直线的参数方程的几何意义

1、乐恩特教育个性化教学辅导教案课题直线的参数方程的儿何意义教学目标 要求与直线的参数方程有关的典型例题教学重难点 分析与直线的参数方程有关的典型例题教学过程知识要点概述过定点Mo（x（pyo）、倾斜角为a的直线/的参数方程为 一 “（为参y = y0+t sin a数），其中t表示直线/上以泄点M（为起点，任意一点M（X, y）为终点的有向线段 的数量，初的几何意义是直线上点到M的距离.此时，若A0.则颯汕的方向向上;若（0则 的方向向下;若A0,则点城与点M重合.由此，易得参数t具有如下的性质：若直线/上两点A、B所对应的参数分别为%则性质一：A、B两点之间的距离为AB 1=1特别地，A、B两

2、点到的距离分别为tA l,lrj.性质二：A、B两点的中点所对应的参数为斗如，若M。是线段AB的中点，则2/.4+心=0,反之亦然。精编例题讲练一、求直线上点的坐标例1一个小虫从P（l, 2）出发，已知它在x轴方向的分速度是-3,在y轴方向的分 速度是4,问小虫3s后的位分析：考虑/的实际意义，可用直线的参数方程：=常带a是参数）。解：由题意知则直线P0的方程是，其中时间/是参数，将匸3S代入得Q解：由条件，设直线/VV的参数方程为x, y（一8, 12）.例2.求点A （-1, -2）关于直线人2x-3v+l=0的对称点/V的坐标。X = -lF=t, 7（是参数）,）2+霑VA 到直线/的

3、距离 d = =,/. / = A4* = 4=-.屮3屮3334代入直线的参数方程得/V （-订，舌）。点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此 处则是充分利用了参数/的几何意义。二求定点到过定点的宜线与其它曲线的交点的距离例1.设直线2经过点视（1, 5）,倾斜角为2,1）求直线2和直线兀一尸2羽二0的交点到点叫的距离；2）求直线 和圆*+卩2二“的两个交点到点的距离的和与积.兀=1+f纭y=5十卫一f解:直线/的参数方程为2 （t为参数）1）将直线 的参数方程中的x, y代入兀-丿一 2靠=0,得t=-（10 + 6）.所以，直线2 和直线“尸一 2羽

4、=0的交点到点的距离为（1+）2）将直线？的方程中的x, y代入/ 2 = 16,得八+ + M +10 = 0设此方程的两 根为，】丿2 ,则Zi+Z2二-（1+5#）, %二I。.可知（丿2均为负值，所以 |勺|+ 1二-（彳+勺）=1+5击点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的 异同。三求直线与曲线相交的弦长2=4例1过抛物线一的焦点作斜角为4 的直线与抛物线交于A、B两点，求AB解 程为3H因直线的倾角为已，则斜率为一 1，又抛物线的焦点为F（l 0）,则可设AB的方代入V =4X整理得2+4 屈-16 = 0由韦达左理得+亡二一4忑，t：t：=-

5、16o也创=二於二7血例2已知直线L:x+y-l=O与抛物线存交于A.B两点,求线段AB的长和点M（-1.2）到 A.B两点的距离之积.3TT解：因为直线L过泄点M且L的倾斜角为4，所以它的参数方程是1 3TT cos4.3洱y=2tsxi 4（t为参数） i退52 y=2+爭I2（t为参数）把它代入抛物线的方程，得八十血一 2二 -忑+丽-忑_伍解得22由参数t的几何意义得 屈=4胡二血点评:本题的解答中，为了将普通方程化为参数方程，先判定点M（丄2）在直线上，并求岀直线的 倾斜角，这样才能用参数I的几何意义求相应的距离这样的求法比用普通方程求出交点坐标, 再用距离公式求交点距离简便一些.2

6、A =所以，直线的参数方程为 1 72x02-xO 二莎四.求解中点问题4例1.已知经过点P(2.0),斜率为空的直线和抛物线歹=力相交于A.B两点,设线段AB 的中点为M求点M的坐标.解:设过点P(20)的直线AB的倾斜角为色由已知可得:3 .4a = - sina = cos 于，5c 3 x= 2t54y=-t5（t为参数）代入尹=2z,整理得&2_1盘_于0 = 0抵 15 中点21的相应的参数是2 =16(巴2)所以点M的坐标为16 4点评:在直线的参数方程中，当10,则画 的方向向上;当则遊 的方向向下，所以A.B 中点的M所对应的t的值等于2 ，这与二点之点的中点坐标有点相同.例

