第4题球比赛中的轮空问题毛

1、.c n第4题网球比赛中的轮空问题11名选手将要参加网球单打比赛， 组委会决定采用不设种子选手的淘汰赛方式决出冠 军，但对于比赛中必然会出现的轮空问题却有不同的意见，一种意见认为每一轮都要保证 尽可能多的运动员参加比赛，而另一种意见认为只允许第一轮中有运动员轮空，请你就以 下的三个问题分析这两种意见的异同点：比赛的总场次;比赛的轮数；(3)轮空人次。分析：淘汰赛即参加比赛的选手通过抽签，配对比赛，胜者进入下一轮，负者则失去了比赛资格；若一轮中将要参赛的选手数为奇数，则必然有人轮空，所以11人参加的比 赛必然会出现轮空现象，并且轮空人次与比赛规则有关。以下为了叙述方便，将第一种意 见称为“规则I

2、”，将后一种意见称为“规则n”。根据规则i,每一轮比赛最多只有一名运动员轮空，即当参加某轮比赛的选手为奇数个时，只需选择一名选手直接进入下一轮比赛即可,因此按规则i进行比赛的流程图(图4-3 -1)大致如下所示:图41口口口 口 口口口 口口 由以上流程图可看出，若采用规则I组织比赛，比赛总场次、轮数、轮空人次分别是10、 4、 2。若采用规则n组织比赛，需解决的关键问题是保证从第二轮起不能再出现轮空现象。根据经验，在所有的体育比赛中，均为决赛中有2人队）参加，半决赛时应有4人（队）参加比赛，而扌决赛应是E人队）参加角逐，依此类推，在淘汰赛中若不出现轮空运动员，参赛人数可以表示为2n（n N）

3、的形式。因此，从第二轮起，每轮参赛人数均是2的某次幕。由于23 v 11V 24，所以第二轮应有23 = 8人参加比赛，而第一轮应有 24 - 1仁5 人轮空，并决出8人参加第 二轮比赛，第三轮有 22 = 4人参赛，最后第四轮有 21 = 2人参赛决出冠军。由以上的分 析可知，采用规则n的比赛流程图 （图4 2）可写为如下形式：口口口 口口口 口口 口口口因此，本问题的结论为:轮数轮空人次規则【1042规则II1045解：略。回顾：以上分析了 11人参赛的情况，从结论可知，不论采用哪种规则，比赛的总场 次及比赛的轮数均相同，是否能得到以下更具一般性的结论：无论多少人参赛，组委会关 于轮空问题

4、的意见分歧不能改变比赛的总场次及轮数。显然上面的结论对于参赛人数为2n的情况成立，因为在这种情况下不产生轮空运动n轮比赛，每轮比赛的场次分别为员，关于轮空的分歧不对赛程产生影响，其中将共进行2n-1,2n-2，4,2,1场，所以无论采用哪种规则，总场次均为2n-1 + 2n-2+4+ 2+仁2n-1场，即场次比参赛人数少1,而这一结论也可由淘汰制的特点得到：淘汰赛中，每场比赛必有1人（队）因失利而失去比赛资格，并且只有冠军获得者一场未败，所以无论 多少人参赛，总要有（参赛人数-1）个运动员被淘汰，即需要进行（参赛人数-1）场比赛，因而比赛的场次与参赛人数有关，与轮空的安排无关。若参赛人数P不为

5、2n（n N）的形式，则一定能找到某个自然数n使2n-1 v Pv 2n，若采用规则n,第一轮比赛后将有 2n-1个运动员参加第二轮比赛，所以需要进行n轮的比赛；若采用规则I,将要参加第二轮比赛的运动员数在（2 n-2, 2n-1 内，第三轮时有资格参赛的人数在区间（2 n-3 , 2n-2内，因为最后一轮总是 2人参加比赛，可以推得只需且必须 n轮 才能完成比赛。由以上的分析可知，组委会的意见分歧对比赛的轮数及场次不产生影响，因此选用哪一规则应根据它们遇到轮空问题时的合理性。在本问题中，由于11人参赛，规则I与规则n相比，合理性体现在轮空运动员少于规则n,但缺点在于半决赛时还有一名选手轮空，

6、增加了参加冠亚军决赛运动员的偶然性。因此，我们很容易提出下面的问题：是否有这样的参赛人数，使得在采用规则I时轮空运动员的人次比采用规则n的多。要回答上面的问题，应首先注意到，采用规则I组织比赛，每一轮最多一人轮空，最后一轮时不会有人轮空，因此，轮空的总人次总是不大于（比赛轮数-1 ），当且仅当每轮的参赛人数均为奇数时，轮空人次才能达到（比赛轮数-1）。例如：共17人参赛，第二轮时剩9人，第三轮时剩5人，第四轮时剩3人，第五轮时2人参加决赛，除去最后一轮， 前4轮中均有一人轮空；但采用规则n,第二轮时应有16人参赛，所以第一轮共有15人轮空。为了得到更一般的规律，下面考察参赛人数分别为9, 10

