多元函数的极值ppt课件

1、第六节第六节 多元函数的极值多元函数的极值一、多元函数的极值一、多元函数的极值二、多元函数的最大值二、多元函数的最大值与最小值与最小值三、条件极值三、条件极值一、多元函数的极值定义10.7 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，假设在该邻域内任何点(x,y)的函数值恒有f(x,y)f(x0,y0) (或f(x,y)f(x0,y0)，那么称点(x0,y0)为函数的极大值点(或极小值点).f(x0,y0)为极大值(或极小值)，极大值和极小值统称为极值.极大值点和极小值点统称为极值点.例1 函数 ，在原点(0,0)处获得极小值1.由于，对于任何点(x,y)(0,0)，都有222

2、1),(yxyxff(x,y)f(0,0)=1,这个极小值也是最小值.该函数的图形是椭圆抛物面.在曲面上点(0,0,1)的z坐标小于曲面上其他点的z坐标.例2 函数 ，在原点(0,0)处获得极大值1.由于对于任何(x,y)(0,0)，都有f(x,y)f(0,0)=1这个函数的图形是椭圆抛物面.在曲面上点(0,0,1)的z坐标大于曲面上其他点的z坐标.2221),(yxyxf定理10.6 (极值存在的必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)获得极值，且在该点的偏导数存在，那么必有. 0),( , 0),(0000yxfyxfyx证 由于z=f(x,y)在点(x0,y0)获得极值，所以

3、当y坚持常量y0时，对一元函数z=f(x,y0)在点x0点也必有极值，根据一元函数极值存在的必要条件，得. 0),(00yxfx同理可证. 0),(00yxfy使 同时成立的点(x0,y0),称为函数f(x,y)的驻点.0),(, 0),(0000yxfyxfyx容易看出驻点(0,0)不是函数的极值点. 留意：驻点不一定是函数的极值点.例如，函数z=x2y2，在点(0,0)处的两个偏导数同时为零，即. 0)0 , 0( , 0)0 , 0(yxzz 还要留意：极值点也能够不是驻点，由于偏导数不存在的点也能够是极值点，如锥面 的顶点(0,0,1)，偏导数不存在，但顶点是极值点.221yxz定理1

4、0.7(极值的充分条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有延续的一阶与二阶偏导数，且(x0,y0)是函数的一个驻点，即 ,记 ，那么0),(, 0),(0000yxfyxfyx),(),(),(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx(1) 当B2AC0，且A0时,(x0,y0)为极大值点，f(x0,y0)为极大值；当B2AC0时，(x0,y0)为极小值点，f(x0,y0)为极小值.(2) 当B2AC0时，f(x0,y0)不是极值.(3) 当B2AC=0时，f(x0,y0)能够为极值，也能够不是极值，此法失效.0),(, 0),(yxfyxfyx 综合定理10.6

5、，定理10.7，对于具有二阶延续偏导数的函数z=f(x,y)求其极值的步骤如下：2.求出二阶偏导数 ，并对每一驻点，求出二阶偏导数的值A，B，C.),(),(),(yxfyxfyxfyyxyxx1.求方程组的一真实数解，得到一切驻点.3.对每一驻点(x0,y0)，定出B2AC的符号，按照定理10.7的结结论定f(x0,y0)能否为极值，是极大值还是极小值.例3 求函数 的极值.的一真实数解，得驻点(1,0).在(1,0)点处，有A=2，B= 1，C=2.B2AC= 30，由极值的充分条件，得f(1,0)= 1为极小值.yxyxyxz222解 求方程组012, 022yxzyxzyx求函数的二阶

6、偏导数. 2 , 1 , 2yyxyxxzzz例4 求函数 的极值.)2(e),(22yxyxfyx的一真实数解，得驻点(0,0)，(4,2).解 求方程组0e4)2(e),(, 0e2)2(e),(2222yxyxyyxyxxyyxyxfxyxyxf求函数f的二阶偏导数，),242(e),(22xyxyxfyxxx),422(e),(22yxxyyxfyxxy).482(e),(22yyxyxfyxyy由极值的充分条件知，知(0,0)不是极值点，f(0,0)=0不是函数的极值.在(4,2)点处，有而A0如何求函数z=f(x,y)在区域D上的最大值、最小值呢？假设f(x,y)在D上可微，可先求