7、2.已知双曲线x2-晋=1,过点P (2, 1)的直线交双曲线于戸，Pi,求线段 时2 的中点M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有+“=0。解：设M(M, M)为轨迹上任一点，贝ij直线PH的方程是F 驾c普a是参数)， ly = yu 十【sin v 代入双曲线方程得:(2cos2 sin，。) t2 +2(2x(cos& -yosii/ + (2xo2 yo2 -2) = 0,2x0由题意 t +/2=0 即 2x)cos0 一y()sin&=0,得tanG = *5。又直线PQ的斜率k = tanO = g,点P (2, 1)在直线PP上，即Zr2 -y

8、2 -4x +y = 0为所求的轨迹的方程。启:(/是参数)，直线/与直线2r +y -2解：将直线/的方程化为标准形式,代入 2x +y -2 =0 得 f =解：直线/的方程可写成五，求点的轨迹问题例1.已知双曲线，过点P (2, 1)的直线交双曲线于P, P2,求线段戸卩2的中点M 的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有“+/2=0。解：设M(M，为)为轨迹上任一点，则直线PiB的方程是(，是参数)，代入双曲线方程 得：(2cos2 一sin t2 +2(2xucos& yusinG + (2r()2 vo2 一2) = 0由题意 t +/2=0 即 2xi

9、)cos0 yosin&=O,得a又直线的斜率，点P(2, 1)在直线P屮2上，即2Y -/ -4-2 + 2 1A, B对应的参数分别是/2则ti +t2 = y2, ti -t2 = -4,由/i与门的符号相反知刊+PB =ti+t2 = I h -ti = y(ti +t2)2-4 tl t2 = 32 刊 PB =1 h- /2l = 4c点评：解决本题的关键一是正确写岀直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的 异同。七、求直线与曲线相交弦的长例1.已知抛物线y2 = 2px,过焦点F作倾斜角为&的直线交抛物线于A, B两点，求 证:AB=26U分析：弦长AB = t -No1求弦

10、长AB.，代入椭圆整理可得：（b2+l（t2）t2-b2ct-b4=O,由于心-2/2，则厂，c b2c厂、tl +t2 = -J -y = f ，$_b4，2x2+得：2c2/i/2 = _= -2 tr l尹V2C2 428 c2 = 3 t/2 + a2 c2,得 e2 = -y =n 故 c =十1 1 -4-4/?/?+ +4 4解：由条件可设AB的方程为r= 2+zcos （r是参数），代入抛物线方程, j = / sin &得t2 1 3 sin2 0 一2卄cos 0 一* = 0,由韦达定理:.AB = I Pl =如-2-4tl t2 =寸瓷 + 黑=盖例2.已知椭圆的中心

11、在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60。的直线 交椭圆于A, B两点,若FA=2FB,求则椭圆的离心率。分析：FA =2FB转化成直线参数方程中的2-2门或I川=21乩解：设椭圆方程为寻+普=1，左焦点Fi （c, 0）,直线AB的方程为在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用 /的几何意义，结合一些泄理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途：通过直线参数 方程将直线上动点坐标用同一参变量/来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，体 现了等价转化和数形结合的数学思想。知识巩固训练应用一：求距离例1、直线/过点（-4,0）,倾斜角为仝，且与圆

12、x2 + y2 = 7相交于A、B两点。63求仇4和仇B的长。,_ 2pcos 0tl+l2 = m26-p2 Z|，Z2 = sin2 0(t为参数)，代入圆方程，得应用二：求点的坐标例2、直线/过点(2,4),倾斜角为兰，求岀直线/上与点4(2,4)相距为4的点的坐6 标。应用三：解决有关弦的中点问题例3.过点化(1Q),倾斜角为巴的直线/和抛物线y2 = 2x相交于A. B两点，求线段4AB的中点M点的坐标。教师课 后小结签字教学主任：教学组长：学生/家长：解：因为直线/过点代(-4,0),倾斜角为冬，所以直线/的参数方程为64兀X = -4 + rcos 6y = 0 + Zsin 6

13、H1(-4 + )2+(_f)2=7,整理得4応+ 9 = 0 2 2(1)设A、B所对应的参数分别为所以側2=40 tt2 = 9,C龙x = 2 + /cos 6,即y = 4 + rsin 所以I AB 1=1人一。I =、/(人+心尸一4/心=2羽. 解方程4府+ 9 = 0得，八=3局2=屈所以PA =t 1= 3y/3 9 PQB=lt2 1= V3.解：因为直线/过点仇(2,4),倾斜角为冬，所以直线/的参数方程为 6 V3x = 2 + t2, (t为参数),(1)片1y = 4 + r2设直线/上与已知点仇(2,4)相距为4的点为M点，且M点对应的参数为t,则|/MI=I/I=4,所以f=4,将t的值代入(1)式，当t=4时，M点的坐标为(2 + 273,6)：当t=4时，M点的坐标为(2-2/3,2),综上，所求M点的坐标为(2 + 23,6)或(2-273,2).点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，