第二章 水静力学

1、 水利与生态工程学院水利与生态工程学院 张张 强强 复复 习习4、连续介质和理想液体的概念、连续介质和理想液体的概念3 3、液体的主要物理性质、液体的主要物理性质1、水力学的任务与研究对象、水力学的任务与研究对象2、实际工程中的水力学问题、实际工程中的水力学问题5、作用于液体上的力、作用于液体上的力6、水力学的研究方法、水力学的研究方法 水静力学的任务水静力学的任务：研究液体平衡的规律及其实际应用。研究液体平衡的规律及其实际应用。液体平衡状态液体平衡状态静止状态（液体相对于地球没有运动）静止状态（液体相对于地球没有运动）相对平衡状态相对平衡状态工程应用：主要是确定水对水工建筑物的表面上的作用力

2、。工程应用：主要是确定水对水工建筑物的表面上的作用力。前前 言言主要内容：主要内容：v静水压强及其特性静水压强及其特性v液体平衡微分方程式及其积分液体平衡微分方程式及其积分v重力作用下静水压强的基本公式重力作用下静水压强的基本公式v压强的液柱表示法，水头与单位势能压强的液柱表示法，水头与单位势能v作用于平面上的静水总压力作用于平面上的静水总压力v作用于曲面上的静水总压力作用于曲面上的静水总压力v等压面等压面v压强的量测压强的量测v绝对压强与相对压强绝对压强与相对压强一、静水压强及其特性一、静水压强及其特性静水压力静水压力：静止液体作用在与之接触的表面上的水：静止液体作用在与之接触的表面上的水压

3、力称为静水压力，用压力称为静水压力，用F FP P表示。表示。 1 1、静水压力与静水压强、静水压力与静水压强FP面平均静水压强面平均静水压强PFpA静水压强静水压强0limPAFpA 2 2、静水压强的特性、静水压强的特性 静水压强有两个重要的特性：静水压强有两个重要的特性： 静止液体不能承受剪切变形，静止液体不能承受剪切变形，dFdFPtPt的存在必然破坏液的存在必然破坏液体的平衡状态。所以，体的平衡状态。所以，静水压力静水压力dFdFP P及相应的静水压强及相应的静水压强p p必必须与其作用面相垂直。须与其作用面相垂直。（1 1）静水压强的方向）静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面。与

4、受压面垂直并指向受压面。（2 2）任一点静水压强的）任一点静水压强的大小和受压面方向无关，或大小和受压面方向无关，或者者说作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。说作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。 在证明这一特性之前，先通过下述例子来进一步说明在证明这一特性之前，先通过下述例子来进一步说明该特性的含义。该特性的含义。 AB改变方位前后，作用在改变方位前后，作用在C点的静水压强大小仍点的静水压强大小仍然保持不变，这就是静水压强第二特性的含义。然保持不变，这就是静水压强第二特性的含义。证明：取微小四面体，它在所有外力作用下必处于平证明：取微小四面体，它在所有外力作用下必处于平衡。作用于微小

5、四面体上的衡。作用于微小四面体上的外力包括两部分：一部分外力包括两部分：一部分是四个表面上的表面力，另一部分是质量立力。是四个表面上的表面力，另一部分是质量立力。令令FPx为作用在为作用在ODB面上的静水压力面上的静水压力； FPy为作用在为作用在ODC面上的静水压力；面上的静水压力； FPz为作用在为作用在OBC面上的静水压力；面上的静水压力； FPn为作用在倾斜面为作用在倾斜面DBC上的静水压力；上的静水压力； 四面体体积为四面体体积为V 单位质量力在三个坐标方向的投影为单位质量力在三个坐标方向的投影为fx , fy , fz 总质量力在三个坐标方向的投影为总质量力在三个坐标方向的投影为F

