增长年金31贴现精编版

1、内容内容l3.1 贴现：贴现的计算贴现：贴现的计算 ，贴现率，等值性。，贴现率，等值性。l3.2 简化公式：一系列有规律的现金流的复利与简化公式：一系列有规律的现金流的复利与贴现计算。贴现计算。l永续年金，永续增长年金。永续年金，永续增长年金。l年金，增长年金。年金，增长年金。3.1 贴现贴现 Discounting 1 贴现的计算l确定未来金额之现在价值的确定未来金额之现在价值的过程过程l与复利计算与复利计算(compounding)正好相反正好相反l现值（现值（present value,PV）公式：公式：l复利终值（复利终值（futurevalue,FV）公式：公式： ttrCPV 1

2、trCFV 10复利终值复利终值（future value, compound value）公式：）公式：表示（复利终值系数，以)n, i ,P/F)i()i(PVFVnn11 现值现值（PV）将来的一笔收付款折合为现在的价值。)n, i ,F/P(FV)i(FVPVn1复利现值系数复利现值系数 1/(1+ i ) n 计作计作（P/F，i，n) 计算现值的过程也叫做贴现，其中最重要的是确定贴现率。计算现值的过程也叫做贴现，其中最重要的是确定贴现率。l在复利计算下：现值终值现值终值复利现值系数复利现值系数终值现值终值现值复利终值系数复利终值系数l在同期限及同利率下:复利现值系数与复利终值系数互

3、为倒数关系。l基本假设：基本假设：l再投资风险为零l不同期限的投资收益率相同，即收益率曲线是水平的。l如果你能投资赚取如果你能投资赚取10%年收益，且得到了年收益，且得到了一年后收入一年后收入$1的承诺，这项承诺今天价值的承诺，这项承诺今天价值多少？多少？l如果如果$1是要等两年后才能得到呢？是要等两年后才能得到呢？现金流量图现金流量图单期贴现单期贴现Single-period discountingInterest rate = 10%01$1P = ?909. 0$10.11$ P现金流量图现金流量图双期贴现双期贴现Two-period discountingInterest rate =

4、 10%012$1P = ? 826. 0$10.11$2 P2 现值系数现值系数与与现值表现值表r =t1%2%3%1.990.980.9712.980.961.943现值系数现值系数present value factor tr 113 贴现率贴现率 Discount Ratel投资者资金的机会成本投资者资金的机会成本l亦即投资者的预期收益率亦即投资者的预期收益率l常被用于就风险来调整投资的现金流量，所以又称常被用于就风险来调整投资的现金流量，所以又称风险调整贴现率风险调整贴现率 (risk-adjusted discount rate)风险调整贴现率的构成风险调整贴现率的构成Risk-a

5、djusted discount rate风险调整贴现率风险调整贴现率 = 无风险利率无风险利率+通胀率通胀率+风险溢价风险溢价Risk-free interest rate对机会成本对机会成本的补偿的补偿Inflation premium对购买力下降的对购买力下降的补偿补偿Risk premium对所担风险的补对所担风险的补偿随投资风险增偿随投资风险增大而增加大而增加Expected return风险资产的预期风险资产的预期收益率收益率风险调整贴现率的另一种表示风险调整贴现率的另一种表示风险调整贴现率风险调整贴现率 = 政府债券利率政府债券利率+风险溢价风险溢价前两项和相当于政府债前两项和相

6、当于政府债券的预期收益率券的预期收益率/银行存银行存款利率款利率复利与贴现计算举例复利与贴现计算举例例例1：老张正考虑出售一片空地。昨天，甲提出以：老张正考虑出售一片空地。昨天，甲提出以10万元作一次性征地补偿，他正准备接受；又有一万元作一次性征地补偿，他正准备接受；又有一个人乙报价个人乙报价107,219元，但元，但3年后付款。已知两买年后付款。已知两买主皆有诚意，且均有支付能力，他应选择哪个报主皆有诚意，且均有支付能力，他应选择哪个报价呢？价呢？（银行利率（银行利率2%） 解解1：终值法：终值法若接受报价若接受报价1，将￥，将￥10万存入银行，则万存入银行，则3年后价年后价值值￥100,0

