文稿分析工数chap12

1、1A 一般一般, , 任何两个复数不能比较大小。任何两个复数不能比较大小。1. 复数的概念复数的概念定义定义 对任意两实数对任意两实数x、y 称称 z=x+iy为复数。为复数。虚数单位。虚数单位。其中其中1 i复数复数z 的实部的实部 Re(z) = x ; 虚部虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)0|22 yxz复数的模复数的模0)Im()Re(0)Im()Im()Re()Re(212121 zzzzzzzzz复数复数2定义定义 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：的和、差、积和商为： z1z2=(x1x2)+i(y1

2、y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)0(|222211222212121 zzyxyxizyyxxzzz2. 代数运算代数运算3z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .运算规律运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同与实数相同）即，）即，42121)()1(zzzz 2121)(zzzz 2121)(zzzz zz )2(2|1zzz 2222)Im(

3、)Re()3(yxzzzz )Im(2 )Re(2)4(zizzzzz 3.共轭复数共轭复数定义定义 若若z=x+iy , 称称 z=x-iy 为为z 的共轭复数的共轭复数.(conjugate)52 2 复数的几何表示复数的几何表示& 1. 点的表示点的表示& 2. 向量表示法向量表示法& 3. 三角表示法三角表示法& 4. 指数表示法指数表示法& 5. 复球面复球面与无穷远点与无穷远点 61. 点的表示点的表示),(yxiyxz一一对对实实数数易易见见， ),(),(yxPiyxzyxP平平面面上上的的点点一一对对实实数数系系，点点在在平平面面上上取取定定直直角角坐坐标标 此此时时，表表示

4、示的的点点，可可用用平平面面上上坐坐标标为为复复数数.)(Pyxiyxz 平平面面复复平平面面或或平平面面虚虚轴轴轴轴实实轴轴轴轴zyx)(yxPiyxz，复平面上的点复平面上的点 点的表示：点的表示：A 数数z z与点与点z z同意同意7。表示表示可用向量可用向量，点点iyxzoPyxoPyxPiyxz ,)(2. 向量表示法向量表示法A ooPz 0 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x + iy的的模模或或绝对值绝对值；oxy(z)Prz xy zArg:记作记作辐角辐角 ,|22yxropz 模：模：非零向量非零向量op 与与x轴正向的夹轴正向的夹角角 称为复数称为复数z=x +

5、 iy的的辐角辐角.xyz/)Argtan( 此时，此时，8辐角无穷多：辐角无穷多：Arg z= = 0+2k ， kZ，把其中满足把其中满足 0 的的 0 称为辐角称为辐角Argz的的主值主值， 记作记作 0 =argz。A z =0=0时时，辐角无意义辐角无意义。 0, 00, 0arctan0, 020, 0arctanargyxyxxyyxyxxyz计算计算argz(z0) 的公式的公式9oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z112121212:zzzzzzzz 由由此此得得由向量表示法知由向量表示法知之间的距离之间的距离与与点点2112zzzz 3. 三角表示法三角表示法)si

6、n(cos irz 得得由由 sincosryrx4. 指数表示法指数表示法得得公式公式再由再由 sincos:ieEuleri irez 10引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程 （或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方 程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。例例1 用复数方程表示用复数方程表示:（1）过两点）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线；的直线；（2）中心在点）中心在点(0, 1), 半径为半径为2的圆。的圆。oxy(z)Lz1z2z解解

7、 （1） z=z1+t (z2 z1) （ t 0为半径的为半径的 圆圆 | z -z 0|(或或 0 | z z 0|0,对任意对任意z D,均有均有zG=z |z|R，则，则D为为有界区域有界区域；否则；否则无界无界。 闭区域闭区域 D与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域。 272. 简单曲线（或简单曲线（或Jardan曲线曲线),)()()()()(baCtytxbtatyytxx 、实实变变函函数数其其中中表表示示为为：平平面面上上一一条条连连续续曲曲线线可可令令z(t)=x(t)+iy(t) at b ;则曲线方程可记为：则曲线方程可记为：z=z(t)， at b .0)