6、x , Fy , Fz16Vx y z 161616xxyyzzFxyzfFxyzfFxyzf 按照平衡条件，所有作用于微小四面体上的外力按照平衡条件，所有作用于微小四面体上的外力在各坐标轴上投影的代数和应分别为零，即在各坐标轴上投影的代数和应分别为零，即1cosx061cosy061cosz06PxPnxPyPnyPzPnzFFnxyzfFFnxyzfFFnxyzf , 式中，式中， 表示倾斜面表示倾斜面DBC DBC 的法线的法线n n 与与x x，y y，z z轴的夹角。轴的夹角。 xyznnn,， ,， ,（1） 若以若以 分别表示四面体四个表面分别表示四面体四个表面O ODBDB,

7、, ODC, OBC, DBC的面积，则的面积，则nzyxAAAA , , , yxAAzxAAzyAAnznynx21z)(n,cos21y)(n,cos21x)(n,cos 将（将（1 1）式中第一式各项都除以）式中第一式各项都除以Ax ，则有则有031xnPnxPxxfAFAF 如果让微小四面体无限缩小至如果让微小四面体无限缩小至O点，点， 以及以及 均趋近于零，对上式取极限，则有均趋近于零，对上式取极限，则有 , , zyxnxAA , nxpp 同理可得同理可得 静水压强第二个特性表明，作为连续介质的平衡液体静水压强第二个特性表明，作为连续介质的平衡液体内，任一点的静水压强仅是空间坐

8、标的函数而与受压面方内，任一点的静水压强仅是空间坐标的函数而与受压面方向无关，所以向无关，所以z)y,(x,pp nypp nzpp 即即nzyxpppp二、液体平衡微分方程式及其积分二、液体平衡微分方程式及其积分 液体平衡微分方程式，是表征液体处于平衡状态液体平衡微分方程式，是表征液体处于平衡状态时作用于液体上各种力之间的关系式。时作用于液体上各种力之间的关系式。 设想在平衡液体中分割出一块微分平行六面体设想在平衡液体中分割出一块微分平行六面体abcdefghabcdefgh，其边长分别为，其边长分别为dxdx，dydy，dzdz，形心点在，形心点在A(xA(x，y y，z)z)，该六面体应

9、在所有表面力和质量力的作用下处于平衡。，该六面体应在所有表面力和质量力的作用下处于平衡。表面力：表面力：作用在作用在abcd及及efgh面上的静水压力分别为面上的静水压力分别为dydzdxxpp）（2-dydzdxxpp）（2、其他各面静水压力同理可求。其他各面静水压力同理可求。质量力：质量力：fxdxdydzfydxdydzfzdxdydz 当六面体处于平衡状态时，所有作用于六面体上的力，当六面体处于平衡状态时，所有作用于六面体上的力，在三个坐标轴方向投影的和应等于零。在在三个坐标轴方向投影的和应等于零。在x方向有方向有0)2( -2-dxdydzfdydzdxxppdydzdxxppx）（

10、简化后为简化后为xfxp同理，对于同理，对于y、z方向可推出类似结果，从而得到微方向可推出类似结果，从而得到微分方程组分方程组xpfxypfyzpfz 上式是瑞士学者欧拉上式是瑞士学者欧拉(Euler)(Euler)于于17751775年首先推导出来的，年首先推导出来的，故又称故又称欧拉平衡微分方程式欧拉平衡微分方程式。该式的物理意义为：。该式的物理意义为：平衡液体平衡液体中，静水压强沿某一方向的变化率与该方向单位体积上的质中，静水压强沿某一方向的变化率与该方向单位体积上的质量力相等。量力相等。（2）式（式（4 4）是）是不可压缩均质液体平衡微分方程式的另一种表达不可压缩均质液体平衡微分方程式

