信号与系统第五章

1、第五章：离散时间系统的时域分析第五章：离散时间系统的时域分析本章要点本章要点离散时间系统的描述和模拟离散时间系统的描述和模拟FFFFFFFFFF抽样信号与抽样定理抽样信号与抽样定理常用典型序列及基本运算常用典型序列及基本运算离散时间系统的响应离散时间系统的响应卷积和卷积和)(kX)(kY激励是离散时间信号响应是离散时间信号离散系统连续系统模拟卷积定理连续傅立叶变换拉氏变换卷积积分微分方程连续时间系统离散系统模拟卷积定理离散傅立叶变换变换卷积和差分方程离散时间系统Z 5.1 抽样与抽样定理抽样与抽样定理 连续信号为什么要离散化？连续信号为什么要离散化？抽样是连续信号和离散信号间的抽样是连续信号和

2、离散信号间的，也是对信号进，也是对信号进行行的第一个环节。的第一个环节。连续时间信号是否可以由其离散时间样本来表示？连续时间信号是否可以由其离散时间样本来表示？在什么样的条件下，可以从样本无失真的恢复出原连续在什么样的条件下，可以从样本无失真的恢复出原连续时间信号？时间信号？连续时间信号如何离散化？连续时间信号如何离散化？ 若带限信号若带限信号f(t)的最高角频率为的最高角频率为m，则信号，则信号f(t)可以用可以用等间隔的抽样值唯一地表示。而抽样间隔等间隔的抽样值唯一地表示。而抽样间隔T需不大于需不大于1/2fm，或最低抽样频率或最低抽样频率fs不小于不小于2fm。若从抽样信号（若从抽样信号

3、（Sampling signal）fs(t)中恢复原信号中恢复原信号f(t)，需，需满足两个条件：满足两个条件：fs = 2fm 为最小取样频率，称为为最小取样频率，称为Nyquist Frequency.( (1) ) f(t)是带限信号，即其频谱函数在是带限信号，即其频谱函数在|w w|w wm各处为零；各处为零；( (2) ) 抽样间隔抽样间隔(Sampling Interval) T需满足需满足 )2/(1/mmfTw或抽样频率或抽样频率(Sampling Frequency)fs需满足需满足 fs 2fm或或s 2 m 。Ts = 1/ 2fm 为最小取样间隔，称为为最小取样间隔，称

4、为Nyquist Interval. Nyquist，美国物理学家，美国物理学家，1889年出生在瑞典。年出生在瑞典。1976年在年在TexasTexas逝逝世。他对信息论做出了重大贡献。世。他对信息论做出了重大贡献。1907年移民到美国并于年移民到美国并于1912年进入年进入北达克塔大学学习。北达克塔大学学习。1917年在耶鲁年在耶鲁大学获得物理学博士学位。大学获得物理学博士学位。19171934年在年在AT&T公司工作，后转入公司工作，后转入BellBell电话实验室工作。电话实验室工作。 1927年，年，Nyquist确定了对某一确定了对某一带宽的有限时间连续信号进行抽样，带宽的有限时间

5、连续信号进行抽样，且在抽样率达到一定数值时，根据且在抽样率达到一定数值时，根据这些抽样值可以在接收端准确地恢这些抽样值可以在接收端准确地恢复原信号。为不使原波形产生复原信号。为不使原波形产生“半半波损失波损失”，采样率至少应为信号最，采样率至少应为信号最高 频 率 的高 频 率 的 2 倍 ， 这 就 是 著 名 的倍 ， 这 就 是 著 名 的Nyquist采样定理。采样定理。已知实信号已知实信号f(t)的最高频率为的最高频率为fm (Hz)，试计算，试计算 对各信号对各信号f(2t)， f(t)* *f(2t)， f(t) f(2t)抽样不混抽样不混 叠的最小抽样频率。叠的最小抽样频率。对

