线性代数期末复习试题

1、2009-2010学年第一学期线性代数B一、填空题（每空 3分，共24分）1设1, 2, 3均为3维向量，已知矩阵 A （ 1, 2, 3）,B （ 123,3 19 227 3,2 14 28 3），且 A 1，那么 B 。2.设分块矩阵CA，B均为方阵，则下列命题正确的个数为3设DD的第一列上的所有元素的代数余子式之和为6.当矩阵A满足下面条件中的（注：此题可多选）（A）A可逆（C）A的列向量组线性无关7.设矩阵A，B分别为3维线性空间V中的线性变换T在某两组基下的矩阵,已知1, 2为（A）若A，B均可逆，则C也可逆（B）若A，B均为对称阵，则 C也为对称阵（C）若A，B均为正交阵，则 C

2、也为正交阵（D）若A，B均可对角化，则 C也可对角化2 3 4 13 4 5 14 5 6 17 8 9 14.设向量组（I）：1, 2丄,r可由向量组（II）：1 , 2丄,s线性表示，则（注此题单选）。 （A ）当 rs时，向量组（II）必线性相关（B） 当 rs时，向量组（II）必线性相关（C）当 rs时，向量组（1）必线性相关（D）当 rs时，向量组（1）必线性相关25.已知方阵A满足2A 3A O，则（A E）时，推理“若AB O，则B O ”可成立。（B）A为列满秩（即 A的秩等于A的列数）（D）A OA的特征值，B的所有对角元的和为 5，则矩阵B的全体特征值为 。8设Jn是所有元

3、素均为1的n阶方阵（n 2），则Jn的互不相同特征值的个数为 。200100112、（10分）已知矩阵A 011 ， B052，C101 ，矩阵P,X031021030满足PA B，PX C，求矩阵X。x13x2x3三、 （10 分） 设线性方程组 x14x2ax32x1x23x30b，问当参数a,b取何值时,51）此方程组无解2）此方程组有唯一解3）此方程组有无穷多解四、（10分）设A为4阶方阵，4维列向量b 0, R A2 ，若 p1, p2, p3, p4 都是非齐次方程组Ax b的解向量，且满足2320p1 p2， p2 p3， p3p40 2 31342104211）（6分）求齐次方

4、程组 Ax 0的一个基础解系。2）（ 4 分）求 Ax b 的通解。五、（ 16 分）将二次型222x1,x2,x3x1 4x2 6x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3 用正交变换化为标准形。六、（14分）设V为所有2阶方阵在矩阵的加法和数乘下构成的线性空间，定义V上的变换T如下：对任意x V，T XAX X T A ，其中 A1221， XT 表示 X 的转置矩阵。（1）（ 6 分）证明 T 是 V 上的一个线性变换。1 0 E010000（2）（ 8 分）求T在V的基E11， E12， E21， E220 0 12001001下的矩阵。b1a1a2b2 a2a3七、（1）（8 分）已知

5、向量组 a1,a2,L,an 线性无关，向量组b1,b2,L,bn 满足Mbn 1an 1anbnana1分别讨论当 n 4 和 n5时，向量组bi,b2,L ,bn是否线性相关2）（ 8 分）设 1，2为方阵A的两个不同的特征值,1, 2为A相应于1的两个线性无关的 特征 向量 ，2, 3 为 A 相应于 2 的两个线性 无关 的特 征向 量， 证明 向 量 组1, 2, 3, 4 线性无关。2007-2008学年第-学期线性代数B2007-2008学年第-学期线性代数B、（24分，填空与选择题）1.设A是m阶方阵，B是n阶方阵，且 A2设 A,B，A B均为可逆矩阵，则矩阵 A 1 B 1

6、也可逆,则其逆矩阵为（A.B(AB) 1A1 1B. A (A B) BC.(A1B 1)TD. (AT BT) 13.若A是5阶方阵，且A 4，则1a411 A*A2A.1- B.2C. 8D.以上答案均不正确。4.设3,4是齐次线性方程组Ax0的基础解系，则下列向量中不再是Ax 0的基础解系的为（34( B)(C)12,23,31 ,4(D)2， 21，415.若3阶方阵A的特征值为1,0,2，则与方阵A32E相似的对角矩阵6设3是非齐次线性方程组Axb的解,，则是Ax b的解的充分必要为k3，则AxO的解的充分必要为7设A、B为n阶方阵，且秩相等，即R（A） R（B），则有（A. R(A

7、 B) 0B.R(A B) 2R(A)C. R(A, B) 2R(A)D.R(代 B) R(A) R(B)8.已知实二次型为正定二次型f为公2,怡2 2 2为2x3 2ax1X2 2x2x3，则实常数a的取值范围为（10分）设矩阵A 0 2 2 ,已知多项式g xx3 2x2 1 ,求行列式g A 。1 0 3（8分）设A和B都是3阶方阵，E为单位阵，AB E A2 B，其中101A020，求 B。10113311四、（10分）已知向量组 10，2n ，35与向量组 13 ，2110m22有相同的秩，并且3可由1, 2线性表示，求 m, n的值。五、（10分）已知线性方程组x1 ax2 2x31x1 x2 ax32 ，问a取何值是方程组有无穷多解并用其对应的齐次线性方程组的基5x1 5x2 4x31础解系表示其通解。1六、（12分）设三阶实对称矩阵 A的秩为2， 12 6是A的二重特征值，若110221都是A的属于特征值6特征向量，求 A及它的另一个特征值与特征向量。