11、的另一种表达形式。形式。()xyzdpf dxf dyf dz 液体平衡微分方程的积分是将液体平衡微分方程的积分是将(2(2）式中各式分别乘以）式中各式分别乘以dxdx，dydy，dzdz然后相加得然后相加得dz)fdyfdx(fzyxdzzpdyypdxxp（3） 因为因为p=p(x,y,z),p=p(x,y,z),故上式左端为函数故上式左端为函数p p的全微分的全微分dpdp，于，于是（是（3 3）式可写作）式可写作（4）对于不可压缩液体，对于不可压缩液体，= =常数，常数，式（式（4 4）左端是）左端是p p 的全微分，的全微分，右端括号内各项之和也应是某一函数右端括号内各项之和也应是某

12、一函数U U（x,y,zx,y,z）的全微分，）的全微分，即即dzfdyfdxfzyxdU 按照全微分的定义有按照全微分的定义有 比较以上二式右端对应项的系数可得比较以上二式右端对应项的系数可得dzzUdyyUdxxUdUxUxfyUyfzUzf 上式表明：函数上式表明：函数U=(xU=(x，y y，z)z)对某一坐标的偏导数等于对某一坐标的偏导数等于单位质量力在同一坐标轴上的投影。满足这一条件的函数单位质量力在同一坐标轴上的投影。满足这一条件的函数U U称为称为力函数或力势函数力函数或力势函数。此函数所表示的力称为有势力。此函数所表示的力称为有势力。重力、惯性力均为有势力。重力、惯性力均为有

13、势力。 由此可以得出结论：由此可以得出结论：作用在液体上的质量力为有势力作用在液体上的质量力为有势力时，液体才能保持平衡。时，液体才能保持平衡。液体平衡微分方程式还可写为液体平衡微分方程式还可写为dzzUdyyUdxxUdpdUdp或或积分上式可得积分上式可得CUp上式中积分常数上式中积分常数C C，可由己知条件确定。如果已知平衡液，可由己知条件确定。如果已知平衡液体边界上体边界上( (或液体内或液体内) )某点的压强为某点的压强为p p0 0、力势函数为、力势函数为U U0 0 ，则积分常数则积分常数C C = = p0 - - U0 ，代人上式，可得代人上式，可得)U-(U00 pp 由上

14、式可得出结论：平衡液体中，边界上的压强由上式可得出结论：平衡液体中，边界上的压强p0 将将等值地传递到液体内的一切点上；即当等值地传递到液体内的一切点上；即当p0 增大或减小时，增大或减小时，液体内任意点的压强也相应地增大或减小同样数值。这就液体内任意点的压强也相应地增大或减小同样数值。这就是是物理学中著名的巴斯加原理物理学中著名的巴斯加原理。三、等压面三、等压面等压面等压面：具有相同静水压强值的点连接成的面具有相同静水压强值的点连接成的面( (可能可能是平面也可能是曲面是平面也可能是曲面) )称为等压面。称为等压面。等压面具有等压面具有两个重要的性质两个重要的性质：1、在平衡液体中等压面即是

15、等势面。、在平衡液体中等压面即是等势面。 因等压面上因等压面上p p = =常数，常数，dp dp =O=O，亦即，亦即dU=0dU=0；对于不可；对于不可压缩均质液体，压缩均质液体， = =常数，故在等压面上常数，故在等压面上dU=0dU=0，即，即U=U=常常数。数。其中其中 为了证明这一性质，在平衡液体中任取一等压面，为了证明这一性质，在平衡液体中任取一等压面，面上个点压强相等，故面上个点压强相等，故dpdp=0=0，代入液体平衡微分方程中，代入液体平衡微分方程中，得得0dz)fdyfdx(fzyxdp0fdzfdyfdxfzyxsd即即 正交正交sd与f由于由于 在等压面上为任意方向，