8、( )( ,)( )( 22则则称称该该曲曲线线为为光光滑滑的的且且、若若 tytxbaCtytx有限条光滑曲线相连接构成一条有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线分段光滑曲线。 28定义定义 称称没有重点没有重点的连续曲线的连续曲线C为简单曲线或为简单曲线或 Jordan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C 满足满足z(a)=z(b)时，则称时，则称 此曲线此曲线C是简单是简单闭闭曲线或曲线或Jordan闭闭曲线曲线 。 重点重点 设连续曲线设连续曲线C：z=z(t)，atb，对于对于t1(a，b), t2 a, b,当当t1t2时，若时，若z(t1)=z(t2)， 称称z(t1)为曲线为曲线

9、C的的重点重点。 几何上，简单曲线就是没有自交的曲线。几何上，简单曲线就是没有自交的曲线。 z(a)=z(b)简单闭曲线简单闭曲线 z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲线 293. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， ta，b，把复，把复 平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有 界区域，称为界区域，称为C的的内部内部；一个是无界区域，称为；一个是无界区域，称为 C的的外部外部；还有一个是它们的公共边界。；还有一个是它们的公共边界。 z(a)=z(b)

10、C z(a)=z(b) 内部内部 外部外部 边界边界 定义定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域 B ， 如果属于如果属于B的任何简单闭曲线的的任何简单闭曲线的 内部仍属于内部仍属于B，就称，就称 B为为单连通单连通 域域; 非单连通域称为非单连通域称为多连通区域多连通区域。 30例如例如 |z|0）是单连通的；）是单连通的； 0r|z|R是多连通的。是多连通的。 单连通域单连通域 单连通域单连通域 多连通域多连通域 多连通域多连通域 315 5 复变函数复变函数 & 1. 复变函数的定义复变函数的定义& 2. 映射的概念映射的概念& 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射321. 复变函数的

11、定义复变函数的定义 与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似 定义定义。）记记作作的的函函数数（简简称称复复变变函函数数是是复复变变数数则则称称复复变变数数法法则则的的集集合合，是是一一个个复复数数设设)(, zfwzwivuwzGzfiyxzGf A 是多值函数是多值函数值，称值，称多个多个是单值函数;是单值函数;值，称值，称一个一个若若)( )(zfwzzfwz。论的函数均为单值函数论的函数均为单值函数今后无特别声明，所讨今后无特别声明，所讨面面区区域域（定定义义域域）的的定定义义集集合合，常常常常是是平平)(zfG函函数数值值集集合合)(*GzzfwwG 33),(),( )()(),(

12、);,(yxivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故ivu 相相当当于于二二个个二二元元函函数数）(),(),()(yxvvyxuuivuzfw xyiyxiyxivuwivuwiyxzzw2)()(2222 则则令令例如例如 xyvyxuzw2222 34oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，在几何上， w=f(z)可以看作：可以看作： ).() (*)(变换变换平面）的映射平面）的映射平面平面wGwzGzzfw 的的原原象象。称称为为，而而映映象象的的象象点点为为称称wzzw)(定义集合定义集合函数值集合函数值集合 2. 映射的概

13、念映射的概念 复变函数的几何意义复变函数的几何意义 zw=f(z)w35A 以下不再区分函数与映射（变换）。以下不再区分函数与映射（变换）。 A 在复变函数中用两个复平面上点集之间的在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量对应关系来表达两对变量 u，v 与与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观. . 复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换） 36.所构成的映射所构成的映射研究研究zw 例例1 iirezreirz )sin(cos设设解解

14、关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射 见图见图1-11-2 旋转变换旋转变换(映射映射) 即，即，)cossin()sincos( )(sin(cos a aa aa aa aa aa ayxiyxiyxiivuw 见图见图2 .( 实常数）所构成的映射实常数）所构成的映射研究研究a aa azewi 例例2 )( a a a aa a iiiiirereezewrez设设解解 a aa aa aa acossinsincosyxvyxu37oxy(z)x、uy、v(z)、(w) ox、uy、v(z)、(w) oa a图图1-1 图图1-2 图图2 uv(w)o38例例3 oxy(z)

15、ouv(w)422 yx2zw ivuwiyxz 令令xyvyxu222 4 u函数函数w z2把双曲线把双曲线 x2 y2 4映成映成 w 平面平面上怎样的曲线？上怎样的曲线？所以映成所以映成 w 平面上的直线平面上的直线 u 439 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射例例 设设 z=w2 则称则称 为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射 zw )1 , 0(22 kezzwki 为多值函数为多值函数,2支支. 定义定义 设设 w =f (z) 的定义集合为的定义集合为G,函数值集合为函数值集合为G* Gz *)(Gwzfw *Gw )()(wzGz 或几个或几个一个一个则称则称z =