6、信号对信号f(2t)抽样时，最小抽样频率为抽样时，最小抽样频率为 4fm(Hz)；对对f(t)* *f(2t)抽样时，最小抽样频率为抽样时，最小抽样频率为4fm(Hz)；对对f(t) f(2t)抽样时，最小抽样频率为抽样时，最小抽样频率为 6fm(Hz)。根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得w)j (wF10许多实际工程信号不满足带限条件许多实际工程信号不满足带限条件w)j (wHmwmw10 抗抗 混混低通滤波器低通滤波器)(tf)(1tf)(thw)j (1wFmwmw10抽样频率抽样频率fs=44,100 Hz抽样频率抽样频率fs=5,512

7、Hz抽样频率抽样频率fs=5,512 Hz抽样前对信号进行了抽样前对信号进行了抗混叠滤波抗混叠滤波根据根据时域抽样定理时域抽样定理，对连续时间信号进行抽，对连续时间信号进行抽样时，只需样时，只需抽样速率抽样速率 fs 2fm。在工程应用中，。在工程应用中，抽样速率常设为抽样速率常设为 fs (35)fm，为什么？为什么？若连续时间信号若连续时间信号 f (t) 的最高频率的最高频率 fm 未知，未知， 如何确定抽样间隔如何确定抽样间隔T？u 抽样定理：抽样定理： fs 2fm Ts1/2fmu 时域的周期性时域的周期性频域的离散性频域的离散性时域的离散性时域的离散性频域的周期性频域的周期性u

8、抽样是连续信号和离散信号间的桥梁抽样是连续信号和离散信号间的桥梁12 3 4k)(2kf1122334k)(1kf数字信号)(均匀采样采样信号出现的序号表示各函数值在序列中为整数示为，则全部信号序列可表表示为项的第列表示，如果序列离散系统中，信号用序kkkkffkfkf)()(5.2 常用典型序列及基本运算常用典型序列及基本运算0001kk)(k k1012)(ik k1i01 2)()()()()()(ifikifikkfk的性质：一单位冲激序列一单位冲激序列 k)(k定义：定义：1,0,kikiki f kkif i)(k0001kk)(k01 231k)2( k01 231k4 50)(

9、)()() 1()()(ikiikikkkk显然：二单位阶跃序列二单位阶跃序列 k定义：定义：)(kakk)(kx01230 123456 7 8k)(kx三单边实指数序列三单边实指数序列 ,00,0kkakakk定义：定义：四正弦序列四正弦序列 sinkf kAkw定义：定义：正弦序列正弦序列sin4k列都是周期序列。注意：并非所有正弦序正整数，称为周期。为使上式成立的最小实周期序列定义：NrNkxkx)()()sin()sin()sin(wwwwNkNkk依周期序列的定义：wwkNkN2,2要使上式成立：则N为正整数为正整数, K为任意整数为任意整数为非周期序列。为无理数时，当为最小整数的

10、值，取使为有理数时，当序列周期令为整数时当)(2) 3(222)2(,2, 1,2) 1 (kxkNkkNkwwwwww五、复指数序列五、复指数序列 cossinj kf kekjkwww同正弦序列一样，若复指数序列是一个周期序列，则同正弦序列一样，若复指数序列是一个周期序列，则2w应为整数或有理数，否则不是周期序列。应为整数或有理数，否则不是周期序列。六六. 序列的基本运算与波形变换序列的基本运算与波形变换1序列的相加序列的相加12( )( )( )f kf kf k （a） （b） （c）两个序列相加得到一个新信号，两个序列相加得到一个新信号，它在任意序号的值它在任意序号的值等于这两个信号

