数学分析第三章函数极限ppt课件

1、 1 函数极限概念函数极限概念第第 三章三章 函数极限函数极限;.xxxsin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限 的极限时)(,1xfx0sin,xxx;.1时的变化趋势当观察函数xx01,xx;.arctan时的变化趋势当观察函数xx2arctan,xx;问题问题: :函数函数)(xfy 在在 x的的过程中过程中, 对对应函数值应函数值)(xf无限无限趋近于趋近于确定值确定值 A. ;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的过程表示xMx.2arctan)(, 01)(,sin)(,无限接近于接近于无限无限增大时

2、当xxfxxfxxxfx经过上面的察看经过上面的察看:问题问题:如何用数学言语刻划函数如何用数学言语刻划函数“无限接近无限接近.;.)(, 0, 0AxfMxM恒有时使当 Axflimx)(0 Axf)()()()(limxAxfAxfx或定义设定义设 f为定义在 ,)a 上的函数，为定数。假设对任给的,存在正数 ()a,使得当xM时有 那么称函数f当x 时以为极限。记作. ;几点注记而不仅仅是某些表示比大的一切实数, xM(1) 正整数n。lim( )xf xA的邻域描画：,(),U当()xU时，( )( ; ).f xU A(3)(2)lim( )xf xA的几何意义：对中心线，以2为宽的

3、带形区域;，就有以为xM的右方，曲线( )yf x全部落在这个带形区域内。在直线。fAAxfx数值的某个邻域内的全部函在有含的任意小邻域内意味着,:)(lim;xyAAA;:x.情形情形 02.)(,|, 0, 0AxfMxM恒有时使当:x.情形情形01Axfx )(lim.)(, 0, 0AxfMxM恒有时使当Axflimx )(2.另两种情形另两种情形: Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且;3.几何解释几何解释: MM.2,)(,的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当AyxfyMxMxAxflimx )(;. 01lim xx证明证明例例

4、1)(;,)(, 0)(limkxxBAxfMxAxfAxf适当放大进而确定的范围找解不等式关键对证明;证证xxx1101, 0 ,1M取时恒有则当Mx ,01 x. 01lim xx故故.2arctanlimxx证明例例2;证证),2(0限制, 02tanM取时恒有则当Mx,)2(arctan x2arctan2 |)2(arctan|xx由于左半部分成立，只调查右半部分左半部分成立，只调查右半部分x 的范围，的范围， ，那么有：，那么有：2 2tan2tanx.2arctanlimxx故分析分析;二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限0, 1; 00, 01sgn

5、)(2, 42)2(24)(2, 512)(:)(,20 xxxxxfxxxxxxfxxxfxfxx如值变化趋势时讨论;问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf x0 x 0 x 0 x,0邻域的去心点x.0程度接近体现xx.xxxx的过程的过程表示表示00 0 ;)()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或00()xx xx时函数极限的时函数极限的定义定义 1定义设函数定义设函数 在点在点( )f x0 x的某个空心邻域00;Ux内有定义，为定数，假

6、设对0,()0，当00 |xx时，有|( )|f xA那么称函数f当 x0 x或称为0 xx时( )f x的极限，记作: 时以为极限趋于;.)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当;2.几何解释几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx留意：留意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,就就有有无无穷穷多多个个后后找找到到一一个个显

7、显然然 ;)(.,)(, 0,)(lim)(lim30000kxxxxxxBAxfAxfxxAxfAxf找的不等式解关于关键对要证明定义证明用. 424lim22 xxx证明证明例例3;证证4244)(2xxxf, 0任给,存在,20时当 x2 x,4242 xx就有就有. 224lim21xxx.coscoslim00 xxxx证明例例4时当2x;证证, 0 任给任给,存在,00时时当当 xx,成立成立 .coscoslim00 xxxx00002sin2sin2coscosxxxxxxxx00coscosxxxx22112lim213xxxx例5 证明;.时当证明1:x1231321213

8、212122xxxxxxx110 xx于若限制11233) 1(212xxx则有时则当于是，x10,1 ,3min, 01313212122xxxx32121lim22xxxx.11lim,1|:20200 xxxxx时当证明例例6;.11lim2020 xxxx 证证20211)(xxAxf , 0任给,2120 x存在,00时时当当 xx20220211xxxx ,11202xx有,1212002000 xxxxxxxx ;几点注释 1 定义中的 相当于数列极限中的 ，它与 有关，但不是独一确定。 2 定义中只思索在 空心邻域内有定义的情形，普通不思索函数在 有无定义。 3 以上的定义可以

