2020版高考数学一轮复习第五章平面向量第二节平面向量的基本定理及坐标表示教案理（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精第二节 平面向量的基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2。其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a(x1，y1），b（x2，y2），则ab（x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2），a(x1，y1)，a|.（2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设a(x1，y1)，b(x2,y2），则（x2x1，y2y1），|。3平面向量共线的坐

2、标表示设a(x1，y1），b（x2，y2),其中b0，则abx1y2x2y10。小题体验1已知m（3,2），n(5,2），且 ，则点p的坐标为_解析：设p（x,y)，则（x3，y2），又(8,4)（4,2)，解得故点p的坐标为（1，0)答案：(1，0)2已知向量a(m，4），b（3，2)，且ab，则m_。解析:因为ab,所以2m430,解得m6。答案：6 3在矩形abcd中，o是对角线的交点，若5e1，3e2，则_.(用e1，e2表示)解析：在矩形abcd中，因为o是对角线的交点,所以（) ()（5e13e2）e1e2。答案：e1e21向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系

3、两个相等的向量，无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的2若a（x1，y1），b(x2,y2），则ab的充要条件不能表示成,因为x2，y2有可能等于0,所以应表示为x1y2x2y10。小题纠偏1已知平行四边形abcd的顶点a（1,2），b（3,1），c(5，6），则顶点d的坐标为_解析：设d（x，y)，则由，得（4,1)(5x，6y)，即解得故顶点d的坐标为(1,5)答案：(1,5)2已知向量m（1，1），n(2，2），若mn，则_，此时|n_。解析:由mn可得2（1)2，解得0，此时n2。答案:02题组练透1如图，向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e

4、2表示为_解析:以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系由题图可得e1（1，0)，e2（1,1），a（3，1），因为axe1ye2x（1,0）y(1,1)（xy，y）,则解得故a2e1e2。答案：a2e1e22如图，在abc中，,p是bn上的一点，若m，则实数m的值为_解析：设k，kr。因为kk()k(1k），又m，所以解得k，m.答案：3(易错题)如图，以向量a，b为邻边作oadb，用a，b表示，.解:因为ab，ab，所以ab.因为ab,所以ab，所以ababab.综上,ab，ab，ab。谨记通法用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1)先选择一组基底，并运用该基底将条件

5、和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算来解决(2）在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理题组练透1已知向量a，b满足ab（1，5）,ab（5，3），则b_。解析：由ab(1,5），ab（5，3），得2b(1,5)（5，3）(6，8），所以b（6，8）(3，4)答案：(3,4）2已知点m(5，6)和向量a（1，2)，若3a，则点n的坐标为_解析:3a3（1，2）（3,6),设n（x,y),则（x5，y6）(3，6）,所以即故n（2，0）答案：（2，0）3已知a(2,4），b(3，1），c（3,4)设a，b，c，且3c，2b，（1)求3ab3c

6、;(2）求满足ambnc的实数m，n；（3)求m，n的坐标及向量的坐标解:由已知得a(5，5），b（6,3)，c（1,8)（1）3ab3c3（5，5)（6，3）3（1，8)(1563，15324)(6，42）(2）因为mbnc(6mn，3m8n）,所以解得（3）设o为坐标原点，因为3c，所以3c(3,24)（3，4）（0，20）所以m（0,20）又因为2b，所以2b(12,6)（3,4)（9,2)，所以n(9，2)，所以（9，18)谨记通法平面向量坐标运算的技巧(1）向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标要注意点的坐标和向

7、量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标(2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解典例引领已知o为坐标原点，向量(3，4），(5，3），(4m，m2）(1)若d，求证:对任意实数m，都有；(2)若点a，b，c能构成三角形,则实数m应满足什么条件？解:（1） 证明：由题意，(2，1），.因为21(m4）0，所以.(2)（2，1)，(1m，m6）若点a,b，c能构成三角形，则a,b，c三点不共线当a，b，c三点共线时，存在使，即(2，1）（1m，m6）,得解得m.所以当m时,点a，b,c能构成三角形由题悟法1平面向量共线的充要条件的2

8、种形式（1）若a(x1，y1)，b（x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10.(2)若ab(b0)，则ab。2共线问题解含参，列出方程求得解向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解即时应用1(2018海安期末）若a(2,3），b(3,2),c三点共线,则实数m的值为_解析:a(2，3)，b（3,2)，c，（1，1)，,又a,b，c三点共线,，解得m.答案：2（2018苏州中学检测）已知向量m(1，1),n（2,2)，若（mn）(mn)，则_。解析：因为mn(23，3），mn(1，1）,又（mn)（mn)，所以（2

9、3）(1）3（1），解得0.答案：03（2019连云港调研）已知向量a(1，2)，b（2，x），若ab，则实数x_.解析：由向量a(1,2)，b（2，x），且ab，可得x224。答案：4一抓基础，多练小题做到眼疾手快1（2019南通检测）已知点a（1,2)，b（2,8)若，则的坐标为_解析:a(1，2），b（2，8)，（3，6)，则(1,2），（2,4），（2,4)(1,2)（1，2）答案：（1，2)2(2018南京学情调研)设向量a(1，4）,b(1,x），ca3b。若ac，则实数x的值是_解析：因为a(1,4），b(1，x），所以ca3b（2,43x）又ac，所以43x80，解得x4。答案