11、在该序号的值之和等于这两个信号在该序号的值之和 2序列的相乘序列的相乘12( )( )( )f kf kf k （a） （b） （c）它在任意序号的值等于这两个信号在该序号的值的积它在任意序号的值等于这两个信号在该序号的值的积 3信号的差分信号的差分 对离散时间信号而言，信号的差分运算表示的是相对离散时间信号而言，信号的差分运算表示的是相邻两个序列值的变化率。定义为邻两个序列值的变化率。定义为前向差分：前向差分： ( )(1)( )f kf kf k 后向差分：后向差分： ( )( )(1)f kf kf k4序列的累加序列的累加对离散时间信号而言，信号的累加定义为对离散时间信号而言，信号的累

12、加定义为()( )kny kfn 即累加后产生的序列在即累加后产生的序列在 k 时刻的值是时刻的值是原序列在该时刻原序列在该时刻及以前所有时刻的序列值之和。及以前所有时刻的序列值之和。k)(kf32101 2k)(kf 32101 2k)(kx32101 2k)(1kx32101 2k)1( kx32101 234右移左移5序列的反褶序列的反褶6序列的移位序列的移位7. 序列的尺度变换序列的尺度变换 y kf ak（1a），是），是 f kaka序列每隔序列每隔点取一点形成的，点取一点形成的，压缩了压缩了 倍。倍。 即时间轴即时间轴 y kf ak01a f k11ak1a（）序列每两相邻序列

13、值之间序列每两相邻序列值之间加加个零值点个零值点形成的，形成的，即时间轴即时间轴扩展了扩展了倍倍。 是是8. 信号的分解信号的分解)()()(mkmxkxm tdtxtx0)()()( 比较比较9. 序列的能量序列的能量2)(kkx主要讨论线性非移变系统。主要讨论线性非移变系统。线性系统：线性系统：)()(11krke)()()()(22112211kkkkrcrcecec则则)()(22krke非移变系统非移变系统)()(krke)()(ikrike如果如果 5.3 离散时间系统的描述与模拟离散时间系统的描述与模拟 则则如果如果 离散时间系统的数学描述离散时间系统的数学描述差分方程差分方程例

14、：例： 求图示求图示RC低通网络的响应低通网络的响应 y(n) 所满足的差分方程所满足的差分方程)(nTxT2T0t)(kTy0TtT3T2T4)(kTx)(kTyRc)()()(txtydttdyRC)()()()1(kxkyTkykyRC)()()1()1(kxRCTkyRCTky这一递归关系式称为常系数差分方程，这一递归关系式称为常系数差分方程， 因因y(k)自自k以以递增递增方式给出方式给出(增序），增序），称为称为前向形式的差分方程前向形式的差分方程， 否则为后向形式的差分方程否则为后向形式的差分方程（减序）。（减序）。)()(41) 1(21)2(kxkykyky前向差分)()2(

15、41) 1(21)(kxkykyky后向差分方程差分方程的阶数差分方程的阶数等于未知序列变量序号的最高与最低值之差等于未知序列变量序号的最高与最低值之差 )(kx)1(kxD（a）单位延时器）单位延时器)(kx)(kaxa)(kx)()(kykx)(ky（b）加法器）加法器a)(kx)(kax)(kxa)(kax（c）标量乘法器）标量乘法器 离散时间系统的模拟离散时间系统的模拟基本模拟元件基本模拟元件 一一阶系统的描述与模拟一一阶系统的描述与模拟 描述一阶系统的后向差分方程为描述一阶系统的后向差分方程为0( )(1)( )y ka y ke k描述一阶系统的前向差分方程为描述一阶系统的前向差分

16、方程为 0(1)( )( )y ka y ke k 10( )(1)()( )ny kay ka y kne k可改写为可改写为 10( )( )(1)()ny ke kay ka y kn二二n阶系统后向差分方程的描述与模拟阶系统后向差分方程的描述与模拟描述一个描述一个n n阶系统的前向差分方程阶系统的前向差分方程10()(1)( )( )ny knay kna y ke k可改写为可改写为10()( )(1)( )ny kne kay kna y k三三n阶系统前向差分方程的描述与模拟阶系统前向差分方程的描述与模拟1010()(1)( )()(1)( )nmmy knay kna y kb