9、用邻域的方式简单给出。 N 0 x0 x;三三.单侧极限单侧极限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近; 00 xx记作记作,0 xx从右侧无限趋近; 00 xx记作记作yox1;010001sgnsgnlim0 xxxxxx研究极限yx11 o;左极限左极限 .)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当000 :000 xxxxxxxxx注意.)0()(lim00AxfAxfxx或记作.)0()(

10、lim00AxfAxfxx或记作;yx11 o.lim0不存在不存在验证验证xxx例例6AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim1 . 3000定理;证证xxxxxx00limlim1) 1(lim0 xxxxxxx00limlim11lim0 x左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例7 讨论函数21x在1处的单侧极限。;故有由于证明1:x)1 (2)1)(1 (12xxxx有时当，x) 1(0,21, 02)1 (2)1)(1 (012xxxx01lim2)1(xx01lim21xx类似可证;作业P47 1(3)(4) ; 3;4;6(

11、3);8; 函数极限的性质函数极限的性质教学目的：使学生掌握函数极限的根本性质。教学目的：使学生掌握函数极限的根本性质。 教学要求：掌握函数极限的根本性质：独一教学要求：掌握函数极限的根本性质：独一 性、部分保号性、不等式性质以及有理运算性等。;六种极限 );(limxfx);(limxfx);(limxfx );(lim0 xfxx);(lim0 xfxx );(lim0 xfxx ;一一 函数极限的性质函数极限的性质 2.部分有界性部分有界性1.独一性独一性.,)(lim2 . 30则此极限是唯一的存在若极限定理xfxx.)(,)(lim3 . 30000内的界邻域的某空心在则存在若极限定

12、理xUxfxfxx;).0(0,)(lim),0)(0)(,),(, 0000 AAAxfxfxfxUxxx或或则则且且或或时时当当若若 推论推论3.部分保号性部分保号性 ；2:Ar 应用局部保号性时常取注)0)(0)(),(),(),(),0(0)(lim4 . 300000rxfrxfxUxxUArArAxfxx或有使得对一切存在或则对任命正数或若定理;)(lim)(lim),()();()(lim)(lim000000 xgxfxgxfxUxgxfxxxxxxxx则内有邻域都存在，且在某与设4.部分保不等性部分保不等性定理定理3.5;本定理既给出了判别函数极限存在的方法；又提供了一个计算

13、函数极限的方法。.)(lim )( )()( );(,)(lim)(lim00000AxhxgxhxfxUAxgxfxxxxxx则内有且在某设5.逼敛性逼敛性定理定理3.5;6、极限运算法那么、极限运算法那么 ;二、求极限方法举例二、求极限方法举例 。，计算较复杂的函数极限发一些简单的函数极限出我们可从与四则运算法则利用函数极限的迫敛性 xxx1lim0例例5 求求;.11lim; 11lim, 1)1(lim,111,0; 11lim, 1)1(lim, 111,0:00000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx综上所述有故而有时当故而有时当解) 1tan(lim24xxx求例;14

14、1222241limcoslimsinlimlim) 1tan(lim224coscoslim,224sinsinlim4lim, 1cossin1tan44444444xxxxxxxxxxxxxxx，xxxxxx故而解3113lim()11xxx例例3 求求;解解.,1分母的极限都是零分子时x.1后再求极限因子先约去不为零的无穷小x) 1)(1()2)(1(lim12lim21321xxxxxxxxxx1) 1(lim)2(lim12lim21121xxxxxxxxx(消去零因子法消去零因子法).121111323xxxxx例例4 证明证明).1( , 1lim0 aaxx;.1,0|,)1

15、 (log| |,)1 (logmin|:),1 (log)1 (log) 1(log,11:,1),1(0:xaaaaaxxaxx，axaa有时则当于是取只需的严格递增性利用即为使不妨设证明2321lim54xxx求例;34342124232122lim2321lim32122321429)21(2321,4:44xxxxxxxxxxxxxxx时解).(lim, 01, 01)(602xfxxxxxfx求设例;yox1解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在