7、00(1.02)3 = 10,000(1.061) = ￥106,100r，公式无意义，公式无意义 (grow broke?)永续增长年金现值公式的要点（三）永续增长年金现值公式的要点（三）时间的假定时间的假定 The Timing Assumptionl现实世界中，现金的流入流出是随机的、并现实世界中，现金的流入流出是随机的、并几乎是连续不断的几乎是连续不断的l在公式中，我们假定现金流的支取是有规律在公式中，我们假定现金流的支取是有规律的，这样可以节约很多计算时间，因而是合的，这样可以节约很多计算时间，因而是合理的，应用中只要不忘这是一个理的，应用中只要不忘这是一个“假定假定”3 年金年金

8、Annuityl持续一段时期的等额现金流，最常见的金融工具，如：持续一段时期的等额现金流，最常见的金融工具，如：l养老金的发放养老金的发放l抵押贷款的等额还款抵押贷款的等额还款l租赁费缴纳租赁费缴纳 ?111132 trCrCrCrCPV仅收了仅收了t期利期利息的金边债券息的金边债券普通年金普通年金后付年金，在各期期末收付的年金后付年金，在各期期末收付的年金 0 1 2 3 4 5(1+0.1)0=1.0 (1+0.1)1=1.1 (1+0.1)2=1.21 (1+0.1)3=1.331普通年金终值普通年金终值 ii)(1n1普通年金终值系数普通年金终值系数记作：（F/A, i , n）i)i

9、(A)i(A)i(A)i(AAFVnn1111112年金现值简化公式的推导年金现值简化公式的推导期期/年末年末0123tt+1t+2现在现在金边债券金边债券1CCCCCC金边债券金边债券2CC年金年金CCCC金边债券金边债券1为一个正常的从第为一个正常的从第1期开始付息的金边债券；期开始付息的金边债券；金边债券金边债券2则从则从t+1期开始付息。期开始付息。年金现值简化公式的推导（续）年金现值简化公式的推导（续）l一个一个t期内每期收到￥期内每期收到￥C的年金现值，正好等于金边债券的年金现值，正好等于金边债券1的现值减去金边债券的现值减去金边债券2的现值：的现值：金边债券金边债券1的现值：的现

10、值：rCPV 金边债券金边债券2的现值：的现值： trrCPV11年金现值的简化公式年金现值的简化公式大括号内为大括号内为年金现值系数年金现值系数Annuity factortrA请自行推导年金终值公式（年付请自行推导年金终值公式（年付息￥息￥C，为期，为期t年，年，1年后起付）年后起付） ttrrrCrrCrCPV111111 普通年金现值普通年金现值 普通年金现值普通年金现值nnni)i(i)(A)i(A)i(AiAPV1111112nni)i(1i)(11普通年金现值系数普通年金现值系数记作：（P/A, i , n）年金现值计算举例年金现值计算举例例：广药足球队雇佣了一名现役国脚，合约承

11、诺每例：广药足球队雇佣了一名现役国脚，合约承诺每年酬金￥年酬金￥50万，在年末支付，共计万，在年末支付，共计4年。若该名球年。若该名球员有每年员有每年16%的收益机会，该合约目前的价值是的收益机会，该合约目前的价值是多少？多少？ ￥200万合约的现值万合约的现值解解1：分期单独贴现：分期单独贴现PV = ￥500,000(.862+.743+.641+.552) = ￥1,399,000 解解2：年金现值简化公式：年金现值简化公式 000,399, 1000,50016. 116.116.1000,500416.4￥ APV2.798￥1,399,000 = ￥500,0004年年期初本金期初

12、本金16%16%的利息的利息期末本金期末本金提款提款1￥1,399,000￥223,840 ￥1,622,840￥500,00021,122,840179,6541,302,494500,0003802,494128,399930,894500,0004430,89468,943499,836500,000账户在最后一次提款前尚缺账户在最后一次提款前尚缺￥164是由于四舍五入误差是由于四舍五入误差年金把戏年金把戏 (一一)递延年金递延年金 Deferred annuityl多期以后开始的年金多期以后开始的年金l指第一次支付发生在第2期或第3期以后的年金递延年金递延年金递延年金的终值计算方法：递

13、延年金的终值计算方法：FV=A(F/A，i，n) 递延年金的现值计算递延年金的现值计算 l方法方法1：l是把递延年金视为n期普通年金，求出递延期末的现值，然后再将此现值调整到第一期初。l方法方法2：l是假设递延期中也进行支付，先求出(m+n)期的年金现值，然后，扣除实际并未支付的递延期(m)的年金现值，即可得出最终结果。例：例：D先生在六年后开始的四年之内，每年会收到￥先生在六年后开始的四年之内，每年会收到￥500，若利，若利率为率为10%，该年金的现值多少？，该年金的现值多少？ 0896751324￥500/年年要弄清确要弄清确切时间切时间解：计算过程包括两步解：计算过程包括两步1.用简化公