10、:43(2018苏州中学测试）已知a(2，1)，b(3,5)，c（3,2),t （tr），若点p在第二象限,则实数t的取值范围是_解析：设点p（x，y)，则由t (tr)，得（x2，y1）(1,4)t(1，1）（1t，4t)，所以解得由点p在第二象限，得所以5t3。答案：(5，3）4（2018苏州期末）已知向量(m,5)，(4，n)，（7,6)，则mn的值为_解析：向量(m，5)，（4，n),(4m，n5),又(7,6），解得m3，n11，mn8.答案：85（2019启东月考)已知向量a，b（x，1）,其中x0，若(a2b）(2ab），则x的值为_解析:a2b,2ab(16x,x1）,由(a2

11、b)（2ab)，得（82x)（x1）(16x)，解得x4（负值舍去)答案：46(2018泰州期末)在平面直角坐标系xoy中，已知点a，b分别为x轴，y轴上一点，且ab2，若点p(2，)，则的取值范围是_解析：因为ab2，所以ab的中点m在以原点为圆心,1为半径的圆上运动（如图所示），则|2|，当m点为射线op与圆的交点时,|2|的最小值为7，当m点为射线op的反向延长线与圆的交点时,2|的最大值为11，所以|的取值范围是7,11答案：7，11二保高考,全练题型做到高考达标1已知向量a（5，2）,b（4，3），c(x,y)，若3a2bc0，则c_.解析:由题意可得3a2bc（23x,12y)（0

12、,0）,所以解得所以c（23，12）答案：(23，12）2已知a（3，0），b(0，），o为坐标原点，c在第二象限，且aoc30,，则实数的值为_解析：由题意知(3，0)，(0，），则（3,)，由aoc30，知以x轴的非负半轴为始边，oc为终边的一个角为150,所以tan 150，即，所以1.答案：13已知点a(2，3），b（4，5)，c（7，10),若 (r)，且点p在直线x2y0上，则_。解析：设p（x,y)，则由，得(x2,y3）(2，2）(5,7)(25，27)，所以x54，y75.又点p在直线x2y0上，故542(75）0，解得.答案：4在平行四边形abcd中，ac与bd交于点o，e

13、是线段od的中点,ae的延长线与cd交于点f。若a，b，则_（用a，b表示）解析：如图,因为a，b,所以ab。因为e是od的中点，所以，所以|df|ab|。所以()ab,所以ababab.答案:ab5已知a,c是同一平面内的两个向量,其中a（1,2)，c|2，且ac，则向量c_。解析：设向量c（x,y），因为a，c是同一平面内的两个向量，其中a(1,2),|c2,且ac，可得2xy，并且x2y220，解得x2，y4或x2,y4。所以c（2,4）或c（2,4)答案:(2,4)或（2,4）6（2018白蒲中学高三期末)若，是一组基底，向量xy(x，yr），则称（x，y）为向量在基底，下的坐标，现已

14、知向量a在基底p(1，1),q（2,1）下的坐标为(2,2），则a在另一组基底m（1，1)，n(1,2)下的坐标为_解析:因为a在基底p，q下的坐标为(2，2）,即a2p2q（2,4),令axmyn(xy,x2y）,所以即所以a在基底m，n下的坐标为(0,2)答案：（0,2）7(2018溧水高级中学测试)如图所示，a，b,c是圆o上的三点，线段co的延长线与ba的延长线交于圆o外的一点d，若mn，则mn的取值范围是_解析：由题意得，k (k0），又|k|1，所以1k0。又因为b,a，d三点共线，所以（1）,所以mnkk(1）,所以mk，nk（1），所以mnk，从而mn（1,0)答案:(1，0)

15、 8向量a，b,c在正方形网格中的位置如图所示，若cab（，r），则_.解析：以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1），则a（1，1)，b(6，2)，c(5，1），所以a(1,1)，b(6,2)，c（1，3)因为cab,所以（1，3）(1,1)（6,2),即61,23，解得2，,所以4.答案：49(2019淮安一模）已知a（1，0）,b(2，1）(1)当k为何值时,k ab与a2b共线；(2）若2a3b,am b，且a，b，c三点共线,求m的值解:（1）kabk(1，0）（2,1）（k2，1），a2b(1,0)2（2,1)(5,2)k ab与a2b共线，2

16、(k2)（1）50，解得k。（2)a，b,c三点共线,存在实数,使得，即2a3b(amb）amb,又a与b不共线，解得m。10在平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知向量a(2，1)，a(1,0），b(cos ,t），a.(1）若|,求向量的坐标；(2)求ycos2cos t2的最小值解：（1）因为（cos 1，t），又a,所以2tcos 10。所以cos 2t1。又因为|，所以(cos 1)2t25。由得，5t25，所以t21。所以t1.当t1时，cos 3（舍去)，当t1时,cos 1，所以b（1,1)，所以（1，1）（2)由（1）可知t，所以ycos2cos cos2cos 2，所以，当c

17、os 时，ymin。三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知abc是边长为4的正三角形，d，p是abc内的两点，且满足(),，则apd的面积为_解析：法一：取bc的中点e，连接ae，由于abc是边长为4的正三角形，则aebc，(）,又（)，所以点d是ae的中点，ad.取，以ad，af为邻边作平行四边形，可知.而apd是直角三角形，af，所以apd的面积为。法二：以a为原点，以bc的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系因为等边三角形abc的边长为4,所以b(2，2），c(2，2)，由题知（)（2，2）（2，2)(0，)，(0,）（4,0)，所以adp的面积为s|。答案：2(2018启东中学检测)在平面直角坐标系中，若o为坐标原点，则a,b,c三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数,使得（1)成立,此时称实数为“向量关于和的终点共线分解系数”若已知p1（3，1),p2(1,3)，p1，p2，p3三点共线且向量与向量a（1，1)共线，则“向量关于和的终点共线分解系数”为_解析：设(x，y),则由a，知xy0，于是（x，x)，设(1）,则有（x,x）(3,1）（1）(1,3）（41，32），即于是413