晶体学中的极射赤面投影和吴里夫网

1、第七章 晶体的极射赤面投影目的：目的：用二维图形来表示三维图形中晶向和晶面的对称配置用二维图形来表示三维图形中晶向和晶面的对称配置和测量它们之间的夹角。主要内容是介绍极射赤面投影法。和测量它们之间的夹角。主要内容是介绍极射赤面投影法。球面投影球面投影极射赤面投影和吴里夫网极射赤面投影和吴里夫网晶带的极射赤面投影晶带的极射赤面投影标准投影标准投影u 球面投影球面投影是将晶体多面体或空间点阵中的晶向和是将晶体多面体或空间点阵中的晶向和晶面投影到球面上的一种投影方法。晶面投影到球面上的一种投影方法。u投影方法投影方法：将晶体置于一个投影球的球心处，并假：将晶体置于一个投影球的球心处，并假定投影球的直

2、径很大，与其相比晶体的尺寸可以忽定投影球的直径很大，与其相比晶体的尺寸可以忽略不计，这样可以认为被投影的晶面都通过投影球略不计，这样可以认为被投影的晶面都通过投影球中心。（具体如下）中心。（具体如下） 7.1 球面投影 方法方法1. 如图，两个晶面拓展后如图，两个晶面拓展后与投影球表面相交出两个大圆与投影球表面相交出两个大圆，称为该平面的迹线，它们之，称为该平面的迹线，它们之间的夹角就是晶面夹角。间的夹角就是晶面夹角。 方法方法2.用两个晶面法线之间的用两个晶面法线之间的夹角表示晶面夹角大小，如图夹角表示晶面夹角大小，如图，两晶面法线的延长线与球面，两晶面法线的延长线与球面相交点相交点P1 和

3、和P2 （极点），夹角（极点），夹角就是两晶面间夹角大小。就是两晶面间夹角大小。 晶体中所有的点阵面，可晶体中所有的点阵面，可以从晶体内部的某点上作出以从晶体内部的某点上作出一组径向的法线加以表示。一组径向的法线加以表示。各法线将和该投影球的表面各法线将和该投影球的表面交成一组极点。交成一组极点。 如图表示的是立方晶体的如图表示的是立方晶体的100100极点，该图仅表示了极点，该图仅表示了立方晶体中的立方晶体中的100100面，用面，用每个晶面的极点在球面上的每个晶面的极点在球面上的位置来表示其对应的取向位置来表示其对应的取向。把投影球面想象成一个地球仪，以球心为原点建立坐标轴把投影球面想象成

4、一个地球仪，以球心为原点建立坐标轴几个概念：几个概念：赤道平面，纬线，经线，子午线（面），本初子午线赤道平面，纬线，经线，子午线（面），本初子午线对应的知道：对应的知道：纬度纬度，经度，经度，极距，极距 球面上任意一点球面上任意一点P P的位置可以用其所在处的经度的位置可以用其所在处的经度和极距和极距给出，给出， ( (?, ), )为投影点的球面坐标。为投影点的球面坐标。7.2 极射赤面投影和吴里夫网 由于球面投影在球面上测量角度不方便，因此，我们由于球面投影在球面上测量角度不方便，因此，我们采用采用保角保角的投影法的投影法，将球面投影转化为，将球面投影转化为二维的平面投影二维的平面投影。u

5、极射赤面投影：极射赤面投影：将球面投影再投影到赤道平面将球面投影再投影到赤道平面上去的一种上去的一种投影方法。投影方法。u投影方法：首先作出晶面和晶向的球面投影得到相应的投影方法：首先作出晶面和晶向的球面投影得到相应的极极点点，然后再以，然后再以S S极或极或N N极为投影方向，将极点向极为投影方向，将极点向赤道平面上赤道平面上投影投影。（举例如下）。（举例如下） 如右图，假如如右图，假如P P1 1为某晶面的为某晶面的极点，过极点，过P P1 1点向相对一侧的点向相对一侧的S S极引一直线，称为投影线，极引一直线，称为投影线，其与赤道平面的交点其与赤道平面的交点S S1 1即为即为P P1