7、 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15, 16时的轮空情况:亍人数 轮空農7 规4910 111213141,16规则！32 212110规则II76 43.210.c n由上表，当参赛人数位于】23 , 24时，采用规则I产生的轮空数不会多于采用规则H。一般地，若有P名选手参赛，且2n-1 v pw 2n (n N),则采用规则I,最多产生(n- 1) 人次轮空，而采用规则n,将有 (2n - P)名选手在第一轮轮空，要说明采用规则I不会产 生比规则H多的轮空，只需考察P= 2n , 2n - 1 , 2n - 2，2n - n + 2即可，即只需考虑不大于2n且与2n最接近的(

8、n- 1)个数。又因为P= 2n时，两种规则均不产生轮空现象， P = 2 n - 1时，两种规则均为在第一轮有一人轮空，比赛流程图完全一样，所以只要考虑P为从(2n - 2)到(2n - n + 2)的这(n- 3)个数。当n= 5时，只要考虑 P为29, 30这两种 情况，n= 6时，只需考虑P为62, 61, 60三种情况，n= 7时，只需考虑P为126 , 125 , 124,123四种情况，。下面是以上各种情况的结论：29306061621上;124125126规则】211212121规则II324325432由上面的结论可知：在比赛人数不多于128人时，采用规则I将在轮空人次上体现

9、出其合理性，而采用规则n,将在比赛的偶然性上体现出其合理性，也就是说这两种比赛规 则各有利弊。在通常的淘汰制比赛中，一般是通过设立种子选手的方法解决问题，即让种 子选手在第一轮轮空， 非种子选手参加第一轮比赛， 种子选手人数的多少按下列原则确定： 第一轮中的非种子选手为偶数，且非种子选手数的一半与种子选手数的和为2n的形式。注：在本问题中，用到了两种解决数学问题常用的思想方法，即由特殊到一般的推理 思想和小型模拟实验与理论分析相结合的方法。当遇到一个全新的数学问题而对问题的解决束手无策时，运用这两种方法可以使解题思路逐渐打开，并在分析中不断扩大问题空间，最终达到解决问题、引申问题的目的。希望你

10、能在完成练习3和练习4时，再次体会到运用这两种方法所能带给你的帮助。练习41若22人报名参加淘汰制的网球单打比赛，设多少名种子选手比较好。2 若参赛人数在129到256之间时，为了证明采用规则I不会产生更多的轮空人次， 应考察哪几个数。3 在黑板上随意写1995个“ + ”或“-”，按以下规律擦去：每次随意擦去 2个符号，然后按擦去同号添一个“ + ”，擦去异号添一个“-”号的原则操作。问：（1）经过 多少次操作后不能再次进行下去。 （2）最后的操作结果与操作过程有无关系，为什么？（3）最后结果与原始状态的“ + ”“ - ”符号的多少有何关系，为什么？4 .已知线段AB的端点A为红色，B为蓝

11、色，在 AB间添上n个红或蓝色的点，将 AB 分成n+1条小线段，若定义一条两端颜色不同的线段为标准线段，问标准线段条数的奇偶性与n的大小有无关系，与添加点的颜色有何关系？练习4答案1 因为22人参加比赛，而24v 22V25,所以最佳状态为第二轮时 应有16人参加比赛，所以应设32-22=10名种子选手为宜。2 根据问题中的分析，只需考察 n为254, 253, 252, 251, 250 这五种情况，其轮空人次如附表 4-1所示：Pff 表 41规则250251252253254规则I121.22规则n654313. （1）每操作一次，黑板上的符号减少一个，最后不能操作时只剩 下一个符号，

12、因此共可进行1994次操作。(2)可以通过小型模拟实验得到结论：(1)如附表4-1所示，随意写出五个符号，改变操作顺序，观察其结 果如何：+ + - + 1 + +- + -第一次 注：每次操作是指 + - + - + + -第二次 擦去划线的两 +二.-第三次个符号，然后按+ + -第四次要求添加相应 + +的符号2) 改变初始状态时符号的个数或顺序，重复心中的操作可得到下面 的结论：最后结果与操作过程无关。因为，每次操作后， “-”号要么减少两 个，要么个数保持不变，所以若把“ + ”看作 1,“ - ”看作-1,每次操 作黑板上所有符号的积保持不变，所以最后结果与操作顺序无关。(3)由(2)中结论知，操作结果的符号由黑板上符号的原始状态决定。 如果1995个符号中，共有偶数个“-”，则最后为“ + ”，如果1995个 符号中共有奇数个“-”，则最后结果为“-”。4. 由已知条件：n=0时只有一条标准线段；n=1时，不论加入红色 点还是蓝色的点，标准线段条数不变，均为 1; n=2时，也就是在n=1 的条件下再加入一点，如图所示：不妨设C点为红点，1) 若在AC间