7、出函数在该区域内的一切驻点处的函数值及函数在区域边境上的最大值与最小值.在这些函数值中的最大的就是函数在D上的最大值，最小的就是函数在D上的最小值.二、多元函数的最大值与最小值例5 要用铁板做一个体积为常数a的有盖的长方体水箱，问水箱各边的尺寸多大时，用资料最省. 解 设水箱的长、宽、高分别为x，y，z，于是体积a=xyz，外表积A为 A=2(xy+xz+yz).将 代入A的表达式中，得xyaz .2),(yaxaxyyxA由第一个方程，得 ，将其代入第二个方程，得2xay 04 xax 0 x 3ax ，于是3 ay ).,(),(33aayxA的唯一驻点得函数求函数A(x,y)的驻点.02

8、, 0222yaxyAxayxA根据实践问题可以断定，A(x,y)在D内一定有最小值，而在D内只需独一驻点 ，那么该驻点就是A(x,y)的最小值点，即当 时，面积A获得最小值.此时高 ，即水箱为正立方体，每边长为 时，所用资料最省.),(33aa33 , ayax3a3axyaz三、条件极值从上述例5我们看到，求水箱用料最省这一实践问题转化为数学问题就是求二元函数(1) 2),(yaxaxyyxA在x0，y0时的最小值问题.但是，从函数A(x,y)的建立过程也可以看成是求三元函数 A=2(xy+xz+yz)在约束条件 xyz=a下的最小值，这就是条件极值问题，其普通提法是：求函数z=f(x,y

9、)，在约束条件 下的极值，称这种类型的极值问题为条件极值问题.相对于条件极值，我们把函数(1)的极值问题称为无条件极值问题.0),(yx拉格朗日乘数法 求函数z=f(x,y)在条件 下的极值，按以下方法进展：0),(yx构造辅助函数 ，其中 称为拉格朗日乘数.),(),(),(yxyxfyxF求 的偏导数，并建立方程组),(yxF. 0),(),(, 0),(),(),(, 0),(),(),(yxyxFyxyxfyxFyxyxfyxFyyyxxx解该方程组，得x，y及，那么(x,y)是能够极值点的坐标.这种求条件极值的方法称为拉格朗日乘数法.例6 设周长为2p的矩形，绕它的一边旋转构成圆柱体

10、，求矩形的边长各为多少时，圆柱体的体积最大.解 设矩形的边长分别为x和y，且绕边长为y的边旋转，得到旋转圆柱体的体积为, 0 , 0 ,2yxyxV其中矩形边长x，y满足的约束条件是2x+2y=2p，即x+y=p.如今求函数 在条件x+yp=0下的最大值.yxyxfV2),(构造辅助函数：),(),(2pyxyxyxF求F(x,y)的偏导数，并建立方程组. 0),(, 0),(, 02),(2pyxyxFxyxFxyyxFyx由方程组中的第一、二两个方程消去，得2y=x，代入第三个方程，得.32 ,3pxpy根据实践问题，最大值一定存在，且只求得独一的能够极值点，所以函数的最大点必在 处取到.即，当矩形边长 时，绕y边旋转所得的圆柱体的体积最大， .pp31,32pypx31,323max274pV例7 某公司的两个工厂消费同样的产品,但所需本钱不同,第一个工厂消费x个产品和第二个工厂消费y个产品时的总本钱为z=x2+2y2+5xy+700,假设公司消费义务是500个产品,问每个工厂消费多少产品才干使总本钱最小?解 由题意知本钱函数为 z=x2+2y2+5xy+700 约束条件为 x+y=500构造辅助函数 F(x,y,)=x2+2y2+5xy+700+(