6、1的极射赤面投影。的极射赤面投影。 为了区别投影点，通常将为了区别投影点，通常将上半球面上半球面的极点在极射赤面的极点在极射赤面上的投影点用上的投影点用“”表示，表示，下半球面下半球面的极点在极射赤的极点在极射赤面上的投影点用面上的投影点用“”表示。表示。 为了能够解决在极射赤面投影上度量晶面和晶向的位为了能够解决在极射赤面投影上度量晶面和晶向的位向关系，我们将经纬线网以相同的投影方法做出相应的极向关系，我们将经纬线网以相同的投影方法做出相应的极射赤面投影网：射赤面投影网：极式网和吴里夫网极式网和吴里夫网。 极式网：以赤道平面为投影面所得的极射赤面投影网。极式网：以赤道平面为投影面所得的极射赤

7、面投影网。 可以直接在极射赤面投影上读出极点的球面坐标。但是，它不能测量落在不同直径上的点之间的角度。（投影点落在同一直径上，其间的纬度差即为两晶面或晶向间的夹角） 吴里夫网吴里夫网：将经纬线网投影到过将经纬线网投影到过NSNS轴平面上的投影方法。轴平面上的投影方法。 实际应用的吴氏网投影基圆直径为20cm，大圆弧与小圆弧互相均分的角度间隔为2。7.3 极射赤面投影的性质及其应用 1.晶面间夹角的求法晶面间夹角的求法 在吴氏网中，最基本的应用是利用它在极射赤面投影图上直接测量直接测量晶面和晶向间的夹角晶面和晶向间的夹角。 如图，晶面极点A与B,C与D，E与F之间的夹角可沿其所在的大圆，数出其相

8、隔的度数即可求得。必须指出，角C-D和角E-F相等，因为它们的纬度差相等。假如A,B,C,D,E,F为晶向的极射赤面投影时，则所求得的角度即为晶向间的夹角。对于没有落在大圆弧上的极点，则需要将它旋转到大圆弧上测量。如图，要求图中两个极点所对应的晶面的角度，首先极射赤面投影图描绘在一张与吴氏网尺寸相同的透明纸上的，然后与吴氏网相重合，再以投影基圆的圆心为轴，转动透明纸上的极射赤面投影图，使被测的极点位于同一个大圆弧或大圆直径上，两个极点间的角度即为两晶面间的夹角。 2.2.晶体转动晶体转动 所谓晶体转动，是指已知转动轴的位向，要求测出转动一定角度后晶体的新位向，这个问题的实质是在吴氏网的帮助下是

9、在吴氏网的帮助下测量转动角的问题测量转动角的问题。晶体转动可以分为以下几种情况： （1）极点围绕中心轴的转动极点围绕中心轴的转动（转动轴垂直于投影面，此时轴的转动轴垂直于投影面，此时轴的 投影即为基圆圆心，转动角沿投投影即为基圆圆心，转动角沿投 影基圆的圆周度量即可影基圆的圆周度量即可）如图7.10所示，A2就是A1转动后的新位置。 （2）极点围绕位于投影面上的一个轴极点围绕位于投影面上的一个轴转动转动（转动轴平行于投影面，轴的转动轴平行于投影面，轴的投影为基圆直径，转动角沿纬线小投影为基圆直径，转动角沿纬线小圆弧度量圆弧度量）方法方法：转动投影图，使转动轴与吴氏使转动轴与吴氏网网NSNS轴重

10、合轴重合，将极点沿所在纬线向指定方向转动预定角度，即转动后极点新位置。（如：A A1 1 A A2 2）若转到投影图背面，则用不同符号标明（如：B B1 1B B1 1）；）；或反向延长到基圆圆心另一侧的等半径处（如：B B1 1B B2 2）。）。（3 3）极点围绕与投影相倾斜的轴转动）极点围绕与投影相倾斜的轴转动（转动轴与投（转动轴与投影面呈一定倾角）影面呈一定倾角）如：轴的投影为B1点，欲使A1绕B1顺时针转动48，步骤如下 转动投影图，使B1点落到吴氏网的赤道线WE上； 将A1、B1两极点同时绕NS轴转动，即移动B1B2（投影面圆心），同时，A1A2（沿自身所在纬线转过相同角度） 将A