17、 e kmbe kmb e k( )q k 10()(1)( )nq knaq kna q ke k 10()(1)( )mmy kb q kmbq kmb q k一个系统的模拟图与描述其系统的差分方程一一对应，因此一个系统的模拟图与描述其系统的差分方程一一对应，因此可由系统的差分方程作出模拟图，也可由模拟图求出描述系可由系统的差分方程作出模拟图，也可由模拟图求出描述系统的差分方程。统的差分方程。程。，写出该系统的差分方、某离散系统如图所示例2)(nx)(ny)(1nyDD)(2ny4121)(a后向差分方程为二阶差分方程2)2()()2(41) 1(21)()2(41) 1(21)()()(

18、nnnxnynynynynynxnya（前向差分）二阶差分方程,)()(41) 1(21)2()(41) 1(21)()2()(nxnynynynynynxnyb)(b)(nx)(ny) 1( nyDD)2( ny4121图输出延时两位。图较下，响应形式相同，但有所不同。在相同输入端别，仅输出信号的取出这两个系统没有本质区讨论：)()(ab1数字滤波器描述）。差分方程比较方便（如、一般因果系统用后向2程程。惯惯用用前前向向形形式式的的差差分分方方、在在状状态态变变量量分分析析中中习习3似似。方方法法与与后后向向差差分分方方程程类类、前前向向差差分分方方程程的的求求解解4)()(41) 1(21

19、)2(nxnynyny)()2(41) 1(21)(nxnynyny)()()()()()()()(kyakyakxkykxkyakyaky01011212、差分方程的模拟。例3)(kx)(ky) 1( kyDD)2( ky1a0a 5.4 5.4 离散时间LTI系统 的数学模型为2. 经典时域分析方法:求解差分方程3. 卷积法:系统完全响应 = 零输入响应+零状态响应 求解齐次差分方程得到零输入响应 利用卷积和可求出零状态响应kykykyfx*khkfkyx 系统响应求解方法:00jkfbikyajmjini1. 迭代法:一、迭代法一、迭代法 已知 n 个 y1, y2, y2, yn 和，

20、由差分方程迭代出系统的输出。01jkfbikyakyjmjini00jkfbikyajmjini 一阶线性常系数差分方程yk0.5yk1=uk, y1 = 1，用迭代法求解差分方程。将差分方程写成 15 . 0kykuky代入初始状态，可求得5 . 115 . 01 15 . 000yuy75. 15 . 15 . 0105 . 0 1 1 yuy875. 175. 15 . 01 1 5 . 022yuy依此类推缺点：很难得到闭合形式的解。二、经典时域分析方法二、经典时域分析方法 差分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yhk和特解ypk组成:phkykyky齐次解yhk的形式由齐次方程的

21、特征根确定特解ypk的形式由方程右边激励信号的形式确定二、经典时域分析方法二、经典时域分析方法(1) 特征根是不等实根 r1, r2, , rn(2) 特征根是等实根 r1=r2=rn(3) 特征根是成对共轭复根knnkkrCrCrCky2211hknnkkrkCkrCrCky121h0j2, 1ejbarkCkCkykk0201hsincos二、经典时域分析方法二、经典时域分析方法 输入信号特解ak (a不是特征根)kAaak (a是特征根)kAkank0111AkAkAkAnnnnnkka)(0111AkAkAkAannnnkkk00cossin或kAkA0201sincoskakakk0

22、0cossin或)sincos(0201kAkAak例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk5yk1+6yk2 = f k 初始条件y0 = 0，y1 = 1，输入信号 f k = 2k k，求系统的完全响应yk。特征根为齐次解yhk解解 ：(1) 求齐次方程yk5yk1+6yk2 = 0的齐次解yhk特征方程为0652 rr3, 221rrkkCCky3221h解解 ：(2) 求非齐次方程yk5yk1+6yk2 =fk的特解ypk由输入f k的形式，设方程的特解为将特解带入原差分方程即可求得常数A= 2。0,2pkAkkyk例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk5yk1