16、由此可见，在等压面上为任意方向，由此可见，等压面与质量力等压面与质量力正交。正交。sd2 2、等压面与质量力正交。、等压面与质量力正交。四、重力作用下静水压强的基本公式四、重力作用下静水压强的基本公式 若把直角坐标系的若把直角坐标系的z z轴取在铅垂方向，则质量力只在轴取在铅垂方向，则质量力只在z z轴轴方向有分力，即方向有分力，即fx=0，fy=0，fz=-g 代入到平衡微分方程中，则有代入到平衡微分方程中，则有()xyzdpf dxf dyf dzgdz 积分得：积分得：pzcg在液面上，在液面上，z=z0，p=p0，则，则00pczg或或00()ppg zz0ppgh压强由两部分组成：压

17、强由两部分组成：自由面上的气体压强自由面上的气体压强p0单位面积上高度为单位面积上高度为h的水柱重的水柱重gh代入积分式中，可得静止液体中任意点的静水压强计算公式代入积分式中，可得静止液体中任意点的静水压强计算公式式中，式中，h=zh=z0 0-z-z表示该点在自由面以下的淹没深度。表示该点在自由面以下的淹没深度。 由由静水压强基本公式静水压强基本公式还可以看出，淹没深度相等的各点静还可以看出，淹没深度相等的各点静水压强相等，故水压强相等，故水平面即是等压面水平面即是等压面。但必须注意，。但必须注意，这一结论只这一结论只适用于质量力只有重力的同一种连续介质适用于质量力只有重力的同一种连续介质。

18、对于不连续的液体。对于不连续的液体( (如液体被阀门隔开如液体被阀门隔开) )，或者一个水平面穿过了两种不同介质，或者一个水平面穿过了两种不同介质，则位于同一水平面上的各点，压强并不一定相等，即则位于同一水平面上的各点，压强并不一定相等，即水平面不水平面不一定是等压面一定是等压面。p0=pa已知：已知：p p0 0=98kN/m=98kN/m2 2， h=1mh=1m，求：该点的静水压强求：该点的静水压强h解：解：0232298/1000/9.8/11000107.8/ppghkN mkg mm smkN mppa在容器壁面上同水深处的一点所受到的压强有多大？在容器壁面上同水深处的一点所受到的

19、压强有多大？该点的有效压强有多大？该点的有效压强有多大？ 思思 考考 题题1 1、静水压强有哪些特性？、静水压强有哪些特性？2 2、什么叫等压面？、什么叫等压面？3 3、等压面有什么重要性质？、等压面有什么重要性质？4 4、重力作用下水平面是否一定为等压面？、重力作用下水平面是否一定为等压面？5 5、静水压强由那几部分组成？、静水压强由那几部分组成？复复 习习4、重力作用下静水压强的基本公式、重力作用下静水压强的基本公式3 3、等压面、等压面1、静水压强及其特性、静水压强及其特性2、液体的平衡微分方程式及其积分、液体的平衡微分方程式及其积分五、绝对压强与相对压强五、绝对压强与相对压强 国际上规

20、定一个标准大气压为国际上规定一个标准大气压为101.325kPa,101.325kPa,在实际计在实际计算中，不同情况下采用不同的基准来度量压强，即所谓绝算中，不同情况下采用不同的基准来度量压强，即所谓绝对压强与相对压强。对压强与相对压强。 1 1、绝对压强、绝对压强 以设想没有大气存在的以设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点绝对真空状态作为零点计量的计量的压强，称为绝对压强。压强，称为绝对压强。 2 2、相对压强、相对压强 把把当地大气压作为零点当地大气压作为零点计量的压强，称为相对压强。计量的压强，称为相对压强。 绝对压强和相对压强，是按两种不同基准（即零点）绝对压强和相对压强，是按两种

