平面向量的基本定理

1、231232平面向量基本定理及坐标表示设 、乙是同一平面内的两个不共线的向量，是这一平面内的任意向量，下面研究它们之间的关系.阅读教材93页94页，回答问题. 何为平面向量基本定理？设瓦、瓦是同一平面内的两个不共线的向量， :是这一平面内的任意向量，下面研究它们之间的关系由向量共线定理则有且只有实数入、兄2，使得0M =人勺，ON =久2S 0 OC = OM + ON a =2e2 1.平面向量基本定理如果勺、e2是同一平面内的两个役线向量，那么对于这一平面内的任一向蠢,有且只有一对实数入、人，使 a =Ale1 +免2纟2其中不共线的向最1、色叫做表示这一平面内贿向量的一组注意:云、石是同

2、一平面内的不共绚量，：是这一平面任意向量 而实数对人和久2是唯一的.向量的夹角已知两个非零向量和，作OA = a，OB = b，则ZAOB = 0(0 0 W180)叫做向量。和方的夹角.b a BOA当0 = 180, a与方反向;O b bA当0 = 0, a与b同向;b& a o I 当0 = 90。，a与b垂直.例1已知向量石、a （如图），求作向量- 2.5石+ 3玄. 作法：1.任取一点0 ,作丙二-2.5石，商二3瓦.2.作平行四边形Q4CB.则况 就是所求作的向量.2.5弓,.MUUIML4UMUIU例2设6 A. B. C是平面内的四个OC = mOA + nOB. 证明：若

3、m+n = l贝！|仏B、C三点衣线，反之亦然.、 口i MULMMUUULJU证明：(1) m+n = l,m OC =mOA + nOBMLAMML4U MUKJIMUU4MUMMLAUMUIU及 OC=O4 + 4C，得 OC = Q4 + AC = Q4 + OB，MUUIML4UMUIUMUIUMUIUUkAU ML4UWAM. AC = m 1)OA + nOB = nOA + nOB = n(OB OA)= nAB 即AC=AB. b、c三点共线.(2)若A、B、C三点共线，则存在非零常数儿 .ML4UIMUUIML4LMMLAMMURJIMUIU使得 AC=；L4B，艮卩 4O

4、 + OC=；l(AO + OB)U4UU4VU4UIIUUMVIL4MU4UHU/. OC = (A- 1)AO + 2OB = (1 - A)OA + XOB 令 m = 1 2，fz = 2,贝!J m + n = 1 故当A、B、C三点共线0, m + n = l.【评析】(1)这是判断三点共线的一个重要结论，要理解并掌握.III(2)体会本例证明过程中蕴含的向量线性运算的基本思想方法，尤其是向量变形中的分解与组合思想，如逆向 应用向量加法运算法则，将一个向量拆成两个向量的和 或差等.2.平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分另叙与兀轴、歹轴方向相同的两个单位向量亍、j作为基底任作一个向

5、量：, 由平面向量基本定理知 有且只有一对实数sy, 使得=兀+労 （向量a由唯一确定） j 把（兀，刃叫做向量a的（直角）坐标，O记作/二（无，y）（2）其中工叫做a在兀轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标, （2）式叫做向量的坐标表示与左相等的向量的坐标也为兀，刃P-l =(1,0) , j = (0,1) , 0 = (0,0).X在直角坐标系内，以原为起点作OA = a9则点A的位置由：唯一确定.A设04 =竝+力，则向量0A的坐标(x, j) 就是点A的坐标仮过来，点A的坐标(兀,y) J 也就是向量页的坐标.因此，在平面直 角坐标系内，每一个稠向量都可以用一对鐵唯一表示.概念理解1.

6、以原点o为起点作OA = a9点A的位置由谁确定?由。唯一确定2.点A的坐标与向量的坐标的关系? 两者相同向量 一一对吗A坐标（兀，J）3.两个向量相等的条件，利用坐标如何表示?a =方O兀1 =兀2且几=V 24、方、c、d，并y 血 54321.J23 4x例3.如图，用基底几/分别表示向量 求它们的坐标.解：由图可知a = AA 4- AA2 =2i + 3ja = (2,3)同理，b = -2i + 3j = (-2,3) c = 2i 3j = (-2,-3) d=2i_3j =一3)例4设石，Z是两个不共线的向量，已知丽=2石+熄，CB = + 3,CD = -，若 4, B, Q

7、 共线，求 P 的值. 解：0 A, B, D共线?.石与莎共线，即存在实数;I使得二；I莎，0 BD = CD - CB- (2ex -e2) ex +32)= -4e2, /. 2q + k2 = 2(幺i 4幺2)2 = 2n = -8k = 4/1故当儿B，D共线时M的值为-8.练习：已知口 ABCD的两条对角线AC与血相交于E，0是任意一点，求证：0A + 0B + 0C + 0D = 40E证明：CO E是对角线AC和BD的交点, AE = EC = -CE.BE = ED = -DE.在 AQ4E 中，OAAE = OE.同理 OB + BEOE, OC + CE = OE , OD + DE = OE.相加得 0A0B0C0D = 4 0E.2已知D、E、F分别为AABC三边C、AC. AB的中点.求证：AD + BE + CF =0 证明：O ADAC + CDAD=AB+BDCApB2AD = AC + AB + CD + BD= AC + AB + O =AC + AB同理 2BE = BA + BC. 2CF = CA + CB:.2(AD + + CF