高二数学组合1完整版

1、一、复习1、排列的定义： 一般地说，从 n 个不同元素中，任取m(mn) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。2、排列数的定义： 从 n 个不同元素中取出 m (mn) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 表示。Amn3、排列数公式：)2( ) 1( nnnAnn 3 2 1nAnn！! )(! mnnAmn规定 0！=1) 1() 2( ) 1( +mnnnnAmn1全排列数（阶乘）全排列数（阶乘） 2阶乘变形阶乘变形 1!1,2!2,3!6,4!24,5!120,6!720,7!50402 !3

2、!( 3 )= 1 ! ,= 2( n + 1 ) != n !n!+ 123111112(5)-=,-=,11n-=n! (n+11!2!2! 2!3!3!)! (n+1)! !.n!nn,!,!113232121+ + + + !.n!nn!n,!,!1322221112+ + + + + + + + !.nn!n!n,!,! + + 122231124(1)、从甲、乙、丙、从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名去名去参加一项活动，参加一项活动，1名同学参加上午的活名同学参加上午的活动，动，1名同学参加下午的活动，有多少名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？种不同的选法？问题问题甲

3、乙甲乙乙丙乙丙乙甲乙甲丙乙丙乙甲丙甲丙丙甲丙甲23A 从从3名同学中选出名同学中选出2名，不同的选法有名，不同的选法有3种：种：甲、乙甲、乙 乙、丙乙、丙 丙、甲丙、甲 所选出的所选出的2名同学之间与名同学之间与无顺序关系无顺序关系，即甲、乙和乙、甲是同一种选法即甲、乙和乙、甲是同一种选法 。 (2) 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名去名去参加一项活动，有多少种不同的选法？参加一项活动，有多少种不同的选法？ 从不在同一条直线上的三点从不在同一条直线上的三点A A、B B、C C中，中，每次取出两个点作一条直线，问可以得到每次取出两个点作一条直线，问可以得到几条不同的直线？

4、几条不同的直线？ 根据直线的性质，过任意两点可以作根据直线的性质，过任意两点可以作一条直线，并且只能作一条直线，所以过一条直线，并且只能作一条直线，所以过 两点只能连成一条直线，因此可以得到三两点只能连成一条直线，因此可以得到三条直线：条直线：ABAB、BCBC、CACA，直线，直线ABAB与与BABA直线是直线是一条直线，这也就是说，一条直线，这也就是说，“把两点连成直把两点连成直线线”时，时，不考虑点的顺序不考虑点的顺序 。 以上两个引例所研究的问题是不同以上两个引例所研究的问题是不同的，但是它们有数量上的共同点，即它的，但是它们有数量上的共同点，即它们的实质都是：们的实质都是： 从从3个

5、不同的元素里每次取出个不同的元素里每次取出2个个元素，元素，不管怎样的顺序不管怎样的顺序并成一组，一并成一组，一共有多少不同的组？共有多少不同的组？ 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫做从个元素并成一组，叫做从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合。一、组合定义一、组合定义 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它的顺序无关，这是它的 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取个不同元素中

6、取出出m个元素的一个个元素的一个组合。组合。组合定义组合定义思考思考: :排列与组合的概念，它们有什么共同点、排列与组合的概念，它们有什么共同点、 不同点？不同点？ 共同点共同点:都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元个元素素” 不同点不同点:对于所取出的元素，排列要对于所取出的元素，排列要“按照一按照一定定的顺序排成一列的顺序排成一列”，而组合却是，而组合却是“不管怎样的不管怎样的顺序并成一组顺序并成一组”排列排列与元素的顺序有关，与元素的顺序有关，而而组合组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素个元素并

7、成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取个不同元素中取出出m个元素的一个个元素的一个组合。组合。思考：思考：abab和和baba是几个排列？几个组合？是几个排列？几个组合？组合定义组合定义 如果两个组合中的元素完全相同，那么如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何，都是不管它们顺序如何，都是 当两个组合中的元素不完全相同（即使当两个组合中的元素不完全相同（即使只有一个元素不同），就是只有一个元素不同），就是判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3个个元素的子集有多少个元素的子

8、集有多少个?(2)某铁路线上有某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票需准备多少种车票? 有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合组合问题问题排列排列问题问题(3)10名同学分为人数相同的数学和英语两个名同学分为人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法学习小组，共有多少种分法?组合组合问题问题组合组合问题问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次问候，共需握手多少次?组合组合问题问题(5)从从4个风景点中选出个风景点中选出2个安排游览个安排游览,有多少种有多少种不同的方法不同的