14、式计算年金在用简化公式计算年金在“现现”值值递延年金的分步贴现递延年金的分步贴现 585, 150010. 110.110.1500410.4￥ A易被误当易被误当作第作第6期期3.170 29.98410.11585, 15￥ 0.621将第将第5期的期的“现现”值贴现到当前值贴现到当前年金把戏年金把戏 (二二) 先付年金与后付年金先付年金与后付年金 Annuity in advance & Annuity in arrearsl后付年金：年金的首次支付发生在第后付年金：年金的首次支付发生在第1期期l先付年金：年金的首次支付发生在第先付年金：年金的首次支付发生在第0期期现在现在预付年金预付年

15、金先付年金，在每期期初支付的年金先付年金，在每期期初支付的年金1i 1) i1(AFV1n1i 1) i1(1n预付年金终值系数预付年金终值系数记作：记作： (F/A，i，n+1)-1预付年金现值预付年金现值 V预付年金现值系数预付年金现值系数记作：记作： (p/A，i，n-1)+1普通年金与先付年金的现金流量和次数相同，但发生普通年金与先付年金的现金流量和次数相同，但发生的时间不同。因此其终值和现值的计算不同。的时间不同。因此其终值和现值的计算不同。若前例球员的为期四年每年￥若前例球员的为期四年每年￥50万万的年薪不是一年后才开始支付，而的年薪不是一年后才开始支付，而是签约后立刻支付第是签约

16、后立刻支付第1年的年薪，年的年薪，则合约现值又是多少？则合约现值又是多少？先付年金的现值先付年金的现值解：解： 0期的支付期的支付 + 3期后付年金的现值期后付年金的现值000,623, 1000,500000,500316.￥ APV切记：前述简化公式和切记：前述简化公式和年金现值系数表都是适用于年金现值系数表都是适用于后付年金的后付年金的l有限时期内按固定比率增长的现金流有限时期内按固定比率增长的现金流l较永续增长年金常见，计算公式更为有用较永续增长年金常见，计算公式更为有用4 增长年金增长年金 Growing annuity增长年金现值的简化公式：增长年金现值的简化公式： trggrCP

17、V111第第1期开始期开始支付的数额支付的数额年金支付年金支付持续期持续期利率利率每期增长率每期增长率推导方法可参照推导方法可参照年金现值公式年金现值公式增长年金现值计算举例增长年金现值计算举例例：王五是一名管科系三年级的学生，她已签订一份每例：王五是一名管科系三年级的学生，她已签订一份每年￥年￥18,000薪金的工作（薪金的工作（1年后开始支付），预计年薪年后开始支付），预计年薪每年会增长每年会增长5%，直到，直到40年后她退休为止，若年利率为年后她退休为止，若年利率为10%，她工作期间收入的现值为多少？，她工作期间收入的现值为多少？ 解：解：不吃不喝工作一不吃不喝工作一辈子，够不够买辈子，

18、够不够买一套房子一套房子 ？70.002,30410. 105. 1105.10.000,1840￥ PV小结小结l贴现是确定未来金额之现在价值的过程，与复贴现是确定未来金额之现在价值的过程，与复利计算利计算(compounding)正好相反。正好相反。l投资者资金的机会成本亦即投资者的预期收益投资者资金的机会成本亦即投资者的预期收益率，常被用于就风险来调整投资的现金流量，率，常被用于就风险来调整投资的现金流量，所以又称风险调整贴现率所以又称风险调整贴现率 。l等值性：等值性：现值金额与未来现金流量在价值现值金额与未来现金流量在价值上完全相等。上完全相等。若今天你有现值金额，只若今天你有现值金额，只需按贴现率投资，就可以将它转换成未需按贴现率投资，就可以将它转换成未来的现金流量。来的现金流量。年金年金 Annuityl年金：等额、定期的系列收支l养老金的发放、抵押贷款的等额还款、租赁费缴纳普通年金，即后付年金，普通年金，即后付年金，于各期末收付的年金于各期末收付的年金01234预付年金，即于各期期初预付年金，即于各期期初收付的年金收付的年金01234递延年金，第一次收付发生递延年金，第一次收付发生在第二期或第二期以后年金在第二期或第二期以后年金012