北京市大兴区2013届高三下学期4月统一练习[一模考试]数学(理科)试题及答案

1、、选择题北京市大兴区2013届高三下学期4月统一练习数学(理科)(1)复数(1.i)2的值是(a) 2(b) |2(c) 2i(d) |2i(2)若集合m_y|y_2xp 二y|y 二 vxg,则 m,(a) y i y1(b)y|y 1(c)y| y0(d)y|y 0(3)执行如图所示的程序框图.若(a) -21(b)11(c) 43(d) 86(4)双曲线x2my1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于1 (a)4(b)(c) 2(d)(5)已知平面直线卜列命题中不正确的是(a)若 m(b)若 mn 5,则输出s的值是(c)若 m(d)若 m(6)函数 f(x)1 cos2 xcosx,、， t

2、t tt(a)在(一，一)上递增2 2(b)在(:,0上递增，在(0, j上递减(0在(二)上递减2 2(d)在(/,0上递减，在(0,1)上递增(7)若实数a,b满足a2 b2 2, n n).把满足 f0(x)二 x (x0,1 )的x的个数称为函数f(x)的 n周期点”.则f(x)的2周期点是;n周期点是三、解答题(15)(本小题满分13分). . 3一在 abc 中，角 a, b,c 的对边分别为 a, b, c, cosa b b j2 .5 4.(i )求a的值；(n pjtsinc m abc 的面积.(16)(本小题满分13分)期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学

3、的数学与物理成绩，如下表:学生aa2a3a4a数学8991939597物理8789899293(1)分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。(1)从4名数学成绩在90分以上的同学中选 2人参加一项活动，以 x表示选中同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量 x的分布列及数学期望 e(x)的值.(17)(本小题满分13分)如图，直三棱柱 abca1b1c1中，&abc是等边三角形，d是bc的中点.(i )求证： aib平面 adc1；(ii)若 ab=bbi=2,求aid与平面acid所成角的正弦值.理科q商(18)本本小题满分14分)已知函数 f (

4、x尸-xf-a2 , x(1x) (x|1)2j(i )求函数f(x)的单调区间；(n)函数f(x)在区间2,一置;)上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由.19.(本小题满分14分)已知动点p到点a (-2,0)与点b (2,0)的斜率之积为 1，点p的轨迹为曲线co 4(i )求曲线c的方程；(n)若点q为曲线c上的一点，直线 aq, bq与直线x=4分别交于m、n两点，直线bm与椭圆的交点为d。求证，a、d、n三点共线。(20)本本小题满分13分)已知数列an的各项均为正整数，且 a a2 i an ,n设集合 a x| x iai, i 1,或 i 0,或 i 1(

5、10k&n)。 i 1 k性质1若对于x a,存在唯一一组i (i 1,2, , k)使xiai成立，则称数列an为完备数i 1列，当k取最大值时称数列an为k阶完备数列。 k性质2若记mkai(1 k n),且对于任意x 2时，f(x)有最小值2 a; 2 a 0,0。a 2时,f(x)没有最小值。综上所述：当a 2时，f(x)有最小值2f (x)没有最小值。(19)(本题满分14分)解：(i )设p点坐标(x,y),则kap由已知y-x 2 x 2所求曲线c的方程为1,化简得：42x 2 一y 1 (4yx2x4(x 2), kbp(ii)由已知直线aq的斜率存在,且不等于0,设方程为y

6、k(x 2),y2 1.2)。24yy k(x4,消去2)y得:2222,“、4k )x 16k x 16k4 0( 1).(111002102n10n 111002102n10n 1,即因为xq是方程(1)的两个根,所以xq16k2j，得 xq2 8k21 4k2，又vqk(xq2)k(12 8k24 k22)所以1 4k2 8k2 4k 、q(工,2-) 1 4k 1 4k4,得ym6k,即 m(4,6k)。又直线bq的斜率为1 (x 4k2),当x 4时,1r一1信 vn,即 n(4,)。2k2k直线bm的斜率为3k ,方程为y3k(x2)。2/2x 4yy 3k(x4 ,消去y得:2)

7、(12236k )x.2. 2144k x 144k4(2)因为2xd是方程(2)的两个根，所以xd144k2 42- )1 36k得xd72j2，又 vd1 36k23k(xd 2)由上述计算:a( 2,0)一 2 一72k2d( 51 36k212k21 36k12k2 )1 36k2，即d(逑2,1 36k2因为kad1-i- , kan12k1询,所以所以a、d、n三点共线。(20)(本题满分13分)解：(i) a2 4, 3,2, 1,0,123,4；an为2阶完备数列，n阶完整数列，2阶完美数歹u；(n)若对于 x an，假设存在2组i及i ( i12k 、2) 01 36k1,2

8、 , n )使 xi3i成立，则有i 1(11)100( 22)101(nn)10n10 ,其中i, i 1,0,1，必有3ki3k所以仅存在唯一一组i (i1,2iai成立,即数列an为n阶完备数列;sn0 ,对 x an, x-a-(i)ai ,因为 i 1,0,1,则 i 1i 1,0,1，所以 xan,即sn（出）若存在n阶完美数列，则由性质onn oon入 u vlm 必,看3 3n 1,21易知an中必有3n个元素，由（n ）知 an中元素成对出现（互为相反数），且0 an ,又an具有性质2,则an中3n个元素必为卜面用数学归纳法证明an3n 1显然n 1,2时命题成立，假设当 n1,kn）时命题成立，即kkad1,0,1,3kk3 3,2当n k 1时，只需证ak1 |0,3k(3k2) 33kkk k cckmh,3n31 (3k 2)于对称性只写出了一3k（3k 2）ak 1元素正的部分，其中 1 2既ak中正的部分的3k 1+3ki ,3一1个元素统一为3一其中i 1,3,5, 22,3k3k 13k 3k 23k 1则ak 1中从31 ,到3-3-2这31个元素可以用3k-唯一表示其中i 1,3,5,3k 2,k31 、