16、且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故;作业P51 1(3)(5)(8),2(2),5,7 ; 函数极限存在的条件函数极限存在的条件教学目的：了解并运用海涅定理与柯西准那么断定教学目的：了解并运用海涅定理与柯西准那么断定某些函数极限的存在性。某些函数极限的存在性。教学要求：掌握海涅定理与柯西准那么，其本质以教学要求：掌握海涅定理与柯西准那么，其本质以及证明的根本思绪。及证明的根本思绪。;.)(lim,);()(lim);()(000000存在且相等限极为极限的数列且以对任何含于存在内有定义，在设nnnxxxfxxxUxfxUxf定理定理3.8注：注： 本定理有如下几点注释：本

17、定理有如下几点注释： 1 本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将 函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。 2 本定理通常用来证明函数极限的不存在性。本定理通常用来证明函数极限的不存在性。一、归结原那么一、归结原那么(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系(海涅定理海涅定理)1 海涅海涅(Heine)定理定理;证明证明:(必要性必要性) .)(,0),(0, 00Axfxx恒有时使当则对Axfxx)(lim0设.0, 0, 00 xxNnNn恒有恒有时时使当使当对上述对上述,)( Axfn从而有从而有.

18、)(limAxfnx 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又;.,)(limlim),(, 2 , 1,)(,0,:,2,:)(,0, 0,)(lim)(00000210000矛盾但且显然数列使得则存在相应的点现依次取但尽管则不成立若充分性AxfxxxUxnAxfnxxxxxnAxfxxxAxfnnnnnnnnxx;例如例如,1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn;注注 这个定理把函数 ( )f x的极限归结为数列 ()nf x的极限问题来讨论，所以称之为“归结原那么。由此，可由数列极限的性质来推断函数极限性质。

19、)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim,)(limlim), 2 , 1(,)(lim,)(lim:Pr7 . 30000nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfBxgAxfxxnxxxBxgAxfoof如定理;不存在注从注从Heine定理可以得到一个阐明定理可以得到一个阐明0lim( )xxf x的方法，即(1)“假设可找到一个数列 nx，0limnnxx使得lim()nnf x不存在；或(2)“找到两个都以0 x为极限的数列 ,nnxx，使li

20、m(),lim()nnnnf xf x都存在但不相等，那么0lim( )xxf x不存在。，;例例1.1sinlim0不存在不存在证明证明xx; nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlimnxnnn1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 证证 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且;2其它类型极限的归结原那么其它类型极限的归结原那么(单调有界准那单调有界准那么么)：);(limxfx);(limxfx);(lim0 xfxx );(lim0

21、xfxx 以上以上4种极限有相互对应的单调有界准那么。种极限有相互对应的单调有界准那么。;存在。界函数，则右极限上的单调有为定义在设定理)(lim);()( 3.10 000 xfxUxfxxAxfxUxxAxf，xUfnnnxx)(lim)()(lim)(9 . 3000000有递减数列为极限的对任何以内有定义在某设函数定理;注：定理注：定理.10可更详细地表达如下：可更详细地表达如下：f为定义在00()Ux上的函数，假设f在00()Ux上递增有下界，那么0lim( )xxf x存在，且000()lim( )inf( )xxx Uxf xf x；f在00()Ux有上界，那么0lim( )xx

22、f x存在，且000()lim( )sup( )xxx Uxf xf x 上递减;二二 Cauchy收敛准那么：收敛准那么：设函数设函数 在在 内有定义。内有定义。 存在存在的充要条件为：的充要条件为：| ) () (|),;( , , 0, 000 xfxfxUxx有使对1收敛函数的函数值在收敛函数的函数值在 几乎几乎“挤在了一同。挤在了一同。2通常用通常用 Cauchy收敛准那么证明函数的极限不存在。收敛准那么证明函数的极限不存在。)(xf);(00 xU)(lim0 xfxx);(00 xU1 定理定理3.11 ;B；yfyfxyxUyA；xfxf，CauchyxfxfxUxxNmnNx

23、fxfxUxxxxxUxoofnnnnnnnnnmnmnnnn)(lim,)(lim);()(lim)()()();(,)()();(, 0lim);(:Pr00000 00 000设的极限存在则且设另一数列设的极限存在收敛准则由数列极限的故时当对以上有只要则且设;Axf，yfxfzf，；zf，xzxUzyxyxyxzxxnnnnnnnnnn)(lim)()()()(lim),(,:00002211故由归结原则得必有相同的极限与的两子列作为于是也收敛故且则考虑数列;注：按照注：按照Cauchy准那么，可以写出准那么，可以写出0lim( )xxf x不存在的充要条件：存在，对恣意( 0)，存在0