16、 (w)为为w=f(z)的反函数（的反函数（逆映射逆映射）. GzzfzGwwfw )(,)(* 当当反反函函数数单单值值时时显显然然有有)(zfz 一般一般40是是一一一一对对应应的的。与与集集合合是是一一一一的的。也也称称集集合合映映射射都都是是单单值值的的，则则称称函函数数逆逆映映射射和和其其反反函函数数映映射射当当函函数数 GGzfwwzzfw)()()()()()( 416 6 复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性 & 1. 函数的极限函数的极限& 2. 运算性质运算性质& 3.函数的连续性函数的连续性421. 函数的极限函数的极限AzfzzAzfzzzfAAzfzzAzOz

17、zfwzz )()(lim)()(,0, 0),()( 000)000时时，或或当当时时的的极极限限，记记作作当当为为则则称称有有）（，数数若若设设（ 定义定义 uv(w)oA xy(z)o 0z)(zfw 几何意义几何意义: 当变点当变点z一旦进入一旦进入 z0 的充分小去心邻的充分小去心邻 域时域时,它的象点它的象点f(z) 就落入就落入A的一个预的一个预 先给定的先给定的 邻域中邻域中 43(2)A是复数是复数. . 2. 运算性质运算性质 复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 0),(),(0),(),(00000),(lim),(lim)(li

18、m ),(),()(00000vyxvuyxuivuAzfiyxziyxzyxivyxuzfyxyxyxyxzz 则则设设定理定理1 A ( (1)定义中定义中 0zz 的方式是任意的的方式是任意的. . 与一元实变函数相比较要求更高与一元实变函数相比较要求更高. . 44 )0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim000000000000 zgzgzfzgzfzgzfzgzfzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz若若定理定理2 A 以上定理用极限定义证以上定理

19、用极限定义证! ! 453.函数的连续性函数的连续性定义定义 .)()()(lim,;)(;)()()(lim0000000处处连连续续上上点点在在曲曲线线，则则称称且且、若若内内连连续续在在内内处处处处连连续续，则则称称若若在在区区域域处处连连续续在在，则则称称若若zCzfzfzfCzzDzfDzzfzfzfzzzz .),(),(lim),(),(lim),(),()(00),(),(00),(),(0000000yxvyxvyxuyxuiyxzyxivyxuzfyxyxyxyx 处连续处连续在在设设定理定理3 46例例1 证明证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。在原点及负实轴

20、上不连续。 在负实轴上不连续。在负实轴上不连续。在负实轴上在负实轴上zzzfzzfxxPyzPzyzPzargarglim)(lim arglim)(lim)0)(0 ,()2(00Im00Im 故故不不连连续续。在在原原点点没没有有定定义义， arg)()1(zzf 证明证明 xy(z)ozz)0 ,(xP 47 定理定理4 连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商(分母不为分母不为0) 仍为连续函数仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。连续函数的复合函数仍为连续函数。.0)()()()(10点点外外处处处处连连续续在在复复平平面面内内除除分分母母为为的的；在在整整个个复复

21、平平面面内内是是连连续续由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn )()(0)(CzMzfMCzfC 上上连连续续在在若若内内的的曲曲线线段段为为闭闭曲曲线线或或端端点点包包括括在在设设曲曲线线有界性：有界性： 481 1 解析函数的概念解析函数的概念& 1. 复变函数的导数定义复变函数的导数定义& 2. 解析函数的概念解析函数的概念49 1. 复变函数的导数复变函数的导数(1)导数定义导数定义如果如果w=f(z)在区域在区域D内点点可导，则称内点点可导，则称f (z)在区域在区域D内可导。内可导。zzfzzfz )()(lim000定义定义 设函数设函数w=f (z) zD, 且且

22、z0、 z0 +zD，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数f (z)在点在点z0处可导。处可导。称此极限值为称此极限值为f (z)在在z0的导数，的导数，记作记作0)( 0zzdzdwzf zzfzzfz )()(lim00050注注: 复变函数在一点处可导，要比实函数在一复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为z0, 是指在平面区域上以任意方式趋于零。是指在平面区域上以任意方式趋于零。例例1 讨论函数讨论函数f(z)= z 在复平面上的可导性。在复平面上的可导性。zzzzzzzzfzzfCz )()(,有有