21、不同基准（即零点）计量的压强，它们之间相差一个当地大气压强值，二者关计量的压强，它们之间相差一个当地大气压强值，二者关系如下图所示：系如下图所示：appp 水利工程中，一般的自由表面都是开敞于大气中，水利工程中，一般的自由表面都是开敞于大气中，自由面上的气体压强等于当地大气压强，即自由面上的气体压强等于当地大气压强，即p p0 0=p=pa a 。因而因而静止液体内任意点的相对压强为静止液体内任意点的相对压强为ghpghppaa-）（ 3 3、真空及真空度、真空及真空度 真空度真空度是指该点绝对压强小于当地大气压强的数值，是指该点绝对压强小于当地大气压强的数值，即即pppak- 有真空存在的点

22、，其相对压强与真空度绝对值相等，有真空存在的点，其相对压强与真空度绝对值相等，相对压强为负值，真空度为正值。故真空也称负压。相对压强为负值，真空度为正值。故真空也称负压。例例1 1：如图已知，：如图已知，p p0 0=98kN/m=98kN/m2 2，h=1mh=1m，求：该点的绝对压强及相对压强求：该点的绝对压强及相对压强p0=pah2098 1 9.8 1107.8/ppghkN m 解：解：2107.8989.8/apppkN m例例2：如图已知，：如图已知， p p0 0=50kN/m=50kN/m2 2，h=1mh=1m，求：该点的绝对压强及相对压强求：该点的绝对压强及相对压强p0h

23、解：解：2050 1 9.8 159.8/ppghkN m 259.89838.2/apppkN m pa相对压强为什么是负值？相对压强为什么是负值？ 什么位置处相对压强为零？什么位置处相对压强为零？29859.838.2/kapppkN m六、压强的测量六、压强的测量 压强的测量测量液体压强的测量测量液体( (或气体或气体) )压强的仪器很多，并日压强的仪器很多，并日趋现代化。这里我们只介绍一些利用静水力学原理设计的趋现代化。这里我们只介绍一些利用静水力学原理设计的液体测压计，这些测压计构造简单，方便可靠，至今仍在液体测压计，这些测压计构造简单，方便可靠，至今仍在实验室内广泛使用。实验室内广

24、泛使用。1 1、测压管、测压管ABppghAphg式中式中h h称为测压管高度或压强高度称为测压管高度或压强高度sinApgL 如果如果A A点压强较小，为提高测量精度，增大测压管标点压强较小，为提高测量精度，增大测压管标尺读数，可以在测压管中放人轻质液体尺读数，可以在测压管中放人轻质液体( (如油如油) )，也可以，也可以把测压管倾斜放置。把测压管倾斜放置。2 2、U U型水银测压计型水银测压计 当被测点压强很大时，利当被测点压强很大时，利用上述测压管测量压强，所用上述测压管测量压强，所需测压管很长，在操作上很需测压管很长，在操作上很不方便，这时可以改用不方便，这时可以改用U U形水形水银测

25、压计。银测压计。3 3、差压计、差压计 差压计是直接测量差压计是直接测量两点压强差的装置。若两点压强差的装置。若被量测点之间压差较大，被量测点之间压差较大，可使用可使用U U形水银差压计。形水银差压计。 若被测点若被测点A A，B B之压差甚小，为了之压差甚小，为了提高测量精度，可将提高测量精度，可将U U形差压计倒装，形差压计倒装，并在并在U U形管中注入不与容器中介质相形管中注入不与容器中介质相混合的轻质液体，然后按同样方法建混合的轻质液体，然后按同样方法建立立A A，B B两点间压差的计算公式。两点间压差的计算公式。七、压强的液柱表示法，水头与单位势能七、压强的液柱表示法，水头与单位势能

26、压强的单位压强的单位 应力单位：应力单位： PaPa，kPakPa工程大气压单位：工程大气压单位：液柱高度：液柱高度： 1 1个工程大气压个工程大气压=98kN/m=98kN/m2 2=10m=10m水柱压水柱压=736mm=736mm水银柱压水银柱压 1 1、压强的液柱表示法、压强的液柱表示法2、水头和单位势能、水头和单位势能pzcgxzyp0AZZ位置水头，位置水头，pgpzg压强水头，压强水头，测压管水头，测压管水头，Apg静止液体内各点的测压管水头等于常数。静止液体内各点的测压管水头等于常数。单位位能单位位能单位压能单位压能单位势能单位势能静止液体内各点的单位势能相等。静止液体内各点的

