞离大物体 时速度时速度 v ，求：，求：1）重力所做的功；）重力所做的功；2）内力所做的功。）内力所做的功。rmm解：重力只对小球做功解：重力只对小球做功0 mvmv水平方向无外力，系统保持水平方向无外力，系统保持水平方向动量守恒。水平方向动量守恒。hmgsmgw cos重力mgrw 重力 smg h对对m，内

14、力所做的功，内力所做的功222121mvmvww 内力重力mgrmv 221对对m，内力所做的功，内力所做的功222221mvmmv 2 .9 势能势能势能定义势能定义: 由物体之间相互作用的保守力和相对位置由物体之间相互作用的保守力和相对位置 (位形位形) 决定的能量称为势能。决定的能量称为势能。两质点的两质点的“始末位形始末位形”指两质点的始末相对位置。指两质点的始末相对位置。设位形设位形i时两质点系统的势能为时两质点系统的势能为)(iep设位形设位形ii时两质点系统的势能为时两质点系统的势能为)(iiep定义保守内力的功定义保守内力的功pppiiieiieiea)()()(内选定某一参考

15、位形选定某一参考位形标准位形标准位形 （势能零点）（势能零点）0i质点系在任意一给定位形时的势能值：质点系在任意一给定位形时的势能值：)()()(0)0ieieieapppii内（由两位形势能函数增量可计算保守内力的功由两位形势能函数增量可计算保守内力的功：)000iiiiiiiiiiiiaaaa内（内（内（内（pppiiiiieiieieaa)()()00内（内（0iiii系统有位形系统有位形 改变到位形改变到位形 的过程中，保守内力的功的过程中，保守内力的功等于系统势能的减少。等于系统势能的减少。例例 1 重力势能重力势能)(iep位形位形i位形位形ii)(iiepab0000iiiiii

16、iiiiabaaaaa21ppee21mghmgh 定义重力势能：定义重力势能：mgheppppppeeeeea)(12212121, 0;, 0ppppeeaeea势能减少势能减少势能增加势能增加例例 2 万有引力势能万有引力势能万有引力的功万有引力的功rgmmrgmma 根据势能定义式，则有根据势能定义式，则有rgmmrgmmiieieappiii )()()(内选取选取0)(, iierp得两质点相距为得两质点相距为 时，万有引力势能时，万有引力势能rrgmmep例例 3 弹簧的弹性势能弹簧的弹性势能定义弹性势能定义弹性势能221kxeppppppbaeeeeekxkxa)(212112

17、21222.10 机械能转换与守恒定律机械能转换与守恒定律 功能原理功能原理1 . 机械能转换与守恒定律机械能转换与守恒定律abm1h2h1v2v21222121mvmva21mghmgha2122212121mvmvmghmgh2211kpkpeeee例如例如2 . 功能原理功能原理研究对象：物体（雪橇）研究对象：物体（雪橇）kfnfpaa1v2v1h2hs分析受力：四个力分析受力：四个力由动能定理：由动能定理：21222121mvmva合外力之功：合外力之功：拉力拉力fasf支持力支持力02cosnsasnn摩擦力摩擦力smgasfkkacos重力重力)(sin21hhmgsmgasppa21222121mvmvaaaapknf研究对象：物体系：物体与地球研究对象：物体系：物体与地球)21()21(121