23、对对解：解：. 11 虚轴趋于零时，极限为虚轴趋于零时，极限为沿沿；如果让；如果让为为沿实轴趋于零时，极限沿实轴趋于零时，极限如果让如果让zz.)(0复平面上处处不可导复平面上处处不可导在在时上述极限不存在，故时上述极限不存在，故当当zzfz 51例例2 问：函数问：函数f (z)=x+2yi是否可导？是否可导？!0, 020, 012lim0 不不时时当当时时当当yxxyyixyixzyixyixiyyxxzzfzzfzz )2()(2lim)()(lim00解解故函数处处不可导故函数处处不可导52例例3 证明证明 f (z)=zRez只在只在z=0处才可导。处才可导。 时时不不时时0!)(

24、Re(lim00Relim00zyixxzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz Re)Re(limRe)Re()(lim00证明证明！不不时时当当时时当当 0, 000, 01lim0yxxyyixxz531) 函数函数w=f (z)点点z0处可导处可导,则函数则函数w=f (z)点点z0处连续，即处连续，即)()(lim00zfzfzz 事实上：事实上：w=f (z)在点在点z0可导，即可导，即 000)()(lim)(0zzzfzfzfzz )(),()()()(000zzzzfzzfzfz 设设则则 f (z) f(z0)=f (z0)z+ (z)z, 两边取极限，两边取极限，

25、 令令z00)()(lim)()(lim0000 zzzzfzfzfzzz)()(lim00zfzfzz (2) 可导与连续可导与连续54在实变函数中要举出一个处处连续，但处处在实变函数中要举出一个处处连续，但处处 不可导的例题是很困难的，但在复变函数中，不可导的例题是很困难的，但在复变函数中， 却轻而易举却轻而易举。这说明在复变函数中可导的要求这说明在复变函数中可导的要求 比实变函数中要强得多，因而得到的结论也强比实变函数中要强得多，因而得到的结论也强 得多。得多。2) 但反过来不成立，即若但反过来不成立，即若f (z)在点在点 z0 处连续处连续, 则则f (z)在点在点 z0 处不一定可

26、导。处不一定可导。如函数如函数f(z)= z 在复平面上处处连续却处处在复平面上处处连续却处处 不可导。不可导。55(3)求导公式与法则求导公式与法则 常数的导数常数的导数c =(a+ib) =0. (zn) =nzn-1 (n是自然数是自然数).证明证明 对于复平面上任意一点对于复平面上任意一点z0，有，有10010021000)(limlimlim000 nnnnzznnzzzznzzzzzzzzzzzzzzw56 设函数设函数f (z), ,g (z) 均可导，则均可导，则 f (z)g (z) =f (z)g (z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g (z

27、)0)( ,)()( )()()( )()(2 zgzgzgzfzgzfzgzf.0)()()()(10处处可可导导点点外外）处处在在复复平平面面上上（除除分分母母为为导导；在在整整个个复复平平面面上上处处处处可可由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn 57复合函数的导数复合函数的导数 f g(z) =f (w)g (z)， 其中其中w=g(z)。 反函数的导数反函数的导数 ，其中，其中: w=f (z)与与z= (w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且(w) 0。)( 1)( wzf )( 11)5()(22zfzzzzf，求求已已知知 例例4解解22)1(1)52)(5(

28、2)( zzzzzf58(4) 微分的概念微分的概念设函数设函数w = f(z)在在z0可导可导, 则有则有, 0)(lim0 zz其中其中 w = f(z0+ z)f(z0) = f (z0) z + ( z) z，因此因此, | ( z) z|是是| z|的高阶无穷小量的高阶无穷小量, 而而 f (z0) z 是是 函数函数w=f(z)的改变量的改变量 w的线性部分的线性部分, 称为函数称为函数w=f(z) 在点在点z0的的微分微分, 记作记作 dw = f (z0) z如果函数在如果函数在z0的微分存在的微分存在, 则称则称函数函数f(z)在在z0可微可微. 特别特别, 当当 f(z)=

29、z 时时, 由由( )得得dz = z. 于是于是变为变为 dw=f (z0)dz，即，即|0dd)(0zzzwzf 59由此可见由此可见, 函数函数w = f(z) 在在 z0可导与在可导与在 z0可微是等可微是等 价的价的.如果如果 f(z) 在区域在区域 D 内处处可微内处处可微, 则称则称 f(z) 在在 D 内可微内可微.602. 解析函数的概念解析函数的概念定义定义 如果函数如果函数w=f (z)在在z0及及z0的某个邻域内处处的某个邻域内处处 可导，则称可导，则称f (z)在在z0解析解析； 如果如果f (z)在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则称f (z) 在在