23、+6yk2 = f k 初始条件y0 = 0，y1 = 1，输入信号 f k = 2k k，求系统的完全响应yk。解解 ：(3) 求方程的全解，即系统的完全响应yk解得 C1= 1，C2= 10,232121phkkCCkykykykkk0021CCy1232 1 21CCy0,2321kkkykkk例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk5yk1+6yk2 = f k 初始条件y0 = 0，y1 = 1，输入信号 f k = 2k k，求系统的完全响应yk。l 若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。l 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。l 若初始条件发生变化，则须全部重新求解

24、。l 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。00ikyaini 数学模型: 求解方法： 根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式 再由初始状态确定待定系数。例 已知某线性时不变系统的动态方程式为:yk+3yk1+2yk2=fk 系统的初始状态为y1=0， y2= 1/2，求系统的零输入响应yxk 。解解： 系统的特征方程为系统的特征根为解得 C1=1，C2= 20232 rr2, 121rrkkxCCky)2() 1(2121412021 12121CCyCCy0)2(2) 1(kkykkx例 已

25、知某线性时不变系统的动态方程式为:yk+4yk1+4yk2=fk 系统的初始状态为y1=0， y2= 1/2，求系统的零输入响应yxk 。解解： 系统的特征方程为系统的特征根为（两相等实根） 解得 C1 = 4, C2= 40442 rr221 rrkkxCkCky)2()2(21022 121CCy142221CCy0,)2(4)2(4kkkykkx例 已知某线性时不变系统的动态方程式为:yk0.5yk1+yk2 0.5yk3 =fk 系统的初始状态为y1 = 2， y2= 1， y3= 8，求系统的零输入响应yxk 。解解： 系统的特征方程为系统的特征根为解得 C1= 1，C2= 0 ，C

26、5= 505 . 05 . 023rrrkrr2j3 , 21ej, 5 . 0kCkCCkykx2cos2sin)21(32122 121CCy14231CCy88321CCy0,2cos5)21(kkkykxo求解系统的零状态响应yf k方法： 1) 直接求解初始状态为零的差分方程。 2) 卷积法： 利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。 当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f k产生的响应称为系统的零状态响应，用yf k表示。2.系统的零状态响应卷积法求解卷积法求解系统零状态响应系统零状态响应yf k的思路的思路1) 将任意信号分解为将任意信号分解为单位脉冲序列单位脉冲序列的线性组

27、合的线性组合2) 求出求出单位脉冲序列单位脉冲序列作用在系统上的响应作用在系统上的响应 单位脉冲响应单位脉冲响应3) 利用利用线性时不变系统线性时不变系统的特性，即可求出任意的特性，即可求出任意序列序列f k激励下系统的激励下系统的零状态响应零状态响应yf k 。卷积法求解卷积法求解系统零状态响应系统零状态响应yf k推导推导由时不变特性由均匀特性由叠加特性khk nkhnknkhnfnknfnkhnfnknfTnn*khkfnkhnfkynf 例例 若描述某离散系统的差分方程为: 22 13kfkykyky已知激励 ,1 3( ) 2kf kk ( 1)2( 2) kkh kk 求系统的。解

28、：解：nkhnfkynf13( ) ( 1)2( 2) 2nk nk nnnkn 000,)41()2(6)21() 1(300kkknnknknk241 1 2( 1)( 2)( ) 55 2kkkk 5.5 n 单位脉冲响应单位脉冲响应hk定义定义n hk的求解的求解n 迭代法迭代法n等效初始条件法等效初始条件法n 阶跃响应阶跃响应gk的求解的求解hk 单位脉冲序列 k作用于离散时间LTI系统所产生的零状态响应称为单位脉冲响应, 用符号hk表示。00jkbikhajmjini对 N 阶LTI离散时间系统， hk满足方程hk 将 kj对系统的瞬时作用转化为系统的等效初始条件。 等效初始条件由