24、0,(; )x xUx使得.000)()(xfxf。xx不存在证明例1sinlim20;.1sinlim11sin1sin:),; 0(,:21,11, 0,210000不存在而则令取证明xxxUxx；nxnx，nx;作业 P55 1,3(1),4综上所述：Heine定理和Cauchy准那么是阐明 极限不存在的很方便的工具。; 两个重要极限两个重要极限教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练运用。教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练运用。教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的根本思绪和方法，并能灵敏运用。证明的根本思绪和方法，并能灵敏运用。;AC

25、一一)20(,xxAOBO 圆心角设单位圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有oBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 xxxOACOABOABtan121121sin121故面积面积扇形面积;,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x,20 x, 10coscoslim0 xx而, 11lim0 x又又, 1sincos xxx即即;例例1 1 .cos1lim20 xxx 求求;解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xx

26、x 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 xxxtanlim20求例;1tanlimarctanlim. 1cos1sinlimtanlim:0000ttxxxxxxxtxxx类似可求解1sinlim)sin(limsinlim:sinlim30ttxxxxxxtxxx解求例;exxx)11 (lim：证明二知由考虑先证证明1)11 (lim)11 (lim)3()11 (lim)2()11 (lim)11 (lim:xxxenexexexexnnxxxxxxxx;2 , 1, 1)11 ()(2 , 1, 1)111 ()(), 1 ()11 ()11 ()111 (1111

27、111111nnxnnxgnnxnnxfnxnnxnxn，xnnnxn上的阶梯函数定义有取时当;tx，exenxgenxfxxgxxfxxnnxnnxx作代换由情形对由于则)2()3()11 (lim)11 (lim)(lim)111 (lim)(lim), 1 ),()11 ()(1ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim ;)111()111(lim1 tttt. e ,1xt 令令.)11(limxxx 求求例例4;xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解;解解422)211()211(lim

28、xxxx原式原式.2e nnnn)111 (lim62求例;ennexnnnnnnnnnnn，nennnnnxxnnnnnnnnnnnnnnn)111 (lim)11 (lim)11 (lim)11 (lim)11 ()11 ()111 (1)()11 ()111 ( :212212212112222222则时有当另一方面解;三、小结三、小结 1.两个准那么两个准那么2.两个重要极限两个重要极限夹逼准那么夹逼准那么; 单调有界准那么单调有界准那么 .,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 ;作业P58 1(3)(6)(9),2(3)(4),3,4(1); 无穷小量和无穷大量无穷小量和无穷大

29、量教学目的：了解无穷小大量及其阶的概念。教学目的：了解无穷小大量及其阶的概念。 会利用它们求某些函数的极限。会利用它们求某些函数的极限。教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌 握无穷小大量及其阶的概念，握无穷小大量及其阶的概念， 并由此求出某些函数的极限。并由此求出某些函数的极限。;一、无穷小量一、无穷小量 。x。xxf，xUf。xxxx。xxfxf，xUfxx趋于什么指明称函数为无穷小量还应注无穷小量也是有界量注时的有界量当为则称内有界在某若函数注时的无穷小量与有界量以及类似可定义当注时的无穷小量为当则称若内有义在某设定义:4:3)(:2,:10)(

30、lim)(110000,00000;例如例如, 0)3sin(lim3xx.3sin时的无穷小是当函数xx, 01lim xx.1时的无穷小是当函数xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注注5:无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:。xxxA，xfxAxfxx时的无穷小量是当0)()()()(lim00)(lim0)(lim)(lim:000 xAxfAxfxxxxxx分析;意义意义1.将普通极限问题转化为特殊极限问题将普通极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);).(,

31、)()(. 20 xAxfxxf 误差为误差为附近的近似表达式附近的近似表达式在在给出了函数给出了函数3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:(1) 两个两个(或有限个或有限个) 无穷小量一样类型无穷小量一样类型的的(2) 之和、之和、 差、积仍为无穷小量。差、积仍为无穷小量。 ,)()(:时的两个无穷小是当及设证明xxgxf; 0)(lim, 0)(lim:xgxfxx则;)(0)(0 xfgxgf留意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小留意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是无穷小，是无穷小，时时例如例如nn1, .11不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但nn0)(lim)(lim)