30、D内解析内解析，或称，或称f (z)是是D内的内的解析函数解析函数(全纯函全纯函 数或正则函数数或正则函数）。）。如果如果f (z)在点在点z0不解析，不解析， (但在但在z0的任一领域内总的任一领域内总 有有f (z)的解析点的解析点) 就称就称z0是是f (z)的的奇点奇点。 A (1)w=f(z)在在D内解析内解析 在在D内可导。内可导。 (2)函数函数f (z)在在z0点可导，未必在点可导，未必在z0解析。解析。 61例如例如 w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数；上的解析函数；定理定理 设设w=f (z)及及w=g(z)是区

31、域是区域D内的解析函数，内的解析函数，则则f (z)g(z)，f (z)g(z)及及f (z) g(z) (g (z)0时时)均是均是D内的解析函数。内的解析函数。 w=zRez在整个复平面上处处不解析在整个复平面上处处不解析(见例见例3)。 w=1/z，在除去，在除去z=0点外的复平面内处处解析，点外的复平面内处处解析， z=0为奇点为奇点62定理定理 设设w=f (h)在在h 平面上的区域平面上的区域G内解析，内解析， h=g(z)在在z平面上的区域平面上的区域D内解析内解析, h=g(z)的函数值集合的函数值集合 G，则复合函数，则复合函数 w=f g(z)在在D内处处解析。内处处解析。

32、 .0)()()()(10解解析析函函数数点点外外）的的是是复复平平面面上上（除除分分母母为为函函数数；是是整整个个复复平平面面上上的的解解析析由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn 632 2 函数解析的充要条件函数解析的充要条件& 1.函数解析的充要条件函数解析的充要条件& 2. 举例举例64 如果复变函数如果复变函数w=f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在定义在定义域域 D内处处可导，则函数内处处可导，则函数w=f (z)在在D内解析。内解析。 本节从函数本节从函数u (x , y)及及v (x , y)的可微性，探求的可微性，探求 函数函数w=f (z) 的可微性

33、，从而导出判别函数解析的的可微性，从而导出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。 问题问题 如何判断函数的解析性呢？如何判断函数的解析性呢？ 651. 函数解析的充要条件函数解析的充要条件yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(),(),(),(可导可导在点在点设设iyxzyxivyxuzfw ),(),()( zzfzzf)()(又又66xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz ),(),(lim),(),(lim ),(),(),(),(lim )()(lim)(

34、0000)0(/ yzzz实实轴轴的的方方式式若若沿沿xvixu 67yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim)()(lim)(0000)0(/ xzzz虚轴的方式虚轴的方式若沿若沿yuiyvyvyui 1 68yuxvyvxuyuiyvxvixuzf )( A 记忆记忆 uuxyvvxy 定义定义 方程方程称为称为Cauchy-Riemann方程方程(简称简称C-R方程方程).uvuvxyyx 69定理定理1 设设f(z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D内有定

35、义，则内有定义，则 f(z)在点在点z=x+iy D处可导的充要条件是处可导的充要条件是 u(x, y)和和v(x, y)在点在点(x, y )可微，且满足可微，且满足 Cauchy-Riemann方程方程上述条件满足时上述条件满足时,有有yyxxiuvivuzf )( uvuvxyyx 70证明证明（由由f (z)的可导的可导 C-R方程满足上面已证！只须证方程满足上面已证！只须证 f (z)的可导的可导 函数函数 u(x, y)、v(x, y)可微可微）。）。 函数函数 w =f (z)在点在点 z可导，即可导，即 )( )()()(zfzzfzzfz 设设则则 f (z+ z) f(z)

36、=f (z)z+ (z)z (1), 且且 zzfzzfzfz )()(lim)( 00)(lim0 zz 71u+iv = (a+ib)(x+iy)+( 1+i 2)(x+iy) =(ax-by+ 1x 2y)+i(bx+ay+ 2x+ 1y)令：令：f (z+z) f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)= 1+i 2 故（故（1）式可写为）式可写为因此因此 u=ax by+ 1x 2y , v=bx+ay+ 2x 1y0)(lim0 zz 0limlim200100 yxyx0lim2100 zyxyx 0lim1200 zyxyx 72所以所以u(x, y)，v(x, y