27、单位势能相等。静水压强的基本方程式静水压强的基本方程式 思思 考考 题题1 1、测量静水压强的方法有哪些？、测量静水压强的方法有哪些？2 2、静水压强测量的原理是什么？、静水压强测量的原理是什么？3 3、静水压强的几何意义和能量意义是什么？、静水压强的几何意义和能量意义是什么？复复 习习3、压强的液柱表示法，水头与单位势能、压强的液柱表示法，水头与单位势能1、绝对压强与相对压强、绝对压强与相对压强2、压强的测量、压强的测量八、作用于平面上的静水总压力八、作用于平面上的静水总压力 水工建筑物常常都与水体直接接触。所以计算水工建筑物常常都与水体直接接触。所以计算某一受压面上的静水压力是经常遇到的实

28、际问题。某一受压面上的静水压力是经常遇到的实际问题。 由于在工程界，习惯于把由于在工程界，习惯于把静水压强简称为静水静水压强简称为静水压力压力，为了避免混乱，我们把，为了避免混乱，我们把某一受压面上所受的某一受压面上所受的静水压力称为静水总压力静水压力称为静水总压力。1、作用在矩形平面上的静水总压力（图解、作用在矩形平面上的静水总压力（图解法）法） 计算矩形平面上所受的静水总压力，最方便计算矩形平面上所受的静水总压力，最方便的方法是利用静水压强分布图，所以常称此法为的方法是利用静水压强分布图，所以常称此法为压力图法压力图法。（1）静水压强分布图的绘制）静水压强分布图的绘制 由计算静水压强的基本

29、公式可知，由计算静水压强的基本公式可知，压强与水深压强与水深成线性函数关系成线性函数关系。把某一受压面上压强随水深的这。把某一受压面上压强随水深的这种函数关系表示成图形，称为种函数关系表示成图形，称为静水压强分布图静水压强分布图。其。其绘制规则是：绘制规则是：按一定比例，用线段长度代表该点静水压按一定比例，用线段长度代表该点静水压强的大小。强的大小。用箭头表示静水压强的方向并与作用面用箭头表示静水压强的方向并与作用面垂直。垂直。AEB表示表示AB面上的相对压强分面上的相对压强分布图布图AGFB即为即为AB面上的绝对压强面上的绝对压强分布图分布图 在实际工程中，建筑物的迎水面及背水面均受有在实际

30、工程中，建筑物的迎水面及背水面均受有大气压强，其作用可互相抵消，故一般只需绘制相对大气压强，其作用可互相抵消，故一般只需绘制相对压强分布图。压强分布图。（2）静水总压力的计算）静水总压力的计算 作用在单位宽度上的静水总作用在单位宽度上的静水总压力，应等于静水压强分布图压力，应等于静水压强分布图的面积；的面积；整个矩形平面的静水整个矩形平面的静水总压力，则等于平面宽度乘压总压力，则等于平面宽度乘压强分布图的面积。强分布图的面积。 设设b b为矩形受压面的宽度，为矩形受压面的宽度，为静水压强分布为静水压强分布图形的面积，则矩形平面上的图形的面积，则矩形平面上的静水总压力的大小静水总压力的大小为为b

31、FP静水总压力的方向：静水总压力的方向：垂直并指向受压面垂直并指向受压面静水总压力的作用点：静水总压力的作用点：作用点作用点D ( (又称压力中心又称压力中心) )必必位于纵向对称轴位于纵向对称轴O-O上，同时，总压力的作用点还上，同时，总压力的作用点还应通过压强分布图的形心点应通过压强分布图的形心点Q。当压强为三角形分布时当压强为三角形分布时当压强为梯形分布时当压强为梯形分布时Le312121hh32hhLee为压力中心离为压力中心离底部的距离底部的距离2、作用于任一平面上的静水总压力、作用于任一平面上的静水总压力(解析法解析法) 为了分析方便，以平面为了分析方便，以平面EFEF的延长面与水