9、方法?组合组合问题问题(6)从从4个风景点中选出个风景点中选出2个个,并确定这并确定这2个风景个风景点的游览顺序点的游览顺序,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?排列排列问题问题 排列、组合是不同的两个事件，区分的办排列、组合是不同的两个事件，区分的办法是首先弄清楚事件是什么？区别的标志是有法是首先弄清楚事件是什么？区别的标志是有无顺序，而区分有无顺序的办法是：把问题的无顺序，而区分有无顺序的办法是：把问题的一个选择结果一个选择结果找出来，然后找出来，然后交换这个结果中任交换这个结果中任意两个元素的位置意两个元素的位置，看是否会产生，看是否会产生新的变化新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是

10、排列问题；若若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，为组合问题无新变化，即说明无顺序，为组合问题练习：练习：在在4个不同元素个不同元素a、b、c、d中取出中取出2个，个，共有多少种不同的组合？请你写出所有的组合。共有多少种不同的组合？请你写出所有的组合。ab ac ad bc bd cd 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素的个元素的所有组合的个数，叫做从所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取个不同元素中取出出m个元素的个元素的组合数组合数。用符号。用符号 表示表示mnC组合数定义组合数定义 是一个数，应该把它与“组合”区别开来 mnC 由前面练习知由

11、前面练习知（1）从）从3个不同元素中取出个不同元素中取出2个元素的组合数个元素的组合数（2）从）从4个不同元素中取出个不同元素中取出2个元素的组合数个元素的组合数思考：从思考：从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的组合数个元素的组合数C43是多少？是多少？C32=3C42=6 由于从由于从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个的排列数个的排列数A43可以求得，我们可以考察一下可以求得，我们可以考察一下C43和和A43的关的关系。系。 从从4个不同元素个不同元素a、b、c、d中取出中取出3个元素个元素的组合与排列的关系如下：的组合与排列的关系如下：组合组合排列排列abcabc acb b

12、ac bca cab cbaabdabd adb bad bda dab dbaacdbcdacd adc cad cda dac dcabcd bdc cbd cdb dbc dcb 每一个组合都对应着每一个组合都对应着6个不同的排列，个不同的排列，因此，求从因此，求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素个元素的排列数的排列数A43，可以分为以下两步：，可以分为以下两步： 第一步，从第一步，从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的个元素的组合，组合， 共有共有C43（=4）个；）个； 第二步，对每一个组合中的第二步，对每一个组合中的3个不同元素作个不同元素作全排列，各有全排列，各

13、有A33（=6）个。）个。根据分步计数原理，得根据分步计数原理，得333434ACA因此，因此，333434AAC 一般地，求从一般地，求从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素的排列数素的排列数Anm，可分为以下，可分为以下2步：步： 第一步，从第一步，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数，共有组合数，共有Cnm个；个； 第二步，对每一个组合中的第二步，对每一个组合中的m个不同元素作个不同元素作全排列，各有全排列，各有Amm个。个。根据分步计数原理，得根据分步计数原理，得mmmnmnACA因此，因此，mmmnmnAAC!) 1()2)(1(mmnnnn+这里这

14、里 Nmn,并且并且mn这个公式叫做这个公式叫做组合数公式组合数公式组合数公式组合数公式(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm + + ( ,)n mNmn ，!()!mnnCm nm例例1、计算、计算（1）C74 ；（；（2）C107477 6 5 4(1):354!C 解71010 9 8 7 6 5 4(2):1207!C 解法一71010!10 9 8(2):1207! 3!3!C 解法二11mmnnmCCnm+ + + 例例 2 2、 求求 证证!()!mnnCm n m证明：证明：11mnmCnm+1!(1)!(1)!mnn mmn m+1!(1)! ()(1)!mnmn m n m+!()!nm nm11mmnnmCCnm+解：由题意可得：解：由题意可得：2x-3 x-1x+1 2x-3解得解得24x2x 或x=3或x=4当当x=2时，时， 原式的值为原式的值为4当当x=3时，时，当当x=4时，时，原式的值为原式的值为7原式的值为原式的值为11所求的值为所求的值为4或或7或或11:,*x-12x-32x-3x+1练习 设xN 求C+C的值*xN练习2、甲，乙，丙，丁4个足球队举行单循环赛： （1）共需比赛多少场？列出各场比赛的双方；（2）冠亚军共有多少种可能？列出所有冠亚军情况。解（1）共需分别为场比赛.6123424C甲、乙、丙、丁 乙、丙、