32、()(lim0)(lim)(lim)()(lim:xgxfxgxfxgxfxgxfxxxxxx故;(2 )有界量与无穷小的乘积是无穷小有界量与无穷小的乘积是无穷小.内有界，在设函数分析),(:100 xUf,)(0时的无穷小是当又设xxx)(0)()()(00 xxxMxxf则;证证内有界，在设函数),(100 xUf.)(0, 0, 0101MxfxxM恒有时使得当则,)(0时的无穷小是当又设xxx.)(0, 0, 0202Mxxx恒有时使得当,min21 取取恒有恒有时时则当则当,00 xxffMM , .,0为无穷小时当fxx;结论结论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的

33、有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小乘积是无穷小.结论结论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.结论结论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例如例如都是无穷小都是无穷小;二、无穷小量阶的比较二、无穷小量阶的比较 例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢程度不同快慢程度不同.;032要快得多趋于比 xx;0sin大致相同趋于与xx不可比不可

34、比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在;);)()(, 0)()(lim) 1 (000 xxxgoxfgfxxxgxfxx记作的无穷小高阶是比时就说如果定义定义: : . 0)(,)(),(0 xgxxxgxf且时的两个无穷小是设).0)(, 2 , 1),0)(1 (:).)(1 ()()(,100 xxoxkxoxxxoxfxxxfkkk如时的无穷小量记作为当特别;)()(),0()()(lim)()()()2(0000时的同阶的无穷小是与就说或上有使得在某和若存在正数xxxgxfCCxgxflxgxfkxUl，kxx).(),1 ()(,)(:).(),()(:)(,

35、)()(000000 xxOxfxUfxxxgOxfxUxlxgxfgf则记为内有界在某若特别则记作满足关系式与若无穷小量;)(),1 (sin)0(),()1sin2()0(),(cos1:2xOxxxOxxxxOx如.)()(),0, 0()()(lim:1阶的无穷小的是就说如果注kxgxfkCCxgxfk).)()()()(:200 xxxgOxfxxxgoxf也有若注;)0(),(sincos1 :”.“)()()()(:300 xxox，xxxgOxfxxxgoxf如属于中间等号含义是右边是一函数类数这时等式左边是一个函不同的等与通常等式的含义是与等式注|0sin)(lim|0 xx

36、ffx例例1 1 .tan5 ,0:3的四阶无穷小为时当证明xxxx ;430tan5limxxxx5)tan(lim530 xxx.tan5 ,03的四阶无穷小为时故当xxxx 例例2 2.sintan,0的阶数关于求时当xxxx解解;解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx ;常用等价无穷小常用等价无穷小: : ,0时时当当 x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx );)()(;, 1)()(lim: )3(000 xxxgxf

37、xxgfxgxfxx记作等价的无穷小是与则称;无法比较不是有界量不是有界量但时的无穷小量为如量都可以进行比较并不是任何两个无穷小注)( ;1sin1sin)( ,1sin11sin,0,1sin:222xxxxxxxxxxxxxx;(4) (4) 等价无穷小交换定理等价无穷小交换定理.)()(lim,)()(lim)2(.)()(lim,)()(lim) 1 ()(),()()(12. 30000000BxgxhBxfxhAxhxgAxhxfxxxgxf，xUf、g、hxxxxxxxx则若则若且有内有定义在设定理;BBxgxfxfxhxgxhAAxhxfxfxgxhxg1)()()()()()

38、(1)()()()()()(:分析例例3 3 .cos12tanlim20 xxx 求求;解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别交换对于代数和中各无穷小不能分别交换. .留意留意例例4 4 .2sinsintanlim30 xxxx 求求;解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161

39、错错;三、无穷大三、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.)(lim)2()()()(;(, 00)(200000000 xf，xxfGxfxUxUx，G，xUfxx记作时有非正常极限当则称函数时有使得当存在若对任给的内有定义在某设函数定义1非正常极限;. ., 0, 0lim)(. ., 0, 0)(limlim,)(lim:2)(lim)(lim)()()2(:1000GaNntsNGaGxfMxtsMGxfaxfxfxf，xxf，GxfGxfnnnxnnxxxxx有时当有时当势的非正常极限类似可定义其它不同趋注或记作或时有非正常极限当则分别称或换成若注;2

40、无穷大量的定义 定义对于自变量定义对于自变量x的某种趋向或n 一切以包括数列，都称为无穷大量。，或,为非正常极限的函数1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;2. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.留意留意;.,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(0 kkx取取,22)(0 kxy.)(,0Mxyk 充分大时充分大时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21)2(kkxk取,| , kxk充分大时充分大时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界，无界，;.11lim31xx证明例;证证. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.lim,1