29、差分方程和h1 = h2 = = hn = 0 递推求出。例例1 描述某离散因果LTI系统的差分方程为 求系统的单位脉冲响应hk。22 13kfkykyky解：解：hk满足方程22 13kkhkhkh对于因果系统有h1 = h2 = 0，代入上面方程可推出122 1300hhh3 1203 1 1 hhh 注意：选择初始条件的基本原则是必须将k的作用体现在初始条件中可以选择h0和h1 或h1和h0作为初始条件解解：hk满足方程22 13kkhkhkh特征方程为特征根为齐次解的表达式为0232 rr2, 121rr0,)2() 1(21kCCkhkk代入初始条件，有10021 12121CChC

30、Ch解得 C1=1，C2= 2 ( 1)2( 2) kkh kk 例1 描述某离散因果LTI系统的差分方程为 求系统的单位脉冲响应hk。22 13kfkykyky 单位阶跃序列k作用在离散时间LTI系统上产生的零状态响应称为单位阶跃响应，用符号gk表示。1) 迭代法2) 经典法3) 利用单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系knnhkghk=gkgk1例2 求例1所述系统的单位阶跃响应 gk。 例1 若描述某离散时间LTI系统的差分方程为 例1 所述系统的单位脉冲响应为 3 12 2 y ky ky kf knknnknkg)2(2) 1(00141( 1)( 2) 236kkk 利用hk与gk 的

31、关系，可得hk = (1)k + 2(2)k k 5.6 nkhnfkhkfn* 将f k、hk中的自变量由k改为n； 把其中一个信号翻转，如将hn翻转得 hn ； 把hn平移k，k是参变量。k0图形右移，k0图形左移。 将f n与 hkn 相乘； 对乘积后的图形求和。已知f k = k，hk = ak k，0a1，计算yk = f k*hk10kh k n或 h n f k 0k1n或 f n 0n1h - n 例1 已知f k = k，hk = ak k，0a1，计算yk = f k*hk01nf n 0n1h - n 01nf n h k - n , k 0kk 0, f n与hkn图形

32、没有相遇yk=0例1 已知f k = k，hk = ak k，0a1，计算yk = f k*hk01nf n 0n1h - n 01nf n kh k - n ,0kk 0, f n与hkn图形相遇nkknaky0例1 已知f k = k，hk = ak k，0a1，计算yk = f k*hkk 0，f n与hkn图形相遇nkknaky0k 0， f n与hkn图形没有相遇yk=00k1y k 例2 计算 yk = RNk* RNkotherwise010 1NkkRNknN-101RNk 或 RNkn-(N-1)01RN-n例2 计算 yk = RNk* RNkotherwise010 1N

33、kkRNnN-101RNnk-(N-1)RNk -n ,k k 0 k 0时, RN n与RN kn图形没有相遇yk = 0nN-101RNnk-(N-1)RNk -n ,k10Nk 0 k N 1时，重合区间为0，k 110kkykn例2 计算 yk = RNk* RNkotherwise010 1NkkRNnN-101RNnk-(N-1)RNk -n ,k221NkN N1 k 2N 2时，重合区间为k (N1) ，N1kNkyNNkn1211)1( k 2N2时，RN n与RN kn图形不再相遇yk = 0例2 计算 yk = RNk* RNk k 0时, RN n与RN kn图形没有相遇yk = 0 0 k N 1时，重合区间为0，k 110kkykn N1 k 2N 2时， 重合区间为k (N1) ，N1kNkyNNkn1211)1( k 2N2时，RN n与RN kn图形不再相遇yk = 0N-101kRNk*RNk2N-2N234123