11、2绕B2按预定方向和角度转过48角，则A2 A3； B2按步骤2中的逆向转回到原投影位置B1， 即（B2 B1）同时，（A3 A4） A4 即为A1绕B1转动48角后的新位置。 3.3.转换投影面转换投影面：将原投影面原投影面上的极射赤面投影转换到另一个新的投影面新的投影面上去。这是一种投影基圆圆心的移动过程。 如：要将原投影面O1上的极射赤面投影A1、B1、C1、D1转换到另一个新投影面O2上去。具体步骤：1）先转动新投影图透明纸，使新投影图极点O2落在吴氏网赤道直径上，然后沿赤道将O2移到投影基圆中心O1； 2）同时将原投影面O1上投影A1、B1、C1、D1各 沿其所在纬线移动同样角度到相

12、应新位置 A2、B2、C2、D2。7.4晶带的极射赤面投影 由晶带的定义可知，同一晶带内的各个晶面的法线一定位于一个平面上，这个由法线构成的平面与晶带轴相垂直。如果这些晶面集中于投影球的中心的话，有各个晶面的法线所构成的平面将与投影球相交成一个大圆，而晶带轴的极点必然在距大圆相距90的位置。所以它的极射赤面投影就十分简单：同属于一个晶带的所有晶面的极点在极射同属于一个晶带的所有晶面的极点在极射赤面投影上位于同一大圆弧上，晶带轴处在距此大圆弧赤面投影上位于同一大圆弧上，晶带轴处在距此大圆弧9090的位置上的位置上。 晶带极射赤面投影的作图法：例1、已知P1， P2点为同一晶带中的两个晶面（h1

13、k1 l1）和（h2 k2 l2）的极点,画出晶带大圆弧和晶带轴的极射赤面投影。 转动极射赤面投影图，使P1、P2 落到吴氏网的某个大圆弧上，画出此大圆弧，即为P1、P2所在晶带大圆弧； 沿吴氏网赤道直径向晶带大圆弧的内侧数90角，则T 点即为此晶带轴的极射赤面投影。7.5标准投影图 如果将晶体中的重要晶面都作出标准的极射赤面投影图，那么晶体结构中难以显示的晶体取向关系，晶带关系，晶面夹角关系等都可以一目了然。在作晶体的极射赤面投影时，通常选择对称性明选择对称性明显的低指数晶面显的低指数晶面，将晶体中各个晶面的极点都投将晶体中各个晶面的极点都投影到所选择的投影面上去，这样构成的极射赤面影到所选

14、择的投影面上去，这样构成的极射赤面投影图称为标准投影图，也叫极图投影图称为标准投影图，也叫极图。 如图是立方晶系分别以（001）和（011）为投影面的标准投影图。它反应的信息量很丰富。例如，每一个极点即代表其晶面，也代表垂直于该晶面的晶带轴的投影；“轴次”特征；属于一个晶带的所有晶面的法线应共面，并与晶带轴垂直，因此，属属于一个晶带的晶面的所有极点均位于同一个大圆上于一个晶带的晶面的所有极点均位于同一个大圆上，如（001）极图中（100） （111）（011） 在测定晶体取向时，标准投影图是很有用处的。因为他能一目了然地表明晶体中所有重要的相相对取向和对称关系对取向和对称关系。利用标准投影图可以不必经过计算就能定出投影定出投影图中所有极点的指数图中所有极点的指数。右图是更加详细的（001）标准立方晶系投影图。标准投影图使用中要注意注意以下几个方面。 （1）一般来说，晶体中的晶面是很多的，而标准极图只能标准极图只能标出一些低指数的重要晶面标出一些低指数的重要晶面，不过正是这些低指数晶面集中反映了材料的物理以及化学特性，因此，材料科学研究中基本够用。 （2）标准投影中有时不标对称符号，而改用大小不等的圆点来表示。 （3）在立方晶系中，由于晶面间夹角与点阵常数无关