32、面的交线的延长面与水面的交线ObOb，以及与以及与ObOb相垂直的相垂直的OLOL为一组为一组参考坐标系。参考坐标系。（1）总压力的大小）总压力的大小 静水总压力是由每一部分面积上的静水压力所构成，先在静水总压力是由每一部分面积上的静水压力所构成，先在EFEF平面上任选一点平面上任选一点M，围绕点，围绕点M M取一微分面积取一微分面积dA，先求出，先求出dA面面上上得静水压力，再求整个得静水压力，再求整个EFEF面上的静水总压力。面上的静水总压力。dA面上面上静水压力静水压力ghdApdAdFP静水总压力静水总压力AAAPPLdAgghdAdFFsin式中式中 表示平面对表示平面对Ob轴的轴的

33、面积矩（静面矩或静矩），面积矩（静面矩或静矩），且且ALdAALLdACA则有则有 或或ALgFCPsinAghFCP所以所以ApFCP 上式表明：作别于任意平面上的上式表明：作别于任意平面上的静水总压力，等于平面形静水总压力，等于平面形心点上的静水压强与平面面积的乘积。心点上的静水压强与平面面积的乘积。形心点压强可理解为整形心点压强可理解为整个平面的平均静水压强。个平面的平均静水压强。（3）总压力的作用点）总压力的作用点 设总压力作用点的位置在设总压力作用点的位置在D，它在坐标系中的坐标值为，它在坐标系中的坐标值为(LD，bD)。由理论力学可知，合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴。由理论力学

34、可知，合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴力矩的代数和（力矩的代数和（合力矩定理合力矩定理）。）。（2）总压力的方向：垂直并指向受压面）总压力的方向：垂直并指向受压面 对对Ob轴轴AADPdALgLpdALF2sin令令，dALIAb2I b 表示平面对表示平面对ObOb轴的面积惯矩（轴的面积惯矩（惯性矩惯性矩）。）。由平行移轴定理：由平行移轴定理：ALIICb2C代入上式，得代入上式，得AgLALIgFALIgLCCCPCCDsinsinsin22简化，得简化，得 （LDLC，D点在点在C点之下）点之下）ALILLCCCD 对对OL轴，同理可得轴，同理可得，dAbLIAbL 若平面有纵向对称轴

35、，则不必计算若平面有纵向对称轴，则不必计算b bD D值，因为值，因为D D点点必定落在纵向对称轴上。必定落在纵向对称轴上。ALIbCbLD 称为平面对称为平面对Ob及及OL轴的轴的惯性积惯性积。ABpaPa+gh例题例题1 画出下列画出下列AB或或ABC面上的静水压强分布图面上的静水压强分布图ABghBABCABAB例题例题2例题例题2例题例题2例题例题2例题例题3 如图所示，某挡水矩形闸门，如图所示，某挡水矩形闸门，门宽门宽b=2m，一侧水深，一侧水深h1=4m，另一，另一侧水深侧水深h2=2m，试用图解法求该闸门，试用图解法求该闸门上所受到的静水总压力。上所受到的静水总压力。h1h2解法

36、一：解法一：首先分别求出两侧的水压力，然后求合力。首先分别求出两侧的水压力，然后求合力。1 1111000 9.8 4 4 2156800156.822PFbghhbNkN 左左22111000 9.8 2 2 23920039.222PFbgh h bNkN 右右h1/3h2/3156.839.2117.6PPPFFFkN左右方向向右方向向右e依力矩定理：依力矩定理：1233PPPhhFeFF 左右可解得：可解得：e=1.56m答答:该闸门上所受的静水总压力大小为该闸门上所受的静水总压力大小为117.6kN，方向向右，方向向右，作用点距门底作用点距门底1.56m处。处。h1h2解法二：首先将