37、)在点在点(x, y)处可微处可微. （由函数（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点在点(x,y)处可微及满足处可微及满足 C-R方程方程 f (z)在点在点z=x+iy处可导）处可导）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)点可微，即：点可微，即： yxyyuxxuu 21 yxyyvxxvv 43 )4.,1( ,0lim00，其其中中 kkyx 73yixiyyviyuxxvixuviuzfzzf )()()()()()(4231 yixizxvixuRC )()()(4231 方方程程由由0)(1|,1|31 izxzyzxxvixuzzfzzfzfz )()(lim)(0zyiz

38、xixvixuzzfzzf )()()()(423174推论推论 设设f(z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D内有定义，则内有定义，则 f(z)在点在点z=x+iy D处可导的充分条件是处可导的充分条件是u(x, y) 和和v(x, y)在点在点(x, y )的偏导数连续，且满足的偏导数连续，且满足C-R 方程。方程。 75定理定理2 函数函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D内解析充要条件内解析充要条件 是是u(x, y)和和v(x, y)在在D内内可微，且满足可微，且满足 Cauchy-Riemann方程方程uvuvxyyx A 定理提供了判别函数解析性的方法及如何

39、定理提供了判别函数解析性的方法及如何求求f (z)的导数值的导数值. .使用时使用时: i)判别判别u(x, y)，v (x, y)偏导数的连续性，偏导数的连续性， ii) 验证验证C-R条件条件.iii)求导数求导数： yvyuixvixuzf 1)( 762. 举例举例2)3( )sin(cos)()2(;)1(zwyiyezfzwx ；例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导，在何处解析： 解解 (1) 设设z =x+iy w =x-iy u=x, v = -y 则则 析析。在在全全平平面面不不可可导导，不不解解故故zwyvxuyvxvyuxu 100177解解

40、 (2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则则 u=excosy, v= exsiny 在全平面可导，解析。在全平面可导，解析。故故)sin(cos)( cossinsincosyiyezfxvyuyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx )(sincos)( zfyieyexvixuzfxx 78仅在点仅在点z = 0处满足处满足C-R条件，故条件，故 。点点可可导导，但但处处处处不不解解析析仅仅在在02zw 解解 (3) 设设z =x+iy w =x2+y2 u= x2+y2 , v =0 则则 0022 yvxvyyuxxu79DzCzfDzzf )(0)( 若若例

41、例2 复常数）复常数）()(00)( 2121CiCCzfCvCuvuvuiuvivuzfyyxxyyxx 证明证明 80例例3 如果如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数，是一解析函数， 且且f (z)0，那么曲线族，那么曲线族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，这里必互相正交，这里C1 、 C2常数常数. 01)( yvyuizf0不不全全为为与与yvyu 那么在曲线的交点处，那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时，均不为零时， 由隐函数求导法则知曲线族由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1，v(x, y)=C2中任一条曲线的中

42、任一条曲线的(切线切线)斜率分别为斜率分别为 yxuuk/1 yxvvk/2 解解 利用利用C-R方程方程 ux= vy, uy= vx 有有k1k2=( ux/uy)( vx/vy)= 1，即：两族曲线互相正交，即：两族曲线互相正交. 81ii) uy，vy中有一为零时，不妨设中有一为零时，不妨设uy=0，则，则k1=， k2=0（由（由C R方程）方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另 一条是铅直的一条是铅直的, 它们仍互相正交。它们仍互相正交。823 3 初等函数初等函数& 1. 指数函数指数函数& 2. 对数函数对数函数& 3. 乘幂

43、与幂函数乘幂与幂函数& 4. 三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数831. 指数函数指数函数 kyeeeezzxz2ArgRe它与实变指数函数有类似的性质它与实变指数函数有类似的性质：0)1( zez)0,( xzee事实上事实上xzeezfxz )(,)2(时时为为实实数数当当)0( yzzzeeezf )()()3(在在复复平平面面上上处处处处解解析析且且)2( 1 . 2 . 22(的例的例见见)1()sin(cos)(:,yiyeeezfziyxzxiyxz 的的指指数数函函数数如如下下定定义义复复变变数数对对定义定义84右边右边左边左边设设事实上事实上 2121212121)sin(

44、)cos()sincoscos(sinsinsincoscos )sin(cos)sin(cos )2 , 1(,2121212121212211zzxxxxxxzzjjjeyyiyyeyyyyiyyyyeyiyeyiyeeejiyxz2121:)4(zzzzeee 加法定理加法定理zzxxzzeeeyyiyyeee111)sin()(cos(0 又又2121zzzzeee 85:)(的的周周期期性性由由加加法法定定理理可可推推得得zezf ZkikTzfTzf ,2),()( .2 )()2sin2(cos)2(,22整整数数为为事事实实上上 kikTzfekikeeeeikzfzzikzi

45、kz A (1)这个性质是实变指数函数所没有的。这个性质是实变指数函数所没有的。, 1, 02)2(2121 kikzzeezz862. 对数函数对数函数定义定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，指数函数的反函数称为对数函数。即， Lnzwzfwzzew 记作记作称为对数函数称为对数函数的函数的函数把满足把满足,)()0()(2,lnZkkvrureerezivuwiivui 那么那么令令), 1, 0()2(ln kkirLnzw ), 2, 1, 0()2(arglnArgln kkzizzizLnz 或或(1) 对数函数的定义对数函数的定义87.2,)0(的的一一个个整整数数倍倍差差两

46、两个个相相异异值值相相其其中中即即虚虚部部无无穷穷多多角角的的一一般般值值的的幅幅的的虚虚部部是是的的模模的的实实自自然然对对数数；它它实实部部是是它它的的的的对对数数仍仍为为复复数数这这说说明明一一个个复复数数 zzzz的的无无穷穷多多值值函函数数是是即即zLnzw ,)(,)2(lnargln,0主主值值支支的的主主值值称称为为的的一一单单值值函函数数为为时时当当记记作作LnzLnzzzizLnzk )(2lnZkkizLnz 故故88ikLniia )12()1(1ln)1ln(1 负数也有对数.负数也有对数.值,值,正实数对数有无穷多个正实数对数有无穷多个在复数域中,在复数域中,Zki

47、kaLnzazLnzaz 2lnlnln0 的的主主值值当当例例如如ikaLnziazLnzaaz )12(lnlnln)0( 的的主主值值当当特别特别A (2) 对数函数的性质（见对数函数的性质（见P41) 89(3) 解析性解析性 ,arglnln:zizz 主主值值;ln续续除除原原点点外外在在其其它它点点均均连连其其中中z.arg 连连续续在在原原点点与与负负实实轴轴上上都都不不而而z.ln,在复平面内处处连续在复平面内处处连续除原点及负实轴外除原点及负实轴外z0)( wwweeezzedwdzzdzdww111)(ln zz1)(ln 即即.ln析析的的除除原原点点及及负负实实轴轴外

48、外是是解解zw 90zLnzLnz1)( 且且负负实实轴轴外外均均是是解解析析的的，的的每每个个分分支支除除了了原原点点和和3. 乘幂与幂函数乘幂与幂函数)(ba)(bzq 乘幂乘幂ab, 0, aba且且为为复复数数设设定义定义.bLnabea 定定义义乘乘幂幂., 0,为实数为实数实变数情形实变数情形ba A kiaLna2ln 多值多值一般为多值一般为多值)2(ln kiabbLnabeea 91.,它是单值的它是单值的为整数时为整数时bababebkibkelnln)2sin2(cos kbiabkiabbLnabeeeea2ln)2(ln 为整数为整数当当b)0,( qqpqpb且且

49、为互质的整数为互质的整数当当)2(argln)2arg(ln kaiaikaiabqpqpqpeeea )1,3 , 2 , 1 , 0( qk)2(argsin)2(argcosln kaqpikaqpeaqp ab 具有具有q 个值个值 具有具有一般而论一般而论ba,.无穷多的值无穷多的值92 (2)当当b=1/n(n正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的 n次根意义一致。次根意义一致。A (1)当当b=n(正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的n次幂次幂 意义一致。意义一致。LnaLnaLnaeee LnaLnaLnanLnaneea 个个naaaa nkannnniaikaiaLnaeeeea 2arg1111ln)2arg(ln )2argsin2arg(cosnkainkaan )12 , 1 , 0( nkna 93ikikLneee22)21(ln21221 )2()2(ln22 kikiiiiLniieeei)2 , 1 , 0( k)sin()cos(3434)2()2(ln2322323232 kkkiikiiLniieeei ),2,1,0( k)22sin()22cos( kik)2,1,0( k解解 .1322的的值值和和、求求iii例例1 94q 幂函数幂函数zb 当当b = n (整数整数) w=z n 在整个复平面上