37、两侧的压强解法二：首先将两侧的压强分布图叠加，直接求总压力分布图叠加，直接求总压力2112() ()117.62PhhghghFbbkN 方向向右方向向右依力矩定理：依力矩定理：e1222()32PhhhFeFhF 可解得：可解得：e=1.56m12121() ()39.22Fbg hhhhbkN 122()78.4Fbg hhh bkN 答：略答：略例题例题4 一垂直放置的圆形平板闸门如一垂直放置的圆形平板闸门如图所示，已知闸门半径图所示，已知闸门半径R=1m，形心，形心在水下的淹没深度在水下的淹没深度hc=8m，试用解析，试用解析法计算作用于闸门上的静水总压力。法计算作用于闸门上的静水总压

38、力。hchDFP解：解：2246PccFpAghRkN448.03CDCCCCRILLhmLAhALO答：该闸门上所受静水总压力的大小为答：该闸门上所受静水总压力的大小为246kN，方向向右，方向向右，在水面下在水面下8.03m处。处。 思思 考考 题题1 1、如何绘制静水压强分布图（绘制规则）？、如何绘制静水压强分布图（绘制规则）？2 2、静水压强分布图形状有哪几种？、静水压强分布图形状有哪几种？3 3、平面静水总压力计算方法有哪两种？如何计平面静水总压力计算方法有哪两种？如何计算？算？4、两种计算方法的适用范围是什么？、两种计算方法的适用范围是什么？ 作作 业业1.1 1.2 1.3 1.

39、4 1.11 1.121.1 1.2 1.3 1.4 1.11 1.121.13 1.161.13 1.16复复 习习1、作用在矩形平面上的静水总压力（图解法）、作用在矩形平面上的静水总压力（图解法）2、作用于任意平面上的静水总压力（解析法）、作用于任意平面上的静水总压力（解析法）九、作用于曲面上的静水总压力九、作用于曲面上的静水总压力 在水利工程上常遇到在水利工程上常遇到受压面为曲面受压面为曲面的情况，如的情况，如拱坝坝面、弧形闸墩或边墩、弧形闸门等等，这些拱坝坝面、弧形闸墩或边墩、弧形闸门等等，这些曲面多数为曲面多数为二向曲面二向曲面(即具有水平或铅垂主轴的圆即具有水平或铅垂主轴的圆柱形曲

40、面柱形曲面)，所以这里着重分析二向曲面的静水总，所以这里着重分析二向曲面的静水总压力计算。压力计算。 作用在曲面上任意点处的相对静水压强，其大作用在曲面上任意点处的相对静水压强，其大小仍等于该点的淹没深度乘以液体的单位体积的重小仍等于该点的淹没深度乘以液体的单位体积的重量，方向也是垂直指向作用面。量，方向也是垂直指向作用面。二向曲面上的压强分布图二向曲面上的压强分布图 下图为一母线与下图为一母线与Oy轴平行的二向曲面，母线长轴平行的二向曲面，母线长为为b，曲面在，曲面在xOz面上的投影为曲线面上的投影为曲线EF，曲面左侧，曲面左侧受静水压力的作用。受静水压力的作用。 曲面由于各部分面积上所受静水压力的大小及曲面由于各部分面积上所受静水压力的大小及方向均各不相同，不能用求代数和的方法来计算静方向均各不相同，不能用求代数和的方法来计算静水总压力。为了把它变成一个求平行力系水总压力。为了把它变成一个求平行力系（各力作（各力作用线相互平行的力系）用线相互平行的力系）的合力问题，只能的合力问题，只能分别计算分别计算作用在曲面上静水总压力的水平分力作用在曲面上